高中数学人教B版 (2019)必修 第四册9.1.2 余弦定理教案及反思

第八讲  解三角形

[玩前必备]

1．正弦定理

在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即＝＝.

2．解三角形

一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素，已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．

3.余弦定理

4.三角形常用面积公式

(1)S＝a·ha(ha表示边a上的高)；

(2)S＝absin C＝acsin B＝bcsin A；

[玩转典例]

题型一 正弦定理

【例1】（1）（2020·陕西高二期中）在△ABC中，B＝135°，C＝15°，a＝5，则此三角形的最大边长为     。

（2）在中，若，，，则______.

【答案】（1）5 （2）或

【解析】（1）由在△ABC中，B＝135°，C＝15°，则，因为最大，由三角形的性质可得对应的边最大，由正弦定理可得，，故选:A.

（2）由题,根据正弦定理得,即,即

为或故答案为：或

【玩转跟踪】

1．（2020·甘肃高二期中）在△中，，，则等于(    )

A. B. C. D.9

【答案】A

【解析】，，，由正弦定理得，

则，故选：A.

2．在中，若，，，则______.

【答案】

【解析】因为在中，，，，

由正弦定理可得：，所以，

又，所以，因此.故答案为：

题型二 余弦定理

【例2】（1）（2020·上海曹杨二中高三月考）在△的内角、、的对边分别为、、，若，，，则的值为      。

（2）（2020·上海市复兴高级中学高一期末）在，若，，，则__________________．

【答案】（1）2 （2）

【解析】（1）a＝2，c＝2，C，且b＜c，由余弦定理可得，c2＝b2+ a2﹣2bacosC，

即有12＝b2+4+4b，解得b＝2或﹣4，由b>0，可得b＝2．故选：B．

（2）,又，,又,

代入得,所以.

故答案为：

【玩转跟踪】

1．（2020·河南高二月考）在中，角，，的对边分别是，，，若，，，则_______.

【答案】3

【解析】由余弦定理可得：，

解得.故答案为：3。

2．在中，，则边长__________.

【答案】或

【解析】因为，

所以，解得：或.

在中，因为，所以三角形两解.

故答案为：或.

3．在中，，，，则______.

【答案】3

【解析】由余弦定理可得：a2＝b2+c2﹣2bccosA，∴b2+5b﹣24＝0，b＞0．

解得b＝3，故答案为：3．

题型三 外接圆的半径

【例3】（2020·甘肃高二期中）已知△的两边长分别为2,3，这两边的夹角的余弦值为，则△的外接圆的直径为（    ）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】的两边长分别为2、3，其夹角的余弦为，故其夹角的正弦值为，
由余弦定理可得第三边的长为：，
则利用正弦定理可得：的外接圆的直径为.故选：B.

【玩转跟踪】

1．（2020·江西高二月考）已知等腰三角形的底边长为，一腰长为，则它的外接圆半径为(　　)

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】设等腰三角形的顶角为，其外接圆半径为，由余弦定理得，

所以，，

由正弦定理得，因此，该三角形外接圆的半径为，

故选：C

2．（2020·扬州市邗江区蒋王中学高一月考）在中，若，，则的值为_______

【答案】2

【解析】由正弦定理结合题意有：,

结合合分比定理可知：.

故答案为：2．

题型四 正余弦定理运用--边角互换

【例4】(1)（2020·安徽高二月考）设，，分别为内角，，的对边. 已知，则（    ）

1.                                                               B.1 C. D.2

(2)．（2020·山东省烟台第一中学高三月考）在中，内角A，B，C所对的边分别为.已知则

A. B. C. D.

【答案】(1)D(2)C

【解析】因为，由正弦定理，

可得，

又，所以得所以.故选：D.

（2）由已知和正弦定理得，

即，

即

所以，因为，所以，即，所以，即，又，所以，故选:C。

【玩转跟踪】

1．（2020·河南高二月考）在中，角，，的对边分别为，，，，则（    ）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】因为，

则由正弦定理可得，即.

