拓展寒假作业21 计算题专项训练（巩固培优）八年级数学新教材北师大版（原卷版+解析版）

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拓展寒假作业 计算题专项训练
一、平方根与算术平方根的区别与联系
二、二次根式
二次根式的性质
（1），（双重非负性）．
（2）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）．
应用：在实数范围内分解因式：（3）
（4）=·（a≥0，b≥0）
（5）=（a≥0，b>0）
三、二次根式混合运算
二次根式的乘法
二次根式的乘法 ·＝．（a≥0，b≥0）
文字语言：二次根式与二次根式相乘，等于各个被开数的积的算术平方根.
推广：
二次根式的除法
二次根式的除法：=（a≥0，b>0）
文字语言：二次根式与二次根式相乘，等于各个被开数的商的算术平方根.
二次根式的加减
二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。
二次根式加减运算的步骤：
①化：将各个二次根式化成最简二次根式；
②找：找出化简后被开方数相同的二次根式；
③合：合并被开方数相同的二次根式——将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开方数保持不变。
二次根式的混合运算
二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号）
四、二元一次方程组的解法
1.代入消元法
定义：把二元一次方程组中的一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法.
用代入消元法解二元一次方程组的一般步骤：
1）变形.从方程组中选一个未知数的系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来；
2）代入.将变形后的方程代入没变形的方程，得到一个一元一次方程；
3）解元.解这个一元一次方程，求出一个未知数的值；
4）求值.将求得的未知数的值代入变形后的方程，求出另一个未知数的值，从而得到方程组的解.
2.加减消元法
定义：当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法.
用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤：
1）变形.先观察系数特点，将同一个未知数的系数化成互为相反数或相等的数；
2）加减.把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；
3）解元.解这个一元一次方程，求出一个未知数的值；
4）求值.将求得的未知数的值代入原方程组中任意一个方程，求出另一个未知数的值，并把求得的两个未知数的值用“大括号”联立起来，就是方程组的解．
三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型
题型一 实数的混合运算
1．计算
(1)．
(2)．
2．计算：
(1)．
(2)．
(3)．
3．计算：
(1)；
(2)．
4．计算：
(1)
(2)．
5．计算：
(1)；
(2)．
6．计算：
(1)；
(2)．
7．计算
(1)；
(2)．
题型二 解平方根、立方根方程
8．求下列各式中的值：
(1)；
(2)．
9．求下列各式中x值：
(1)
(2)
10．求的值：
(1)；
(2)．
11．求下列各式中的．
(1)；
(2)．
12．解方程：
(1)；
(2)．
13．解方程：
(1)；
(2)．
14．求下列各式中的：
(1)；
(2)．
题型三 算术平方根的非负性计算
15．若，求的值．
16．已知实数、满足，则的值是多少？
17．先化简，再求值：，其中．
18．先化简，再求值：，其中
19．已知实数a，b满足．
(1)求a、b的值．
(2)求的平方根．
20．先化简，再求值：，其中．
21．先化简，再求值：，其中若．
题型四 无理数整数部分的计算
22．已知的平方根为，的立方根为．
(1)求．
(2)若是的整数部分，求的平方根．
23．已知3是的平方根，是的立方根，是的整数部分，
(1)求，，的值；
(2)求的平方根．
24．已知的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分．
(1)求a，b，c的值；
(2)求的平方根．
25．已知的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分，
(1)求a，b，c的值；
(2)求的平方根．
26．观察：∵，即，∴的整数部分为2，小数部分为.请你观察上述的规律后解答下面的问题：
(1)如果的整数部分为a，小数部分为b，求a﹣b的值；
(2)已知a是的整数部分，b是的小数部分，求的平方根．
27．根据下表回答下列问题：
