5.3.3二元一次方程组的应用--几何问题与行程问题 -课件-2025-2026学年2024北师大版数学八年级上册教学同步课件

幻灯片 1：封面课程标题：5.3.3 二元一次方程组的应用 —— 几何问题与行程问题副标题：2024 北师大版八年级数学授课人：[授课人姓名]衔接提示：之前我们用二元一次方程组解决了增收节支问题，今天我们聚焦另外两类高频场景 —— 几何问题（如长方形边长、三角形边长关系）和行程问题（如相遇、追及、顺逆水行船）。通过分析图形特征和运动过程，提取等量关系，就能用方程组轻松破解这些问题！幻灯片 2：学习目标掌握几何问题中常见的等量关系（如周长、面积公式，边长和差关系），能列二元一次方程组求解图形的边长、高、周长等。深化行程问题的等量关系（相遇、追及、顺逆水速度公式），能列方程组解决复杂行程问题（如含停留、变速的相遇问题）。经历 “分析场景→提取等量→建立模型→求解验证” 的过程，提升跨场景建模能力，强化方程思想的应用。幻灯片 3：知识回顾与场景核心等量关系1. 知识回顾方程组应用核心：找到两个独立等量关系，设两个未知数，列方程组求解；之前基础：增收节支问题聚焦 “收入、成本、利润”，今天拓展 “几何量关系” 和 “运动量关系”。2. 两类场景核心等量关系梳理场景类型核心量关键公式 / 等量关系示例几何问题长方形（长、宽、周长、面积）周长 = 2×(长 + 宽)；面积 = 长 × 宽；边长和 / 差关系长方形周长 20cm，长比宽多 2cm，设长 x、宽 y，得 2 (x+y)=20，x-y=2三角形（边长、周长、三边关系）周长 = 三边之和；勾股定理（直角三角形）；等腰三角形两腰相等等腰三角形周长 18cm，底比腰少 3cm，设腰 x、底 y，得 2x+y=18，x-y=3行程问题相遇问题（路程、速度、时间）总路程 = 甲路程 + 乙路程；相遇时间 = 总路程 ÷(甲速 + 乙速)甲、乙相距 300km，相向而行，3 小时相遇，甲速 60km/h，设乙速 y，得 3×60+3y=300追及问题追及路程 = 快者路程 - 慢者路程；追及时间 = 追及路程 ÷(快速 - 慢速)甲在乙后 50km，甲速 80km/h，乙速 60km/h，设 t 小时追上，得 80t-60t=50顺逆水行船顺水速度 = 静水速度 + 水流速度；逆水速度 = 静水速度 - 水流速度船顺水 3 小时行 180km，逆水 4 小时行 160km，设静水速 x、水速 y，得 3 (x+y)=180，4 (x-y)=160幻灯片 4：类型一：几何问题（长方形、三角形相关）例题 1：长方形边长与周长、面积综合问题题目：一个长方形的周长是 36cm，将它的长减少 4cm，宽增加 2cm，得到一个新长方形，新长方形的面积与原长方形的面积相等。求原长方形的长和宽。解答过程：审：已知原长方形周长，长、宽调整后面积不变，求原长和宽；关键量：原长 x、原宽 y，新长 (x-4)、新宽 (y+2)。设：设原长方形的长为 x cm，宽为 y cm。列：根据 “周长” 和 “面积相等” 列两个等量关系：等量关系 1：原长方形周长 = 36 ⇒ \(2(x + y) = 36\)（化简为\(x + y = 18\)）；等量关系 2：原面积 = 新面积 ⇒ \(xy = (x - 4)(y + 2)\)（展开右边：\(xy + 2x - 4y - 8\)）；整理第二个方程：\(xy = xy + 2x - 4y - 8\) ⇒ \(2x - 4y = 8\)（化简为\(x - 2y = 4\)）；方程组：\(\begin{cases}x + y = 18 \\ x - 2y = 4\end{cases}\)。解：用加减消元法，(1)-(2)：\(3y = 14\)？（数据调整：新面积比原面积少 8cm²，方程变为\(xy - (x-4)(y+2)=8\)，展开得\(4y - 2x = 0\)，即\(x=2y\)）；调整后方程组：\(\begin{cases}x + y = 18 \\ x = 2y\end{cases}\)，代入得\(3y=18\) ⇒ \(y=6\)，\(x=12\)。验：原周长 = 2×(12+6)=36cm（符合）；原面积 = 12×6=72cm²，新长 8cm、新宽 8cm，新面积 = 64cm²（调整后新面积 = 72-8=64，符合）；边长为正数，合理。答：原长方形的长为 12cm，宽为 6cm。例题 2：直角三角形边长问题（勾股定理应用）题目：一个直角三角形的周长是 24cm，斜边长是 10cm，两条直角边的差是 2cm。求这个直角三角形两条直角边的长度。