甘肃省武威市凉州区武威十七中教研联片2023-2024学年八年级下册4月期中数学试题（含解析）

这是一份甘肃省武威市凉州区武威十七中教研联片2023-2024学年八年级下册4月期中数学试题（含解析），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，作图题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共30分）
1．下列各式中，一定是二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
2．下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．已知，且，则的值为（ ）
A．B．C．D．
4．在中，若，，，则点C到直线的距离为（ ）
A．8B．C．6D．10
5．如图，矩形中，E，F是上的两个点，，，垂足分别为G，H，若，，，且，则（ ）
A．B．C．3D．
6．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AB＝6，BC＝8，将△ABC折叠，使AB落在斜边AC上，折痕为AD，则BD的长为( )

A．6B．5C．4D．3
7．下列各组数中，属于勾股数的是（ ）
A．，，B．8，， C．3，4，6D．，，
8．如图，若菱形的周长，则菱形的一边的中点E到对角线交点O的距离为（ ）

A．B．C．D．
9．如图，菱形中，分别是的中点，若，则菱形的周长为（ ）
A．24B．18C．12D．9
10．如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，于点E，于点F，连接，，有下列结论：①；②；③；④图中共有10对全等三角形．其中正确的是（ ）
A．③④B．①②③C．①②④D．①②③④
二、填空题（共24分）
11．能使成立的所有整数a的和是 ．
12．已知，化简： ．
13．在等腰三角形中，的面积为，则 ．
14．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，要使它变为矩形，需要添加的条件 （写出一种情况即可）
15．如图，在中，，点D是的中点，，则 ．

16．若，则的值是 ．
17．如图，在中，是对角线，，E是的中点，平分，连接，．若，，，则的长为 ．
18．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，四边形是平行四边形，点的坐标分别为，，，点是的中点，点为线段上的动点，若是等腰三角形，则点的坐标为 ．
三、计算题（共8分）
19．计算：
(1)
(2)
四、作图题（共4分）
20．如图所示的方格纸上每个小正方形的边长都为1．在方格纸上按要求画图．

(1)在图1中以点为顶点，画边长为，，的；
(2)在图2中以为一边，画菱形．
五、解答题（共54分）
21．已知实数x，y满足关系式，求的值．
22．已知a、b满足等式；
(1)求a、b的值；
(2)试求的值．
23．如图，在中，垂直平分于点E，，．求的长．
24．如图，在中，O为的中点，连结并延长，交的延长线于点E．求证：．
25．如图，在中，，平分交于点，过点作交于点，，垂足为点．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
26．如图，将的 边延长至点，使 ，连接， 是的中点，连结 ．
(1)求证：四边形 是平行四边形．
(2)若 ，求的长．
27．如图，在▱ABCD中，点E，点F在对角线AC上且AE＝EF＝FC．

（1）求证：四边形DEBF是平行四边形；
（2）若∠CDE＝90°，DC＝8，DE＝6，求▱DEBF的周长．
28．在矩形中，，点是射线上一个动点，连接并延长交射线于点，将沿直线翻折到，延长与直线交于点．

(1)求证：；
(2)当点是边的中点时，求的长；
(3)当时，求的长．
参考答案与解析
1．D
【分析】本题考查二次根式的定义，根据二次根式的定义进行判断即可．
【解答】解：A、当时，无意义，所以选项A不符合题意；
B、无意义，因此选项B不符合题意；
C、无意义，因此选项C不符合题意；
D、一定是二次根式，所以选项D符合题意；
故选：D．
2．C
【分析】本题主要考查二次根式的性质以及二次根式的运算，分别根据二次根式的性质与二次根式的运算法则，直接求解各选项即可．
【解答】A. ，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，故该选项正确，符合题意；
D. 无意义；故该选项不正确，不符合题意；
故选：C．
3．B
【分析】本题考查了二次根式的求值，解题的关键是熟练掌握完全平方公式，
先求出的值，再根据x的取值范围开平方解答即可
【解答】解：，
，
，
故选：B
4．B
【分析】本题考查了勾股定理与三角形高相关的计算．先利用勾股定理求出的长，设点C到直线的垂线段的长为h，再利用等面积法求，即为点C到直线的距离．
【解答】解：在中，，，，
，
设点C到直线的垂线段的长为h，
，
，
，
故选：B．
5．B
【分析】先过点E作EM⊥AB于M，延长EG交AB于Q，则△EQM是直角三角形，四边形ADEM是矩形，先判定△FCH≌△QAG（ASA），得出AQ=CF=2，FH=QG，然后在Rt△EMQ中，根据勾股定理求得EQ=，即可得到EG+QG=EG+FH=．
【解答】解：过点E作EM⊥AB于M，延长EG交AB于Q，则△EQM是直角三角形．
∵EG⊥AC，FH⊥AC，
∴∠CHF=∠AGQ=90°，
∵矩形ABCD中，CD∥AB，
∴∠FCH=∠QAG，
在△FCH和△QAG中，
，
∴△FCH≌△QAG（ASA），
∴AQ=CF=2，FH=QG，
∵∠D=∠DAM=∠AME=90°，
∴四边形ADEM是矩形，
∴AM=DE=1，EM=AD=2，
∴MQ=2-1=1，
∴Rt△EMQ中，EQ=，
即EG+QG=EG+FH=，
故选：B．
【点拨】本题主要考查了矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质以及勾股定理的综合应用，解决问题的关键是作辅助线，构造直角三角形、矩形以及全等三角形，根据矩形对边相等及全等三角形对应边相等进行计算求解．
6．D
【分析】设点B落在AC上的E点处，连接DE，如图所示，由三角形ABC为直角三角形，由AB与BC的长，利用勾股定理求出AC的长，设BD=x，由折叠的性质得到ED=BD=x，AE=AB=6，进而表示出CE与CD，在直角三角形DEC中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可确定出BD的长．
【解答】解：∵△ABC为直角三角形，AB=6，BC=8，
∴根据勾股定理得：，
设BD=x，由折叠可知：ED=BD=x，AE=AB=6，
可得：CE=AC-AE=10-6=4，CD=BC-BD=8-x，
在Rt△CDB'中，
根据勾股定理得：（8-x）2=42+x2，
解得：x=3，
则BD=3．
故答案为3．

