2025-2026学年人教版数学八年级下册寒假巩固作业15预习检测卷（勾股定理）(含答案）

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一、单选题（共30分）
1．（本题3分）下列各组数中，不能构成直角三角形三边的是（ ）
A．3，4，5B．6，8，10C．7，24，25D．8，12，15
【答案】D
【分析】此题主要考查了勾股定理逆定理，知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不能构成直角三角形．根据勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形进行分析即可．
【详解】解：A、32+42=25=52，能作为直角三角形的三边，故不符合题意；
B、62+82=100=102，能作为直角三角形的三边，故不合题意；
C、72+242=625=252，能作为直角三角形的三边，故不合题意；
D、82+122=208≠152，不能作为直角三角形的三边，故符合题意；
故选：D．
2．（本题3分）如图，点A到数轴的距离为1，以O为圆心，OA长为半径作弧，弧与数轴负半轴交于点B，则点B表示的实数是（ ）
A．5−2B．2−5C．5D．−5
【答案】D
【分析】本题考查了勾股定理，熟记勾股定理是解题的关键．根据勾股定理求出OA，推出OB=OA=5即可推出结果．
【详解】解：由勾股定理得，OA=22+12=5，
∵以O为圆心，OA长为半径作弧，弧与数轴负半轴交于点B，
∴OB=OA=5，
∴点B表示的实数是−5，
故选：D．
3．（本题3分）下列四组线段中，能组成直角三角形的是（ ）
A．a=3,b=4,c=5B．a=11,b=12,c=13
C．a=52,b=122,c=132D．a=1,b=1,c=2
【答案】A
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，正确掌握勾股定理逆定理判断直角三角形的方法是解题的关键．
根据勾股定理逆定理分别计算并判断．
【详解】解：A、∵32+42=52，
∴能组成直角三角形，符合题意；
B、∵112+122≠132，
∴不能组成直角三角形，不符合题意；
C、∵522+1222≠1322，
∴不能组成直角三角形，不符合题意；
D、∵12+12≠22，
∴不能组成直角三角形，不符合题意，
故选：A．
4．（本题3分）在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，下列选项中能判定△ABC是直角三角形的是（ ）
A．∠A:∠B:∠C=3:4:5B．a=1，b=2，c=3
C．a2=c+bc−bD．∠A=∠B
【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，等腰三角形的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键．
根据求出最大角∠C=53+4+5×180°=75°48，
∴会对鸟类巢穴造成噪声污染．
如图所示，在AB上取不同的两点E、F，连接CE、CF，使得CE=CF=52m．
∵CD⊥AB，
∴DE=DF．
在Rt△CDE中，由勾股定理，得DE=CE2−CD2=522−482=20m，
∴EF=2DE=2×20=40m，
∴货车对鸟类巢穴造成噪声污染的时长为4010=4s．
答：货车对鸟类巢穴造成噪声污染的时长为4s．
23．（本题11分）综合与实践．
【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于c2，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即12ab×4+b−a2，从而得到等式c2=12ab×4+b−a2，化简便得结论a2+b2=c2．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”．
【方法运用】将两个这样的直角按照图②所示摆放，使BC和CD在一条直线上，连接AE．
(1)请用a，b，c分别表示出梯形ABDE，△ABC，△CDE，△ACE的面积，再探究这四个图形面积之间的关系，证明：勾股定理a2+b2=c2．
(2)【方法迁移】请利用“双求法”解决下面的问题：如图③，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得△ABC，则AB边上的高为______．
(3)如图④，在△ABC中，AD是BC边上的高，AB=4，AC=5，BC=6，设BD=x，求x的值．
【答案】(1)S△ACE=12c2，S梯形ABCD=12b+aa+b，S△CDE=12ab，S△ABC=12ab，
S△ABDE=S△ABC+S△CDE+S△ACE；证明见解析
(2)655
(3)x=94
【分析】此题主要考查了梯形，证明勾股定理，勾股定理的应用，证明勾股定理常用的方法是利用面积证明，是解本题的关键．
（1）根据S△ABDE=S△ABC+S△CDE+S△ACE可证a2+b2=c2；
（2）计算出△ABC的面积，再根据三角形的面积公式即可求得AB边上的高；
（3）运用勾股定理在Rt△ABD和Rt△ADC中求出AD2，列出方程求解即可．
【详解】（1）证明：S△ACE=12c2，S梯形ABDE=12b+aa+b，S△CDE=12ab，S△ABC=12ab，
S梯形ABDE=S△ABC+S△CDE+S△ACE，
∴12b+aa+b=12ab+12c2+12ab，
∴a2+b2=c2；
（2）解：设AB边上的高为h，则S△ABC=4×4−12×2×4−12×2×4−12×2×2=6,
AB=22+42=25，
∴S△ABC=12AB⋅h=12×25h=6,
∴h=655，
即AB边上的高是655，
故答案为：655；
（3）（3）解：在Rt△ABD中，由勾股定理得：
AD2=AB2−BD2=42−x2=16−x2，
∵BD+CD=BC=6，
∴CD=BC−BD=6−x，
在Rt△ACD中，由勾股定理得：AD2=AC2−CD2=52−6−x2=−11+12x−x2，
∴16−x2=−11+12x−x2，
∴x=94．