新教材-高中数学必修第四册人教B版 (2019)-第九章 -9.1.2余弦定理 课件

9.1.2余弦定理第九章重点：余弦定理及其应用.难点：余弦定理的应用.1.借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系.2.掌握余弦定理.3.会用余弦定理解决简单的三角形度量和边角转化问题.学习目标 一、余弦定理新知学习【特别提醒】1.余弦定理及其变形把用“边、角、边”和“边、边、边”判定三角形全等的定理从数量化的角度进行了刻画，使其变成了可以计算的公式.2.余弦定理及其变形在结构上有所不同，在应用它们解三角形时要根据条件灵活选择.二、余弦定理在解三角形中的应用一、用余弦定理解三角形 典例剖析◆已知三角形的两边及其夹角，用余弦定理解三角形的一般步骤1.用余弦定理求出第三边.2.用余弦定理的第二种形式求出第二个角.3.用三角形内角和定理求出第三个角.【注意】用余弦定理求角时，因为余弦函数在（0，π）内是单调递减函数，所以一个余弦值对应唯一一个角，不存在三角形无解和两解的情况.  ◆已知三角形的三边或关系，用余弦定理解三角形的一般步骤（1）利用余弦定理的第二种形式求出一个角的余弦值，从而求出第一个角；（2）利用余弦定理的第二种形式求出第二个角；（3）利用三角形内角和定理求出第三个角.  ◆选用正弦定理和余弦定理进行边角互化的方法（1）如果遇到的式子中含角的余弦或边的二次式，那么考虑用余弦定理.（2）如果遇到的式子中含角的正弦或边的一次式，那么考虑用正弦定理.（3）如果特征不明显，那么考虑两个定理都有可能用. A    ◆已知三角形的两边及其一边的对角，解三角形的两种方法1.应用正弦定理求解（上一节的方法）先由正弦定理求出已知边所对的角，再由三角形内角和定理求出第三个角，最后由正弦定理求出第三边.注意在求已知边所对的角时可能出现无解、一解、多解的情况.2.应用余弦定理求解（本节的方法）先由余弦定理求出第三边（通过列方程、解方程的方法）.余弦定理给出了三角形的三条边和一个角之间的关系，若知道两边和其中一边的对角，可利用余弦定理列出关于第三边的方程，方程的正根即是第三边长，再应用余弦定理求得另两个角.注意在解方程求第三边时可能出现增根.如果方程的根为负，可直接舍去；如果方程有两个不等的正实根，要根据题意进行取舍，如已知a，b，A时，要根据角B的范围取舍，这是一个难点，如图所示.二、用余弦定理，判断三角形的形状  ◆利用余弦定理判断三角形形状的方法一般考虑从两个方向对已知条件进行变形：一是化边，走的是代数变形途径，通常是利用余弦定理，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；二是化角，走的是三角变换途径，通过三角恒等变换，得出内角的关系，从而判断三角形的形状，此时要注意应用A+B+C＝π这个结论.一般地，若遇到的式子含角的余弦或边的二次式，则要考虑用余弦定理；若遇到的式子含角的正弦或边的一次式，则要考虑用正弦定理；若以上特征不明显，则要考虑两个定理综合运用.三、灵活运用正弦定理、余弦定理，结合三角恒等变换公式解决问题  ◆在用正弦定理和余弦定理解三角形时的注意点1.正弦定理和余弦定理都反映了三角形中边与角的关系，用它们解三角形时应选取适当的定理求解.2.余弦定理和正弦定理一样，都是围绕着三角形进行边角互换的，所以在有关三角形的题目中，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用.要抓住能利用两个定理的信息，判断方法有以下两种：（方法1）一般地，（1）若遇到的式子中含角的余弦或边的二次式，则考虑用余弦定理；（2）若遇到的式子中含角的正弦或边的一次式，则考虑用正弦定理；（3）若特征不明显，则考虑两个定理都有可能用.（方法2）一般地，（1）对于已知两边及其夹角、已知三边这两类，应选取余弦定理解决；（2）对于已知两角和任一边、已知两边和其中一边的对角这两类，应选取正弦定理解决；（3）在用一个定理求出第四个元素后，求最后两个元素时，正、余弦定理可以混用.【注意】解三角形问题，多为边和角的求值问题，常常需要根据正弦定理、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.课堂小结