则由余弦定理，可得.又，所以.故选：D.

2．（2020·黑龙江双鸭山一中高一期末）在中，已知，且满足，则的面积为（   ）

A．1 B．2 C． D．

【答案】D

【解析】在中，已知，∴由正弦定理得，

即，∴＝＝，即＝.

∵ ，∴的面积．故选：D．

3．（2020·上海市奉贤中学高三开学考试）在中，角，，的对边分别为，，，若，则______.

【答案】

【解析】因为由正弦定理可知：，所以，

所以，则，所以.故答案为：.

题型五 三角面积

【例5】（1）（2020·贵州凯里一中高一月考）在中，内角的对边分别为，且，则的面积为(  )

A. B. C. D.

（2）．（2020·辽宁高考模拟（理））在中，，，，则的面积为（   ）

A．1 B．2 C． D．

【答案】（1）D（2）C

【解析】（1）由得：，即：

    本题正确选项：

（2）由余弦定理可知

，因为，所以，

因此，故本题选C.

【玩转跟踪】

1．（2020·全国高三）的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若且，则的面积为（    ）

A.1 B.2 C. D.

【答案】A

【解析】由，

又由，∴．

2．（2020·河南高三）在中，，，所对应边分别为，，，已知，且，则的面积为（    ）.

A.1 B. C. D.

【答案】B

【解析】由余弦定理得，所以，由得.故选：B.

3．（2020·湖南长郡中学高二期末）在中，，，其面积，则外接圆直径为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由三角形的面积公式可得，可得，

由余弦定理得，则，

由正弦定理可知，的外接圆直径为，故选：B.

题型六 三角形的个数

【例6】（1）根据下面的条件解，则解唯一的是（    ）

A.，， B.，，

C.，， D.，，

（2）（2020·陕西高二期末）已知在中，，，，若三角形有两解，则的取值范围是(　　)

A. B. C. D.

【答案】（1）D（2）D

【解析】对于A选项，由可得或，因此，三角形有两解；

对于B选项，三角形中，大边对大角，由得，又为钝角，所以也为钝角，显然不成立，故三角形解的个数为个；

对于C选项，由不成立，所以三角形解的个数为个；

对于D选项，由，所以，因此三角形个数只有一个.故选：D

（2）因为在中，，，，若三角形有两解，

则有，即，即，

所以.故选D

【玩转跟踪】

1．在中，如果，，，则此三角形解的情况是（    ）

A.1解 B.两解 C.无解 D.不确定

【答案】B

【解析】由题意得：，，

如图

此三角形解的情况有两种。

故选：

2．（2020·河北高一期末）在中，根据下列条件解三角形，其中有一解的是（    ）

A.，，   B.，，

C.，，  D.，，

【答案】D

【解析】对于A选项，，，此时，无解；

对于B选项，，，此时，有两解；

对于C选项，，则为最大角，由于，此时，无解；

对于D选项，，且，此时，有且只有一解.故选：D.

题型七 判断三角形的形状

【例7】（2020·甘肃高二期中（理））在中，角，，的对边分别为，，，其面积为，若，则一定是（    ）

A.等腰三角形 B.直角三角形

C.等边三角形 D.等腰直角三角形

【答案】B

【解析】因为，所以，

而，故.又，所以，

所以即，故或.

若，则，故，故为直角三角形；

若，则，故，故为直角三角形；综上，故选B.

【玩转跟踪】

1．（2020·上海市北虹高级中学高一期中）在中，若，则是（   ）

A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.等腰三角形 D.直角三角形

【答案】C

【解析】因为，由正弦定理可得 ，

由余弦定理可得，，

即，即 ，即是等腰三角形，故选：C.

2．在中，若等式成立，则的形状是（    ）．

A．等边三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形

【答案】A

【解析】由正弦定理得，即，故三角形为等边三角形.

3．（2019·安徽高二开学考试）已知的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，则的形状是

A．等边三角形 B．等腰直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角

【答案】B

【解析】

的内角A，B，C ，

故答案选B

【玩转练习】

1．（2020·甘肃高二期中）已知分别是的三个内角所对的边，若，，，则等于（     ）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】由正弦定理可得即，故.故选A.

