甘肃省武威市凉州区武威十七中联片教研八年级上学期1月期末数学试题（解析版）-A4

这是一份甘肃省武威市凉州区武威十七中联片教研八年级上学期1月期末数学试题（解析版）-A4，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 如图，在中，是边上的中线，的周长比的周长多3，与的和为13，则的长为（ ）
A. 5B. 6C. 7D. 8
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了三角形的中线定义和解二元一次方程组，根据周长的差得出边与的差等于3是解题的关键．
根据三角形中线的定义得到，进而得到和的周长的差等于与的差，然后联立关于、的二元一次方程组，利用加减消元法求解即可．
【详解】解：∵是边上的中线，
∴，
∴的周长的周长
，
即，
又，
得，
解得．
故选：D．
2. 一个多边形的每一个外角都等于，则这个多边形的边数为（ ）
A. 6B. 7C. 8D. 9
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了正多边形的外角和“正多边形的外角和等于”，熟练掌握正多边形的外角和是解题关键．根据正多边形的外角和等于求解即可得．
【详解】解：∵一个多边形的每一个外角都等于，
∴这个多边形的边数为，
故选：D．
3. 如图，≌，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查全等三角形的性质和三角形外角的性质，解题的关键是掌握全等三角形的对应角相等．由可得，再利用三角形的外角的性质可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
故选：A．
4. 如图，平分，于点，，，，则的长是（ ）
A. 8B. 6C. 4D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形面积公式，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．
作于点，根据角平分线的性质得到，再根据三角形的面积公式计算即可．
【详解】解：作于点，
∵平分，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选： B．
5. 如图，的平分线，与的外角的平分线相交于点F，过点F作交于点D，交于点E，若，，则的长为（ ）
A. 4B. 2.5C. 2D. 1.5
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质以及平行线的性质，根据已知条件，、分别平分、，且，可得，，根据等角对等边得出，，根据即可求得．利用边角关系并结合等量代换来推导证明是本题的特点．
【详解】解：∵、分别平分、，
∴，，
∵，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，
故选：C．
6. 下列运算结果正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了同底数幂的除法，幂的乘方，积的乘方，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．利用同底数幂的除法法则，幂的乘方，积的乘方，合并同类项法则将各式计算后进行判断即可．
【详解】解：A、，故选项正确．
B、，故选项错误．
C、，故选项错误．
D、，故选项错误．
故选：A．
7. 若是一个完全平方式，则常数a的值为（ ）
A. 8B. C. D. 无法确定
【答案】C
【解析】
【分析】根据完全平方式得出，再求出即可．本题考查了完全平方式，能熟记完全平方式是解此题的关键，注意：完全平方式有和两个．
【详解】解：∵是一个完全平方式，
∴，
∴，
解得，
故选：C．
8. 分式有意义的条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件为分母不等于零是解题的关键．根据分式有意义的条件列不等式计算即可．
【详解】解：∵分式有意义，
∴，
∴，
故选：B．
9. 已知，则的值为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是分式的加减运算的逆运算，二元一次方程组的应用，理解题意，建立方程组解题是关键．由条件可得，从而可得，再解方程组即可．
【详解】解：，
，
，
解得：，
，
故选：C．
10. 若关于的分式方程无解，则的值为（ ）
A. 1B. C. 1或0D. 1或
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了根据分式方程无解的情况求参数，运用分类讨论思想解答是解题的关键；
根据分式方程“无解”，分两种情况：第一种是分式方程化为整式方程时，整式方程有解，但是整式方程解会使最简公分母为，产生了增根；第二种情况是化为整式方程时，整式方程无解，则原分式方程也无解，据此解答即可求解．
【详解】解：方程两边乘以得，，
整理得，，
当，即之时，方程为，方程无解，故分式方程也无解；
当时，，
分式方程无解，即产生增根，
令，得，
解得；符合题意，
综上，当或时，分式方程无解．
故选：D．
二、填空题（共24分，每小题3分）
11. 如图，在中，，，且是的角平分线，则_______．
【答案】65
【解析】
【分析】本题考查与角平分线有关的三角形的内角和问题，根据三角形的内角和定理求出，角平分线求出，再利用三角形的内角和定理求出的度数即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∴，
故答案为：65
12. 如图，于点A，于点B，且．点P从A向B运动，每分钟走，点Q从A向D运动，每分钟走2m，P，Q两点同时出发，运动 _____分钟后，与全等．
【答案】6
【解析】
【分析】本题考查全等三角形的性质，设运动分钟后，与全等，分两种情况，列出方程进行求解即可．
【详解】解：设运动分钟后，与全等，则：；
①当时，则：，
则：，满足题意；
②当时，则：，
∴，
解得：，不符合题意；
故答案为：6．
13. 如图，顶点在同一平面直角坐标系下，点坐标为，点的坐标为，，，则点C的坐标为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，根据等腰直角三角形构造一线三垂直模型证明全等，再求坐标即可．
【详解】解：过作轴于，过作轴于，过作交于，交于，则，
∴轴，
∴，，
∵点的坐标为，点的坐标为，
∴，，，，
∴
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
故答案为：．
14. 如图，在中，，面积是10．的垂直平分线分别交边于E、D两点，若点F为边的中点，点P为线段上一动点，则周长的最小值为_____．

【答案】7
【解析】
【分析】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握等腰三角形的性质、轴对称的性质是解题的关键．由垂直平分线的性质可得与关于对称，连接，，当、、三点共线时，周长最小为的长．
【详解】解：是线段的垂直平分线，
与关于对称，
连接，