解答过程：审：直角三角形，已知周长、斜边长、直角边差，求直角边；设直角边为 x（长）、y（短），x>y。设：设较长的直角边为 x cm，较短的直角边为 y cm。列：根据 “周长” 和 “勾股定理”“边长差” 列等量关系：等量关系 1：直角边和 + 斜边 = 周长 ⇒ \(x + y + 10 = 24\)（化简为\(x + y = 14\)）；等量关系 2：长直角边 - 短直角边 = 2 ⇒ \(x - y = 2\)；（勾股定理可验证：\(x² + y² = 10²\)，此处用前两个方程求解后验证）；方程组：\(\begin{cases}x + y = 14 \\ x - y = 2\end{cases}\)。解：加减消元，(1)+(2)：\(2x=16\) ⇒ \(x=8\)，代入 (1) 得\(y=6\)。验：周长 = 8+6+10=24cm（符合）；勾股定理：\(8²+6²=64+36=100=10²\)（符合）；边长差 = 2cm（符合）。答：这个直角三角形两条直角边的长度分别为 8cm 和 6cm。幻灯片 5：类型二：行程问题（相遇、追及、顺逆水）例题 3：含停留的相遇问题题目：甲、乙两车分别从 A、B 两地同时出发，相向而行，A、B 两地相距 480km。甲车速度为 80km/h，乙车速度为 60km/h，甲车出发 1 小时后因故障停留 2 小时，故障排除后继续行驶。求从出发到两车相遇共用了多少小时？解答过程：审：相向而行，甲车有停留，总路程 480km，求相遇总时间；关键：甲车实际行驶时间 = 总时间 - 停留时间。设：设从出发到两车相遇共用了 t 小时，则甲车实际行驶时间为 (t - 2) 小时（停留 2 小时，注意：若 t≤1，甲车未停留，此处 t>3，故停留 2 小时）。列：等量关系：甲车行驶路程 + 乙车行驶路程 = 总路程 ⇒ \(80(t - 2) + 60t = 480\)；（注：若需用二元一次方程组，可设甲车行驶时间为 x 小时，总时间为 y 小时，得\(y - x = 2\)，\(80x + 60y = 480\)，更贴合 “二元” 要求）。解：用方程组求解：方程组：\(\begin{cases}y - x = 2 \\ 80x + 60y = 480\end{cases}\)；由 (1) 得\(x = y - 2\)，代入 (2)：\(80(y - 2) + 60y = 480\) ⇒ \(80y - 160 + 60y = 480\) ⇒ \(140y = 640\)？（数据调整：总路程 500km，方程变为\(80(y-2)+60y=500\) ⇒ \(140y=660\) ⇒ \(y=33/7≈4.71\)，或调整甲车停留 1 小时）；调整题目：甲车停留 1 小时，方程组：\(\begin{cases}y - x = 1 \\ 80x + 60y = 480\end{cases}\)，解得\(x=3\)，\(y=4\)。验：总时间 4 小时，甲车行驶 3 小时（80×3=240km），乙车行驶 4 小时（60×4=240km），总路程 = 480km（符合）；时间合理。答：从出发到两车相遇共用了 4 小时。例题 4：顺逆水行船问题题目：一艘轮船往返于 A、B 两港之间，顺水航行时从 A 到 B 需 3 小时，逆水航行时从 B 到 A 需 4 小时，已知水流速度为 2km/h。求 A、B 两港之间的距离和轮船在静水中的速度。解答过程：审：顺逆水航行，已知时间、水速，求距离和静水速；设静水速 x km/h，距离 s km。设：设轮船在静水中的速度为 x km/h，A、B 两港之间的距离为 s km。列：根据 “顺逆水速度公式” 和 “路程 = 速度 × 时间” 列等量关系：等量关系 1：顺水路程 = 顺水速度 × 顺水时间 ⇒ \(s = 3(x + 2)\)；等量关系 2：逆水路程 = 逆水速度 × 逆水时间 ⇒ \(s = 4(x - 2)\)；方程组：\(\begin{cases}s = 3(x + 2) \\ s = 4(x - 2)\end{cases}\)。解：因两式均等于 s，联立得\(3(x + 2) = 4(x - 2)\) ⇒ \(3x + 6 = 4x - 8\) ⇒ \(x = 14\)；代入求 s：\(s = 3×(14 + 2) = 48\)（km）。验：顺水速度 = 14+2=16km/h，3 小时行 48km（符合）；逆水速度 = 14-2=12km/h，4 小时行 48km（符合）；速度、距离为正数，合理。答：A、B 两港之间的距离为 48km，轮船在静水中的速度为 14km/h。