(1)的平方根是______，______， ______；
(2)若这个数的整数部分为，求的值．
28．阅读理解：我们知道是无理数，无理数是无限不循环小数，因此的小数部分不可能全部写出来，小乐同学用来表示的小数部分，并给出了理由：因为，所以，则的整数部分为1，小数部分为，事实上，小乐同学的方法是正确的，请解答：
(1)的整数部分是_____，小数部分是______．
(2)若的整数部分是，小数部分是，求的值．
题型五 平方根、立方根的规律计算
29．通过观察后再回答问题．
(1)从表格中探究a与数位的规律，并利用这个规律解决问题：
已知，，则______；
(2)已知，，用含m的代数式表示n（请写出解答过程）．
30．先观察下列等式，再解答问题：
①；
②；
③．
(1)根据上面三个等式提供的信息，请猜想的结果，并进行验证；
(2)根据上面的规律，可得______；
(3)请按照上面各等式反映的规律，试写出第个等式（为正整数），并加以验证．
31．观察下表：
(1)由上表你发现了什么规律？请用语言叙述这个规律：__________________；
(2)根据你发现的规律填空：已知．
则___________，___________；
若，则___________；
(3)拓展提升：
①已知，则___________；
②已知，则___________．
32．先填写表，通过观察后再回答问题．
(1)表格中______，______．
(2)从表格中探究a与数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题：
①已知，，则______；
②已知，，用含m的代数式表示n，则______．
33．观察下表，并用所得的规律解决问题：
(1)发现规律：被开方数的小数点向右（或左）移动___________位，其立方根的小数点向右（或左）移动___________位；
(2)应用：①已知，则___________；
②已知，则___________；
(3)拓展：根据上述探究过程类比研究一个数的平方根．已知：，计算的值．
34．观察如表，并解答下列问题．
【规律总结】
（1）①请补全如表；
②根据如表，可以得到被开方数和它的立方根之间小数点的变化规律：若被开方数的小数点向右（或向左）移动三位，则它的立方根的小数点就相应地向右（或向左）移动______位；
【规律应用】
（2）已知，，．
①______；
②用铁皮制作一个封闭的正方体，使它的体积为3000立方米，则需要多大面积的铁皮？（保留整数）
35．观察下表：
(1)由上表发现的结论：被开方数的小数点向左或向右每移动____位，它的_______________的小数点就相应的向左或向右移动____位；
(2)根据你发现的规律填空：①已知．
则___________，___________；
②若，则___________；
(3)拓展提升：被开方数的小数点向左或向右每移动____位，它的立方根的小数点就相应的向左或向右移动____位；
①已知，则___________；
②已知，则___________．
题型六 二次根式的混合运算
36．计算：
(1)
(2)
37．计算：
(1)
(2)．
38．计算：
(1)．
(2)．
(3)．
(4)．
39．计算：
(1)；
(2)
40．计算：
(1)；
(2)．
41．计算
(1)；
(2)
42．计算：
(1)；
(2)．
题型七 分母有理化
43．已知．
(1)计算________；________；________．
(2)求的值．
44．已知；，求：的值
45．观察下列等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
……
(1)第个等式：______．
(2)根据以上规律，计算的值．
46．阅读下列运算过程，并完成各小题：
；．数学上把这种将分母中的根号去掉的过程称作“分母有理化”．如果分母不是一个无理数，而是两个无理数的和或差，此时也可以进行分母有理化，如：
；
；
模仿上例完成下列各小题：
(1)____________；
(2)____________；
(3)请根据你得到的规律计算：．
47．阅读下列解题过程：，
，请回答下列问题：
(1)观察上面的解答过程，请写出_____；
(2)利用上面的解法，请化简：
48．先阅读，再解答．由可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如：，请完成下列问题：
(1)的有理化因式是______；化简______；
(2)计算：______；
(3)比较与的大小，并说明理由．
49．阅读材料：在二次根式中，当分母为无理数的二次根式时，我们通过运算，把该分母化为有理数的过程，称其为分母有理化或有理化分母．
例：①；
②；
(1)分母有理化：；
(2)观察上面运算过程，对下列式子进行分母有理化：；
(3)请尝试对下列式子进行分母有理化：．
题型八 二次根式的化简
50．计算：
(1)．
(2)．
51．计算：；
52．已知x为奇数，且，求.
