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    高中数学9.1.2 余弦定理巩固练习

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    这是一份高中数学9.1.2 余弦定理巩固练习,共12页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    二 余 弦 定 理

    (30分钟 60分)

    一、选择题(每小题4分,共24分,多选题全部选对得4分,选对但不全对的得2分,有选错的得0分)

    1.在△ABC中,若b=1,c=,C=,则a= (  )

    A.1 B.2 C.3 D.4

    【解析】选A.由余弦定理c2=a2+b2-2abcos C,得3=a2+1-2a×1×cos ,

    即a2+a-2=0.

    解之得a=-2(舍去)或a=1,所以a=1.

    2.在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,a=3,b=,c=2,那么B等于 (  )

    A.30° B.45° C.60° D.120°

    【解析】选C.因为a=3,b=,c=2,所以cos B===.

    又因为B为三角形内角,所以B=60°.

    3.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,cos A=,a=7,c=6,则b= (  )

    A.8 B.7 C.6 D.5

    【解析】选D.由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A,所以49=b2+36-2b·6·,整理得5b2-12b-65=0,解得b=5或b=-(舍去).

    4.在△ABC中,AB=5,AC=3,BC=7,则∠BAC= (  )

    A. B. C. D.

    【解析】选C.因为cos BAC=

    ==-,

    又因为0<BAC<π,所以BAC=.

    【补偿训练】

    在△ABC中,D为边BC的中点,AB=2,AC=4,AD=,则∠BAC为 (  )

    A.30°   B.60°   C.120°   D.150°

    【解析】选B.如图,设BD=CD=x.

     在ABD和ACD中,由余弦定理及诱导公式,得

    ,

    即14+2x2=20,

    解得x=,即BC=2.

    则cosBAC==,

    所以BAC=60°.

    5.(2020·全国Ⅲ卷)在△ABC中,cos C=,AC=4,BC=3,则cos B= (  )

    A.   B.   C.   D.

    【解析】选A.由余弦定理可知cos C=

    ==,

    可得=3,又由余弦定理可知:

    cos B===.

    6.(多选题)在△ABC中,a=1,b=2,cos C=,则 (  )

    A.c=1    B.c=2

    C.sin A=   D.sin A=

    【解析】选BD.根据余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C=12+22-2×1×2×=4,解得c=2.

    由a=1,b=2,c=2,

    得cos A==,

    所以sin A==.

    二、填空题(每小题4分,共8分)

    7.在△ABC中,已知a=4,b=5,c=6,则sin A=________. 

    【解析】ABC中,已知a=4,b=5,c=6,由余弦定理得,cos A==,

    则sin A==.

    答案:

    8.在△ABC中,已知BC=7,AC=8,AB=9,则AC边上的中线长为________. 

    【解析】方法一:由条件知cos A===,

    设中线长为x,由余弦定理知x2=+AB2-2××ABcos A

    =42+92-2×4×9×=49,所以x=7.

    所以AC边上的中线长为7.

    方法二:设AC中点为M,连接BM(图略).

    =(+),

    所以=(++2·)

    =(92+72+2||||cos ABC),

    由余弦定理得2||||cos ABC=||2+||2-||2=92+72-82,所以||2=(92+72+92+72-82)=49.所以BM=7,即AC边上的中线长为7.

    答案:7

    【补偿训练】

       在△ABC中,已知角A,B,C所对的三边长分别为a,b,c,若a2=b2+c2,则=________. 

    【解析】因为a2=b2+c2,所以c2=4a2-4b2,

    又由余弦定理可得:cos B=.

    所以==

    ===.

    答案:

    三、解答题(每小题14分,共28分)

    9.在△ABC中,已知sin C=,a=2,b=2,求边c.

    【解析】因为sin C=,且0<C<π,

    所以C为.

    当C=时,cos C=,此时,由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C=4,即c=2.

    当C=时,cos C=-,

    此时,由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C=28,即c=2.所以边c的长为2或2.

    10.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知4sin2+4sin Asin B=2+.

    (1)求角C的大小.

    (2)已知b=4,△ABC的面积为6,求边长c的值.

    【解析】(1)由已知得2[1-cos(A-B)]+4sin Asin B=2+,化简得-2cos Acos B+2sin Asin B=,

    故cos(A+B)=-,所以A+B=,从而C=.

    (2)因为SABC=absin C,由SABC=6,b=4,C=,得a=3.由余弦定理c2=a2+b2-2abcos C=10,得c=.

    【补偿训练】

    在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且满足cos 2A+2sin2(π+B)+

    2cos2-1=2sin Bsin C.

    (1)求角A的大小.

    (2)若b=4,c=5,求sin B.

    【解析】(1)因为cos 2A+2sin2(π+B)+

    2cos2-1=2sin Bsin C,

    所以sin2B+sin2 C-sin2A=sin Bsin C.

    由正弦定理得b2+c2-a2=bc,

    由余弦定理得cos A==,

    因为0<A<π,

    所以A=.

    (2)因为a2=b2+c2-2bccos A=16+25-2×4×5×=21,

    所以a=.

    由正弦定理=,=,

    解得sin B=.

    (35分钟 70分)

    一、选择题(每小题4分,共16分,多选题全部选对得4分,选对但不全对得2分,有选错的得0分)

    1.在△ABC中,a2+b2-c2+ab=0,则C等于 (  )

    A.30° B.45° C.120° D.135°

    【解析】选D.由a2+b2-c2+ab=0知,c2=a2+b2+ab,由余弦定理得,cos C==-,

    因为0°<C<180°,所以C=135°.