，
周长，
当、、三点共线时，周长最小，
为边的中点，，
，
，
，
，
周长，
周长的最小值为7，
故答案为7．
15. 当，则的值为________．
【答案】9
【解析】
【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据同底数幂的乘法和幂的乘方计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
故答案为： ．
16. 因式分解：＝_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据公式法分解因式即可.
【详解】解：原式=，
故答案为：.
【点睛】本题是对因式分解的考查，熟练掌握因式分解的公式法是解决本题的关键.
17. 要使代数式有意义，则的取值范围是________．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式的分母不能等于0是解题关键．根据分式的分母不能等于0求解即可得．
【详解】解：要使代数式有意义，则，
解得，
故答案为：．
18. 已知，则________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查完全平方公式，分式的求值，利用平方根的含义解方程，利用关系式是解题的关键．
根据，把已知条件代入可得结果．
【详解】解：，
又，
，
．
故答案为：
三、解答题（共66分）
19. 在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为．
（1）画出关于y轴对称的，并写出点的坐标为________．
（2）在（1）问条件下，已知点，直线轴，求点P的坐标．
（3）在（1）问条件下，求的面积．
【答案】（1）画图见解答；
（2）
（3）6
【解析】
【分析】本题考查作图-轴对称变换，平面直角坐标系中点特征等知识点，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．
（1）根据轴对称的性质作图，即可得出答案．
（2）由题意可得，求出的值，即可得出答案．
（3）利用割补法求三角形的面积即可．
【小问1详解】
解：如图，即为所求．
由图可得，点的坐标为．
故答案为：．
【小问2详解】
解：∵点，直线轴，
，
解得：，
∴点的坐标为．
【小问3详解】
解：的面积为．
20. （1）计算：
（2）分解因式：
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】本题考查整式的运算，因式分解：
（1）根据单项式乘以单项式的法则，以及积的乘方法则，进行计算即可；
（2）先提公因式，再用完全平方公式法进行因式分解即可．
【详解】解：（1）原式；
（2）原式．
21. 解分式方程：．
【答案】无解
【解析】
【分析】本题考查解分式方程，去分母将分式方程化为整式方程，求解后，验根即可．
【详解】解：，
，
，
，
，
检验：当时，，
原分式方程无解．
22. 先化简，再求值：，其中．
【答案】；
【解析】
【分析】本题考查分式化简求值，先通分计算括号内，除法变乘法，化简后，再进行减法运算，根据零指数幂的法则求出的值，代入计算即可．
【详解】解：原式
；
∵，
∴原式．
23. 如图，在中，为的高，为的角平分线，交于点，，．求和的度数．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义等知识，解题的关键是利用三角形内角和定理解决问题．利用三角形内角和定理求出，再根据角平分线的定义求出，据此计算可得结论．
【详解】解：∵为高，
∴，
∵，
∴，
∵，
∵为的角平分线，
∴，
∴．
24. 如图，点是内一点，，，垂足分别为，，点，分别在的两边上，且，．求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了角平分线的性质、全等三角形的性质与判定，先证明全等再利用角平分线的性质即可证明．
【详解】证明：在和中，
∴，
∴，
∴平分．
又∵，，
∴（角平分线上的点到角两边的距离相等）．
25. 在等腰中，，点是上一动点，点在的延长线上，且，平分交于点，连接．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，当时，在上取点，使，连接．求证：是等边三角形．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识．
（1）根据角平分线的定义可得，根据题意可推出，证明，得到，由得到，即可证明；
（2）由，结合题意可推出，，证明，得到，，证明是等边三角形，得到，推出，结合，即可证明．
【小问1详解】
证明：平分，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
，
，
；
【小问2详解】
如图，在上截取，连接，
，
，，
在和中，
，
，
，，
，，
是等边三角形，
，
，
，
为等边三角形．
26. 定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”．如∶ ，，，因此8，16，24都是“和谐数”
（1）特例感知：判断40是否为“和谐数”，说明理由；
（2）规律探究：根据“和谐数”的定义，设两个连续正奇数为和，其中k是正整数，那么“和谐数”都能被8整除吗？如果能，说明理由；如果不能，举例说明；
（3）拓展应用：设m，n为正整数，且，若 和都是“和谐数”．判断是否为“和谐数”，说明理由．
【答案】（1）40是“和谐数”，理由见解析
（2）“和谐数”能被8整除，理由见解析
（3）是 “和谐数”，理由见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了因式分解的应用，解题的关键是：
（1）设，求出方程的解，然后由计算结果可得出答案；
（2）利用平方差公式计算，然后由计算结果可得出答案；
（3）根据是“和谐数”，求出，则，可设，其中k为正整数，则，故，代入，整理．由k为正整数，得出和为两个连续正奇数，结合“和谐数”的定义，即证明为“和谐数”．
【小问1详解】
解：设，
解得，
∴40是“和谐数”；
【小问2详解】
解：“和谐数”能被8整除，
理由：
，
∵k是正整数，
∴能被8整除，
∴能被8整除，
∴“和谐数”能被8整除；
【小问3详解】
解：∵是“和谐数”，
∴，
∴，
∴．
∵是“和谐数”，即是“和谐数”，
∴可设，其中k为正整数，
∴，
∴，
∴
．
∵k为正整数，
∴和为两个连续正奇数，
∴为“和谐数”．