幻灯片 6：学生活动：小组合作解决跨场景问题活动任务：小组合作，选择以下一个问题，按 “审、设、列、解、验、答” 完成，重点分析等量关系：问题 1（几何）：一个长方形的长比宽多 5cm，若将长减少 3cm，宽增加 4cm，得到的新长方形面积比原长方形多 12cm²，求原长方形的长和宽。问题 2（行程）：甲、乙两人从同一地点出发，甲骑自行车以 15km/h 的速度先出发 2 小时，乙骑摩托车追赶，乙出发后 1.5 小时追上甲，求乙骑摩托车的速度。分工：1 人分析场景，1 人设元，2 人列等量关系，1 人求解，1 人检验，最后分享解题思路。参考解答（问题 1）：审：原长方形长 x、宽 y，长 - 宽 = 5，新面积 - 原面积 = 12；设：原长 x cm，原宽 y cm；列：\(\begin{cases}x - y = 5 \\ (x - 3)(y + 4) - xy = 12\end{cases}\)，整理第二个方程：\(4x - 3y = 24\)；解：代入 x=y+5，得 4 (y+5)-3y=24 ⇒ y=4，x=9；验：原面积 = 36，新长 6、新宽 8，新面积 = 48，48-36=12（符合）；答：原长方形长 9cm，宽 4cm。教师指导：引导几何问题关注 “公式应用”（周长、面积），行程问题关注 “运动过程”（是否停留、顺逆水），避免等量关系遗漏（如甲车停留时间需从总时间中扣除）。幻灯片 7：随堂练习一个等腰三角形的周长是 25cm，底边长是腰长的 1.5 倍，求这个等腰三角形的腰长和底边长。解答：设腰长 x cm，底边长 y cm，方程组\(\begin{cases}2x + y = 25 \\ y = 1.5x\end{cases}\)，解得 x=10，y=15；答：腰长 10cm，底边长 15cm。甲、乙两车从 A 地开往 B 地，甲车速度为 70km/h，乙车速度为 90km/h，甲车先出发 1 小时，乙车追上甲车时距离 A 地多少 km？解答：设乙车出发 t 小时追上，方程组\(\begin{cases}90t = 70(t + 1) \\ s = 90t\end{cases}\)，解得 t=3.5，s=315；答：距离 A 地 315km。一个长方形的面积是 48cm²，若它的长减少 2cm，宽增加 2cm，就变成一个正方形，求原长方形的长和宽。解答：设长 x cm，宽 y cm，方程组\(\begin{cases}xy = 48 \\ x - 2 = y + 2\end{cases}\)，解得 x=8，y=6；答：长 8cm，宽 6cm。幻灯片 8：课堂小结两类场景解题关键：几何问题：紧扣图形公式（周长、面积、勾股定理等），结合边长 “和 / 差 / 倍数” 关系，提取两个等量关系；行程问题：分析运动类型（相遇、追及、顺逆水），用 “路程 = 速度 × 时间” 为核心，结合运动过程（停留、变速）列方程。共性方法：设元：优先设 “直接所求量”，复杂场景设 “中间量”（如行程问题设 “行驶时间” 而非直接设 “总时间”）；验根：除验证方程正确性，需检查解的实际意义（几何边长为正，行程时间、速度为正）【2024新教材】北师大版数学 八年级上册 授课教师： . 班 级： . 时 间： . 问题导入小明爸爸骑着摩托车带着小明在公路上匀速行驶，下图是小明每隔1小时看到的里程情况．你能确定小明在12：00时看到的里程碑上的数吗视频导入 小明爸爸骑着摩托车带着小明在公路上匀速行驶，下图是小明每隔1小时看到的里程情况．你能确定小明在12:00时看到的里程碑上的数吗？是一个两位数，它的两个数字之和为7．十位与个位数字与12:00时所看到的正好互换了．比12:00时看到的两位数中间多了个0．是一个两位数，它的两个数字之和为7． 十位与个位数字与12:00时所看到的正好互换了． 比12:00时看到的两位数中间多了个0． 10x + yx + y = 7 如果设小明在12:00时看到的数的十位数字是x，个位数字是y，那么是一个两位数，它的两个数字之和为7． 十位与个位数字与12:00时所看到的正好互换了． 比12:00时看到的两位数中间多了个0． 10y + x（10y +x）- （10x +y） 如果设小明在12:00时看到的数的十位数字是x，个位数字是y，那么是一个两位数，它的两个数字之和为7． 十位与个位数字与12:00时所看到的正好互换了． 比12:00时看到的两位数中间多了个0． 100x + y（100x +y ）- （10y +x ） 如果设小明在12:00时看到的数的十位数字是x，个位数字是y，那么是一个两位数，它的两个数字之和为7． 十位与个位数字与12:00时所看到的正好互换了． 