人教B版 (2019)必修 第四册9.1.2 余弦定理第2课时导学案及答案

9.1.2余弦定理（2）

【学习重点】

利用余弦定理的边角互化功能判定三角形形状，解决三角形，四边形中的边长、角度、面积问题，与其他知识，如三角函数，向量的综合问题

【学习难点】

余弦定理的综合应用

复习回顾：

1.余弦定理

2.余弦定理的变形

3. 余弦定理的应用：

①已知三边，求三个角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角

典型例题：

例1.在中，已知用两种方法判断该三角形的形状.

注：判断该三角形的形状一般都有“走边”或“走角”两条路，利用余弦或者正弦定理进行边角互化.

【变式练习】

1.在△ABC中，若（a＋b＋c）（b＋c－a）＝3bc，并且sinA＝2sinBcosC，试判断△ABC的形状.

2. 在△ABC中，设，且，请判断三角形的形状。

例2.如图所示平行四边形ABCD中，已知，求四边形ABCD的面积.

注：与平面多边形有关的问题，可以转化为三角形中的边或角问题，借助余弦定理或正弦定理来解决。

【变式练习】

1.在四边形ABCD中，ADB=BCD=75，ACB=BDC=45，DC=，求：

（1）          AB的长

（2）          四边形ABCD的面积

2. 如图，是中边上的中线，求证：．

例3.在中，求证：

注：（1）上述结果也可以用向量数量积的几何意义来解释，事实上，是在上的投影的数量之和。

（2）同理可得：

（3）结合三个等式也可以证明余弦定理，同学们可自行尝试.

【变式练习】

1. 在ABC中，求证：

2. 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为，，，证明：。

例4. 已知△ABC中，a＝2，c＝1，求角C的取值范围.

【变式练习】

1. 在△ABC中，已知：c4－2(a2＋b2)c2＋a4＋a2b2＋b4＝0，求角C.

例5. 在中，角所对的边分别为，且满足，． 

（I）求的面积；   （II）若，求的值．

【变式练习】

在△ABC中，=，=，且，是方程的两根，。

(1)求角C的度数；    (2)求的长；  (3)求△ABC的面积。