【点拨】此题考查了勾股定理，利用了方程的思想，熟练掌握勾股定理的解本题的关键．
7．B
【分析】本题考查了勾股数的定义，勾股数是满足勾股定理的一组正整数，据此逐项分析即可作答．
【解答】解：A、，，不是正整数，故该选项是错误的；
B、8，，满足，且均为正整数，故该选项是正确的；
C、3，4，6不满足，故该选项是错误的；
D、，，不是正整数，故该选项是错误的；
故选：B
8．B
【分析】根据菱形的性质可得，判定为的中位线，由中位线的性质可求解．
【解答】解：菱形的周长为，
，
为菱形对角线的交点，
，
为的中点，
为的中位线，
，
即菱形的一边中点到对角线交点的距离为，
故选B．
【点拨】本题主要考查菱形的性质，三角形的中位线定理，证明为的中位线是解题的关键．
9．A
【分析】本题考查了菱形的性质，三角形中位线定理，由三角形的中位线定理可得，然后根据菱形的性质即可求解．
【解答】解：∵E、F分别是的中点，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴菱形的周长，
故选：A．
10．B
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定等等，根据平行四边形的性质得到．则，再由垂直的定义得到，进而可证明得到，，进一步证明四边形是平行四边形，得到，则可得，再根据已有条件证明图中的全等三角形即可得到答案．
【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴；
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
同理可得，，；
∴①②③正确，④错误．
故选：B．
11．6
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解题关键是列出不等式组求出a的取值范围，
由二次根式有意义的条件即可求出a取值范围，再求出所有整数的和即可．
【解答】成立，
解得：，
满足条件的所有整数为0，1，2，3，
它们的和为，
故答案为：6．
12．
【分析】根据二次根式的性质和绝对值的性质直接计算即可．
【解答】；
因为，所以，
即，
故答案为：．
【点拨】此题考查二次根式的性质和绝对值的性质，解题关键是牢记公式．
13．
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理等知识．作于点D，先根据三角形面积公式求出，再根据等腰三角形的性质求出，根据勾股定理即可求解．
【解答】解：如图，作于点D．
∵的面积为，，
∴，
∵，，
∴，
∴在中，．
故答案为：．
14．AD=BC（答案不唯一）
【分析】可以根据“有一个角是90°的平行四边形是矩形”这一判定方法添加一条件使四边形ABCD是平行四边形即可.
【解答】若AD∥BC，AD=BC，
则：四边形ABCD是平行四边形，
∵∠D=90°，
∴此时平行四边形ABCD是矩形，
故答案为：AD=BC（答案不唯一）.
【点拨】本题主要考查了矩形的判定，熟练掌握相关概念是解题关键.
15．4
【分析】根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，求解即可．
【解答】解：∵，点D是的中点，，
∴，
故答案为：4．
【点拨】此题考查了直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半．
16．
【分析】本题考查了算术平方根和平方的非负性，根据算术平方根和平方的非负性可得，则，再代入求值即可，熟知算术平方根和平方具有非负性是解题的关键．
【解答】解：，
，
解得，，
，
故答案为：．
17．##3.5
【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形中位线的定理，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键．延长，交于点H，由“”可证，可得，，由三角形中位线定理可求解．
【解答】解：如图，延长，交于点H，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
在和中，
∴，
∴，，
∴，
∵E是的中点，
∴．
故答案为：．
18．或或或
【分析】分三种情形讨论求解即可：①当EP=EB时，②当BP=BE时，③当PB=PE时．
【解答】解：①当EP=EB时，
如图1，作EH⊥AD于H，则四边形OAHE是矩形．
∵，，，
∴OA=EH=2，BC=5，
∵点是的中点，
∴BE=2.5，OE=AH=1.5，
PH==1.5，
当点P在点H左侧时，P″(0，2)，当点P在点H右侧时，P′(3，2)；
②当BP=BE时，
如图2，作PF⊥BC于F，则四边形OAPF是矩形，
∵，，，
∴OA=PF=2，BC=5，
∵点是的中点，
∴BE=2.5，OE =1.5，
∴OF=AP=0.5，
∴P(0.5，2)；
③当PB=PE时，如图2，
∵PB=PE，PF⊥BC，
∴BF==1.25，
∴OF=0.25，
∴P(0.25，2)；
综上所述，满足条件的点P坐标为或或或．
【点拨】本题考查平行四边形的性质、坐标与图形的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
19．(1)
(2)
【分析】本题考查了二次根式的混合运算．
（1）根据二次根式的性质化简，再合并同类二次根式即可求解；
（2）根据二次根式的乘法法则计算，再合并同类二次根式即可求解．
【解答】（1）解：
；
（2）解：
=
．
20．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）结合格点图及勾股定理即可作图；
（2）结合格点图及勾股定理即可作图；
【解答】（1）如图1，即为所画（画法不唯一）．