    【补偿训练】

    在△ABC中,a,b,c分别是内角A,B,C的对边,且a2=c2+b2+bc,则角A的大小为 (  )

    A. B. C. D.

    【解析】选D.因为a2=b2+c2+bc,

    所以b2+c2-a2=-bc.

    由余弦定理的推论得cos A==

    =-,又因为0<A<π,所以A=.

    2.在△ABC中,a∶b∶c=3∶5∶7,那么△ABC是 (  )

    A.直角三角形  B.钝角三角形  

    C.锐角三角形  D.非钝角三角形

    【解析】选B.因为abc=357,所以可设a=3t,b=5t,c=7t,由余弦定理可得cos C==-,因为0<C<π,所以C=120°,故ABC是钝角三角形.

    3.(多选题)已知△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=5,b=7,c=8,则 (  )

    A.B=45°  B.B=60°

    C.cos C=  D.sin A=

    【解题指南】利用余弦定理的变形公式计算三角形内角的余弦值,再计算角.

    【解析】选BCD.最小的角为A,最大的角为C,则cos A==,

    cos B==,cos C==,

    则sin A==,

    又0°<B<180°,所以B=60°.

    4.在△ABC中,sin B=,BC边上的高为AD,D为垂足,且BD=2CD,则cos∠BAC= (  )

    A.-  B.  C.-  D.

    【解析】选A.依题意设CD=x,AD=y,则BD=2x,BC=3x.

    因为sin B=,所以AB==3y.

    因为BC边上的高为AD,如图所示,

    所以AB2=AD2+BD2=y2+4x2=9y2,即x=y.

    所以AC===y.

    根据余弦定理得cosBAC====-.

    二、填空题(每小题4分,共16分)

    5.已知在△ABC中,B=60°,b2=ac,则△ABC一定是________三角形. 

    【解析】因为B=60°,b2=ac,

    由余弦定理,b2=a2+c2-2accos B,

    ac=a2+c2-ac,(a-c)2=0,所以a=c.

    又B=60°,所以ABC是等边三角形.

    答案:等边

    6.如图所示,在△ABC中,已知点D在BC边上,AD⊥AC,sin ∠BAC=,AB=3,AD=3,则BD的长为________. 

    【解析】因为sin BAC=sin(90°+BAD)=cos BAD=,所以在ABD中,由余弦定理,得BD2=AB2+AD2-2AB·ADcos BAD,所以BD2=18+9-2×3×3×=3,所以BD=.

    答案:

    7.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若ac=b2-a2,A=,则B=________. 

    【解析】由余弦定理得a2=b2+c2-bc,

    与ac=b2-a2联立,得ac+c2-bc=0,

    即c=b-a,代入ac=b2-a2,

    a(b-a)=b2-a2,解得b=a,

    所以c=b-a=2a,

    所以cos B===,

    又因为B(0,π),所以B=.

    答案:

    8.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a2+b2=4 037c2,则的值为________. 

    【解析】

    =·

    =·=cos C·

    =cos C·

    =·=

    ==

    =2 018.

    答案:2 018

    三、解答题(共38分)

    9.(12分)(2020·全国Ⅰ卷)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知B=150°.

    (1)若a=c,b=2,求△ABC的面积;

    (2)若sin A+sin C=,求C.

    【解析】(1)由题设及余弦定理得28=3c2+c2-2×c2×cos 150°,

    解得c=-2(舍去),c=2,从而a=2.

    ABC的面积为×2×2×sin 150°=;

    (2)ABC,A=180°-B-C=30°-C,

    所以sin A+sin C=sin(30°-C)+sin C=

    sin(30°+C),sin(30°+C)=.

    0<C<30°,

    所以30°+C=45°,C=15°.

    10.(12)△ABC,A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足cos=,·=3.

    (1)求△ABC的面积.

    (2)若c=1,求a的值.

    【解析】(1)cos A=2cos2-1=2×-1=,

    A(0,π),sin A==,

    ·=||·||·cos A=bc=3,

    所以bc=5,所以ABC的面积为bcsin A=×5×=2.

    (2)(1)bc=5,c=1,b=5,

    所以a===2.

    11.(14)已知在△ABC,三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,向量p=(sin A-cos A,1-sin A),q=(2+2sin A,sin A+cos A),pq是共线向量,≤A≤.

    (1)求角A的大小.

    (2)sin C=2sin B,a=,试判断△ABC的形状,并说明理由.

    【解析】(1)因为pq,

    所以(sin A-cos A)(sin A+cos A)-

    2(1-sin A)(1+sin A)=-cos2A-2cos2A=0,

    所以1+2cos2A=0,所以cos2A=-.

    因为A,所以2Aπ,

    所以2A=,所以A=.

    (2)ABC是直角三角形.理由如下:

    cos A=,a=及余弦定理得b2+c2-bc=3.

    又sin C=2sin B,由正弦定理得c=2b.

    联立可得解得

    所以a2+b2=()2+12=4=c2,所以ABC是直角三角形.

    【补偿训练】

    已知△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若c=,b=,4a-3cos A=0.

    (1)求a的值.

    (2)若B=λA,求λ的值.

    【解析】(1)因为4a-3cos A=0,

    故4a=3cos A,

    由余弦定理4a=3×,

    因为c=,b=,所以12a2+80a-147=0,

    解得a=或a=-(舍去),故a=.

    (2)由(1)可知cos A=×=,

    所以sin A=,故cos 2A=cos2 A-sin2 A=,

    因为a=,c=,b=,

    所以cos B==,

    所以cos 2A=cos B,

    因为在ABC中,c>b>a,故B=2A,

    λ的值为2.

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