2．（2020·甘肃高二期中）在△中，分别为角的对边，已知，，面积，则等于(    )

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】由正弦定理，（为三角形外接圆的半径），

所以.

因为，所以，

根据余弦定理，，

解得，所以.

故选：A.

3．（2020·江苏海安高级中学高二月考）在中，根据下列条件解三角形，其中有两解的是（    ）

A. B.

C. D.

【答案】D

【解析】对A选项，由得，又

故三角一边均确定，故三角形只有一解。B选项，由正弦定理得，所以，又所以，有唯一解。C选项，故，又,无解。D选项，由

得，又，故有两种情况，故选D。

4.（2019·安徽高一期末）在中，角的对边分别为，若，则（    ）

A．无解 B．有一解

C．有两解 D．解的个数无法确定

【答案】C

【解析】由题意，因为，又由，且，所以有两解.

5．（2020·河北高一期末）在中，，，为的外接圆的圆心，则（    ）

A. B.

C. D.

【答案】A

【解析】由正弦定理可得，因此，，故选：A.

6．（2020·安徽高三月考（理））已知在中，角，，的对边分别为，，，，，的面积等于，则外接圆的面积为（）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】在中，，，，，解得，.设外接圆的半径为，则，，外接圆的面积为.故选D.

7．（2019·重庆一中高三月考）设的内角所对边分别为，已知，的面积为，，则的外接圆面积为（    ）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】因为，

由正弦定理可得：

即

由于在中，，由诱导公式可得，

所以等价于，

由于在中，，则，所以，

因为在中，，故

由于的面积为，，

所以由三角形面积公式以及余弦定理可得： 解得：

所以由正弦定理可得，解得：，

则的外接圆的半径为2，其面积为

故答案选A

8．（2020·上海交大附中高二月考）已知两内角、的对边边长分别为，，则“”是“”（    ）．

A.充分非必要条件 B.必要非充分条件

C.充要条件 D.既非充分也非必要条件

【答案】A

【解析】，

则或，故“”是“”充分非必要条件.

故选：A.

9．在中，如果，那么必是（）．

A．直角三角形 B．等腰直角三角形

C．钝角三角形 D．锐角三角形

【答案】C

【解析】因为且，所以，则，所以是钝角，所以必是钝角三角形，

故选：C.

10．在中，、、是三角形的三条边，且方程有实数根，则该三角形是（    ）

A.钝角三角形 B.直角或钝角三角形 C.锐角三角形 D.直角或锐角三角形

【答案】B

【解析】∵方程有实数根，

∴

由正弦定理可得： ，∴

即为直角或钝角，∴该三角形是直角或钝角三角形，故选：B

11．（2019·云南高三月考（理））在中，内角所对的边分别为若，则最短边的边长是__________________________．

【答案】

【解析】由，可得，∵角最小，∴最短边是，

由正弦定理，可得．

12．（2020·上海市第二中学高一期中）在中，，则角的大小为________.

【答案】

【解析】∵，∴

∴，又角为三角形的内角，∴

13．在中，若，且最大边长为14，则的面积是______.

【答案】

【解析】∵sinA：sinB：sinC＝3：5：7，

由正弦定理可得：a：b：c＝3：5：7，且最大边长为14，

∴a＝6，b＝10，c＝14，∴cosC，

∵C∈（0，π），∴C．∴S△ABC ．

故答案为：15．

【点睛】

本题考查了正弦定理余弦定理、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

14．（2020·上海高三）在△中，角、、的对边分别为、、，其面积，则________

【答案】

【解析】由三角形面积公式可得,

由余弦定理可得，,

又,,,,即

故答案为：

15．（2020·湖北高三月考（理））在中，角，，所对的边分别是，，且满足，，则___________．

【答案】-3

【解析】因为，

则，则， 

又因为，则，

则，

将，代入得，,

即，

故答案为-3.