53．计算下列各式：
(1)；
(2)．
54．计算：
(1)
(2)．
55．计算：
(1)；
(2)．
56．当时，化简：
题型九 解二元一次方程组
57．解方程组：
(1)
(2)
58．解方程组：
(1)；
(2)．
59．解方程组．
60．解方程组：
(1)
(2)
61．解下列方程组：
(1)
(2)
62．解方程组：
(1)；
(2)
63．已知二元一次方程：（1）；（2）；（3）．请从这三个方程中选择两个你喜欢的方程，组成一个方程组，并求出方程组的解．
题型十 二元一次方程组的特殊解法
64．阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代入”的思想．
解：由①，得，③
把③代入②，得，即，
把代入③，得，
所以方程组的解为
请你运用小军的“整体代入”法，解方程组
65．先阅读材料，然后解方程组．
材料：解方程组
由①得，③
把③代入②，得，解得，
把代入③得，所以这个方程组的解为．
这种方法称为“整体代入法”．你若留心观察，有很多方程组可以采用此方法解答，请用这种方法解方程组：．
66．阅读下面的解题过程，再回答问题：
解方程组：
解：原方程组可化为
由③-①，得，即．④
把④代入②，得，解得．
把代入④，得，所以方程组的解是
以上解方程组的方法叫做“消常数项法”，请用上面的方法解方程组：
67．阅读材料：解方程组时，可由得，然后再把代入，得，求得，再把代入，求得，从而求得原方程组的解为，这种方法被称为“整体代入法”.
请用上述方法解方程组：
68．阅读下列解方程组的方法，然后回答问题．
解方程组
解：由，得，即．③
，得．④
，得，从而可得．
所以原方程组的解是
请你仿照上面的解法，解方程组：
69．观察发现：
材料：解方程组．
将①整体代入②，得．解得．
把代入①得，所以．
这种解法称为“整体代入法”，你若留心观察，有很多方程组可采用此方法解答，
(1)请直接写出方程组的解为_______．
(2)实践运用：请用“整体代入法”解方程组．
70．解方程组：；甲、乙同学的部分解题过程如下：
甲：将②①，得．
乙：由②得③，把①代入③．
(1)老师评价以上两种解题的方法都是正确的．但有一个同学的计算过程出现错误，其中过程出现错误的同学是_____（填“甲”或“乙”）；
(2)请你参照乙的解题思路，解下面的方程组．
题型十一 二元一次方程组的错解复原问题
71．用消元法解方程组时，两位同学的解法如下：
解法一：由①-②，得……
解法二：由②，得．③
把①代入③，得……
(1)上述两个解法中有一个计算有误，请指出计算有误的解法并进行改正．
(2)请选择一种你喜欢的解法解方程组．
72．甲、乙两人同时解方程组甲看错了b，求得的解为乙看错了a，求得的解为你能求出原题中正确的a，b吗？
73．小明和小文解一个关于x，y的二元一次方程组小明正确解得，小文因看错了c，解得．已知小文除看错了c外没有出现其他错误，求的值．
74．已知关于的方程组，小明在解方程组时看错a，解得，小红在解方程组时看错，解得．求的值．
75．在解方程组时，甲看错了方程组中的，得到的解为，乙看错了方程组中的，得到的解是．
(1)求原方程组中、的值各是多少？
(2)求出原方程组中的正确解
76．甲、乙两人共同解方程组由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为，求原方程组的解．
77．下面是两位同学解方程组的做法，
请认真阅读并完成下面的问题．
(1)芊芊的消元方法是 ；浩浩的消元方法是 ．
(2)判断 （选填“芊芊”或“浩浩”）的解答过程有误，并运用该同学的消元方法进行正确解答．
题型十二 已知二元一次方程组的解的情况求参数
78．已知关于，的二元一次方程组的解满足，求的值．
79．已知关于，的方程组的解满足，求的值及方程组的解．
80．已知关于的方程组．
(1)若，求这个方程组的解；
(2)若这个方程组的解满足，求的值．
81．已知关于，的方程组的解满足．
(1)求的值；
(2)试判断该方程组的解是否也是方程组的解．
82．已知关于，的二元一次方程组的解满足，求的值．
83．已知关于x，y的方程组．
(1)请直接写出方程的所有正整数解；
(2)若方程组的解满足，求m的值．
84．已知关于x，y的二元一次方程组，根据下列条件，求的值．
(1)方程组的解为．
(2)方程组的解和互为相反数．
题型十三 方程组的同解计算
85．若方程组的解满足方程组，求a，b的值．
86．若关于，的方程组与方程组的解相同，求：
(1)两个方程组的相同解；
(2)的值．
87．已知方程组和方程组的解相同，求的值．
88．已知关于x、y的方程组和的解相同，求a和b的值．
89．若关于的方程组和方程组有相同的解．
(1)求关于的方程组正确的解．
(2)求的值．
90．已知方程组的解和方程组的解相同，求的值
91．已知关于x，y的二元一次方程组与方程组有相同的解．
(1)求这两个方程组的相同解；
(2)求的值．
题型十四 解三元一次方程组
92．解方程组．
93．解三元一次方程组：
94．数学活动：探究不定方程
小川，小渝两位同学在学习方程过程中发现，三元一次方程组，虽然解不出具体数值，但可以解出，的值.