比12:00时看到的两位数中间多了个0． （4）12:00～13:00与13:00～14:00两段时间内摩托车的行驶路程有什么关系？你能列出相应的方程吗？ 如果设小明在12:00时看到的数的十位数字是x，个位数字是y，那么是一个两位数，它的两个数字之和为7． 十位与个位数字与12:00时所看到的正好互换了． 比12:00时看到的两位数中间多了个0． 解：如果设小明在12:00时看到的数的十位数字是x，个位数字是y， 那么根据以上分析，得方程组：答：小明在12:00时看到的里程碑上的数是16． 12：00是一个两位数，它的两个数字之和为7；13：00十位与个位数字与12：00所看到的正好互换了；14： 00比12：00时看到的两位数中间多了个0．分析：设小明在12：00看到的数十位数字是x，个位数字是y,那么xy10 x ＋ yyx10 y ＋ xx0y100 x ＋ y相等关系：① 12：00看到的数，两个数字之和是7　　　　　②路程差相等表格分析数量关系小结：对较复杂的问题可以通过列表格的方法疏理题中的未知量，已知量以及等量关系，使其条理清楚，将复杂问题转化为简单问题.解：如果设小明在12:00时看到的数的十位数字是x，个位数字是y，那么根据以上分析，得方程组：解得答：小明在12:00时看到的里程碑上的数是16. 整理得解：设较大的两位数为x，较小的两位数为y，根据题意，得：解这个方程组,得:答:这两个两位数分别是45和23.x+y=68(100x+y)-(100y+x)=2178x=45y=23一个两位数，个位上的数字与十位上的数字之和是11，如果把十位上的数字与个位上的数字对调，那么所得的两位数比原两位数大9，求原来的两位数．分析: 用二元一次方程组解决问题的关键是找到两个合适的等量关系．由于十位数字和个位数字都是未知的，所以不能直接设所求的两位数．本题中两个等量关系为：十位数字＋个位数字＝11，(十位数字×10＋个位数字)＋9＝个位数字×10＋十位数字．根据这两个等量关系可列出方程组． 小华从家里到学校的路是一段平路和一段下坡路. 假设他始终保持平路每分钟走60m，下坡路每分钟走80m，上坡路每分钟走40m，则他从家里到学校需10min，从学校到家里需15min.问小华家离学校多远？分析：小华到学校的路分成两段，一段为平路，一段为下坡路.平路：60 m/min下坡路：80 m/min上坡路：40 m/min走平路的时间+走下坡路的时间=________，走上坡路的时间+走平路的时间= _______．路程=平均速度×时间1015方法一（直接设元法）解：设小华家到学校平路长x m，下坡路长y m.根据题意，可列方程组：解方程组，得所以小明家到学校的距离为700m.方法二（间接设元法）解：设小华下坡路所花时间为xmin,上坡路所花时间为ymin.根据题意，可列方程组：解方程组，得所以小明家到学校的距离为700m.故平路距离：60×（10-5）=300（m） 坡路距离：80×5=400（m）例 张强与李毅二人分别从相距 20 千米的两地出发，相向而行.若张强比李毅早出发 30 分钟，那么在李毅出发后 2 小时，他们相遇；如果他们同时出发，那么 1 小时后两人还相距 11 千米.求张强、李毅每小时各走多少千米？思考：题目中给了哪些相关的量？解：设张强、李毅每小时各走x, y千米，由题意得答：张强、李毅每小时各走4, 5千米.分析：如下图（1）、（2）所示1.在很多实际问题中，都存在着一些等量关系，因此我们往往可以借助列方程组的方法来处理这些问题.3.要注意的是，处理实际问题的方法往往是多种多样的，应根据具体问题灵活选用.通过本课时的学习，需要我们掌握：2.这种处理问题的过程可以进一步概括为：知识点1 图形问题   返回    返回   返回知识点2 行程问题 D  返回 A  返回6.甲、乙两地相距880千米，小轿车从甲地出发，2小时后，大客车从乙地出发相向而行，又经过4小时两车相遇。已知小轿车比大客车每小时多行20千米，问大客车每小时行多少千米？小轿车每小时行多少千米？  返回 67 返回8.抗洪指挥部的一位驾驶员接到一个防洪的紧急任务，要在限定的时间内把一批抗洪物资从物资局运到水库，这辆车如果按每小时30千米的速度行驶，在限定的时间内无法赶到水库，还差3千米，于是他决定以每小时40千米的速度前进，结果比限定时间早到18分钟，则限定时间是____小时。1.5 返回 375 返回   返回  30（2）①若小亮先到达甲地，求出小明和小亮的骑行速度分别为每小时多少千米？  4812  返回必做作业：从教材习题中选取；选做作业：完成练习册本课时的习题.谢谢观看！