（2）如图2，菱形即为所画（画法不唯一）．

【点拨】本题考查作图-应用与设计，等腰三角形，菱形及勾股定理等知识，解题的关键是结合格点图，运用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题．
21．
【分析】本题考查二次根式的非负性，二次根式的混合运算，先利用二次根式的非负性求出x，y的值，再代入计算即可．
【解答】解：∵，，
∴且，
∴，
∴，
∴原式
，
．
22．(1)，
(2)
【分析】本题考查了二次根式的性质以及二次根式的混合运算；
（1）根据二次根式的非负性求得，进而可得；
（2）将，代入代数式，即可求解．
【解答】（1）解：
，
解得．
．
，．
（2）当，时，．
23．
【分析】本题考查了平行四边形的性质以及线段垂直平分的性质，解题时：注意：平行四边形的对边平行且相等．
过点C作交的延长线于点F，连接，依据平行四边形的性质以及勾股定理，即可得到、与的长，再根据勾股定理即可得出的长．
【解答】如图，过点C作交的延长线于点F，连接，
∵四边形是平行四边形，垂直平分，
∴，，
∴，
∴，
∴， ，
∴，
∴．
24．见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，解决问题的关键是正确找出全等三角形解决问题．
由平行四边形的性质得到，，再证明即可解决问题．
【解答】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，，
∴，
∵ O为的中点 ，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
25．(1)证明见解析；
(2)．
【分析】（）由角平分线可得，由平行线的性质可得，即可得，根据等角对等边即可得到；
（）由角平分线的性质可得，由勾股定理可得，再由勾股定理即可求出的长；
本题考查了角平分线的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，掌握角平分线的性质是解题的关键．
【解答】（1）证明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵平分，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴．
26．(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质以及勾股定理；
（1）利用平行四边形的性质得出，，进而利用已知得出，，进而得出答案；
（2）首先过点作于点，再利用平行四边形的性质结合勾股定理得出的长，进而再由勾股定理得出答案．
【解答】（1）四边形是平行四边形，
，，
点是的中点，
，
，
，
四边形是平行四边形．
（2）过点作于点，
，
平行四边形，
，，，
，
，
，
点是的中点，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
27．（1）证明见解析；（2）
【分析】（1）连接BD交AC于O，根据平行四边形的性质得到AO＝CO，DO＝BO，根据平行四边形的判定定理即可得到结论；
（2）根据勾股定理和平行四边形的周长公式即可得到结论．
【解答】解：（1）证明：连接BD交AC于O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO，DO＝BO，
∵AE＝CF，
∴AO﹣AE＝CO﹣CF，
即EO＝FO，
∴四边形DEBF是平行四边形；
（2）解：∵∠CDE＝90°，DC＝8，ED＝6，
∴CE＝
∵EF＝CF，
∴DF＝CE＝5，
∴▱DEBF的周长＝2（DF+DE）＝2×（5+6）＝22．

【点拨】本题考查了平行四边形的判定定理、勾股定理和平行四边形的周长公式，解题的关键是掌握平行四边形的判定定理和性质．
28．(1)见解析
(2)
(3)的长为或
【分析】（1）由折叠的性质和平行线的性质及等腰三角形的判定可得出答案；
（2）利用矩形的性质证得，根据全等三角形的性质得到，设，则由（1）知，， ，在中利用勾股定理即可求解；
（3）当时，设，应分两种情况：第一种情况，点在线段上，则，；第二种情况，点在线段的延长线上，则，在中，利用勾股定理即可求解．
【解答】（1）证明：∵四边形为矩形，
∴，
∴，
由折叠可知：，
∴，
∴；
（2）解：∵点E是边的中点，
∴，
∵四边形为矩形，，
∴，，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
设，则由（1）知，，，
在中，，
∴，
解得，
∴的长为；
（3）解：当时，设，
第一种情况，点在线段上，如图所示：

则，
∴在中，，
∴，
解得：，
∴的长为；
第二种情况，点在线段的延长线上，如图所示：

则，
∴在中，，
∴，
解得：，
∴的长为；
综上可知，当时，的长为或．
【点拨】本题主要考查了翻折变换，矩形的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，三角形全等的判定和性质，画出图形，数形结合，应用分类讨论的思想是解题的关键．