(1)小川的方法：整理可得：；
整理可得：；∴
小渝的方法：：______________________；∴.
(2)已知，试求解的值.
95．已知方程组的解也是方程的解，求的值．
题型十五 二元一次方程组的新定义运算
96．定义：我们把关于的两个二元一次方程与（为常数，且）叫作互为共轭二元一次方程，二元一次方程组，叫做共轭二元一次方程组．
(1)的共轭二元一次方程是______．（填选项字母）
A． B． C． D．
(2)若关于的方程组是共轭二元一次方程组，求的平方根．
97．定义：在解方程组时，由，易得，由，易得，再重新组成方程组再用加减法就容易得到方程组的解了，这种二元一次方程组的解法称为二元一次方程组的轮换对称解法．请用轮换对称解法解方程组．
98．阅读下面文字，然后回答问题
给出定义：对于关于x，y的二元一次方程（其中），若将其x的系数a与常数c互换，得到的新方程称为原方程的“镜像方程”．例如方程的“镜像方程”为．
(1)写出的“镜像方程”______，以及它们组成的方程组的解为______；
(2)若关于x，y的二元一次方程与其“镜像方程”组成的方程组的解为，求的平方根；
(3)若关于x，y的二元一次方程的系数满足，且与它的“镜像方程”组成的方程组的解恰是关于x，y的二元一次方程的一个解，请直接写出代数式的值．
99．对于有理数，，定义新运算：，，其中，是常数．已知，．
(1)求，的值；
(2)若关于，的方程组的解也满足方程，求的值；
100．定义：关于，的二元一次方程（其中为互不相等的常数，且）中的常数项与未知数系数互换，得到的方程叫“变更方程”，例如：“变更方程”为．
(1)求方程与它的“变更方程”组成的方程组的解；
(2)已知关于，的二元一次方程的系数满足，且与它的"变更方程"组成的方程组的解恰好是关于，的二元一次方程的一个解，求代数式的值．
1．（25-26七年级上·安徽合肥·月考）解下列方程（组）：
(1)
(2)
2．（24-25八年级上·安徽淮南·期末）我们规定，关于x，y的二元一次方程，若满足，则称这个方程为“最佳”方程．例如：方程，其中，，，满足，则方程是“最佳”方程，把两个“最佳”方程合在一起叫“最佳”方程组．
根据上述规定，回答下列问题：
(1)方程________“最佳”方程；（填“是”或“不是”）
(2)若关于x，y的二元一次方程是“最佳”方程，求k的值；
(3)若是关于x，y的“最佳”方程组的解，求p，q的值．
3．（25-26七年级上·安徽淮南·月考）【方法引入】
已知关于两个未知数组成的方程组，求关于这两个字母的代数式的值，常见有两种方法：
方法一（通法）：解方程组求出这两个未知数的值，再代入代数式求值；
方法二（整体思想）：仔细观察两个方程中未知数的系数之间的关系，通过适当变形整体求代数式的值．
【例】已知实数m、n满足，求和的值．
方法一：解方程组，分别求出m，n的值，代入代数式求值；
方法二：仔细观察两个方程中未知数的系数之间的关系，通过适当变形整体求代数式的值．
解法如下：①－②，得；①+②，得．
比较：
方法一运算量较大，是常规思路；
方法二运算较为简单，这种解题思想就是通常所说的“整体思想”．
【方法应用】
(1)已知二元一次方程组，则______；
(2)若有理数a，b满足，求的值；
(3)对于有理数x，y，定义新运算：，其中a，b，c是常数，等式右边是通常的加减法和乘法运算．已知，，求的值．
4．（25-26八年级上·安徽宿州·期中）归纳与探究：
（1）计算：_____，_____，，_____；
（2）猜想：对于任意实数，一定等于吗？利用（1）中的计算，你发现的值等于多少呢？
（3）应用：已知实数，在数轴上的位置如图所示，计算：
5．（24-25八年级下·安徽亳州·期中）观察下列等式：
①；
②；
③；
…
利用你观察到的规律：
(1)化简：①的值；②的值；
(2)计算：．
6．（25-26八年级上·安徽宿州·月考）观察发现：
解方程组：
将①整体代入②得．
解得．
把代入①，．
故原方程组的解为．
这种解法称为“整体代入法”，你细心观察，有很多方程组均可采用此方法解答．
(1)实践运用：
请用“整体代入法”解方程组．
(2)拓展提升：
请你仿照上面的解法解方程组，．（提示，将看作一个整体）
7．（24-25八年级上·安徽芜湖·期末）已知关于、的方程组．
(1)请写出方程的所有正整数解．
(2)若方程组的解满足，求的值．
(3)当每取一个值时，就对应一个方程，而这些方程有一个公共解，求出这个公共解．
8．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）【问题呈现】已知实数x，y满足，且，求k的值．
【方法对比】
甲、乙、丙三名同学分别提出了三种不同的解题思路如下：
（1）甲同学：先解关于x，y的方程组，再求k的值．
（2）乙同学：先将方程组中的两个方程相减，再求k的值．
（3）丙同学：先解方程组，再求k的值．
【解答问题】
你欣赏哪名同学的解题思路？请根据你所选的思路解答此题．
1．（24-25八年级上·安徽芜湖·期末）计算：．
2．（25-26八年级上·安徽宿州·期中）计算：
(1)；
(2)．
3．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）已知，．
(1)已知x的算术平方根为3，求a的值；
(2)如果x，y都是同一个正数的两个平方根，求这个数．
4．（25-26八年级上·安徽宿州·期中）已知和是m的两个平方根，是的立方根．
(1)求m，x，y的值；
(2)求的平方根和算术平方根．
5．（25-26八年级上·安徽宿州·期中）小明在解决问题：已知，求的值．他是这样解的：
因为，
所以，所以，所以，
所以．
请你根据小明的解答过程，解决下列问题：
(1)计算：；
(2)若．
①求的值；
②求的值．
6．（25-26八年级上·安徽宿州·月考）（1）计算：
（2）解二元一次方程组：．
7．（25-26七年级上·安徽阜阳·月考）已知关于，的方程组．
(1)若，求这个方程组的解；
(2)若这个方程组的解满足，求的值．
8．（25-26七年级上·安徽淮北·月考）若方程组的解互为相反数，求的值和方程组的解．
平方根
算术平方根
区别
个数
一个正数的平方根有两个，它们互为相反数
一个正数的算术平方根只有一个
表示方法
非负数a的平方根表示为
非负数a的算术平方根表示为
取值范围
正数的平方根是一正一负
正数的算术平方根一定是正数
联系
包含条件
平方根包含算术平方根，算术平方根是正的平方根（0除外）0.
存在条件
平方根和算术平方根都是只有非负数才有，0的平方根和算术平方根都是0.
x
17
18
289
324
200
0.0001
0.01
1
100
10000
0.01
0.1
1
10
100
a
1
1000
1000000
______
______
100
0．0001
1
100
10000
1
10
100
芊芊的做法如下：
由方程①得③
将方程③代入②得
解得
把代入③
∴方程组的解为
浩浩的做法如下：
由①×2得③
由②＋③得
解得
把代入①得
∴方程组的解为