北师大版（2024）八年级上册（2024）3 二元一次方程组的应用第3课时教学设计

这是一份北师大版（2024）八年级上册（2024）3 二元一次方程组的应用第3课时教学设计，共6页。教案主要包含了学习任务分析，学生起点分析，教学目标，教学过程设计，教学设计反思等内容，欢迎下载使用。
一、学习任务分析
本节课是北师大版初中数学八年级（上册）第五章“二元一次方程组”第三节的第3课时。本节内容共3课时，第1课时通过“鸡兔同笼”问题，让学生初步学习通过列二元一次方程组解决一些比较有趣的数学问题及古代数学中的应用问题，涉及的等量关系相对简单直接。第2课时主要通过解决现实生活中经济的应用问题来学习列二元一次方程组，要求学生能对具体情境中的数学信息作出合理解释，并运用列表分析法分析较为复杂的各数量间的关系。第3课时则重点通过列二元一次方程组解决有关几何图形问题和行程问题的应用题，在这部分内容的学习中，学生将运用图表方法分析更复杂的数量关系，将实际问题转化为二元一次方程组的数学模型，进一步巩固列方程组解应用题的方法，进一步提高学生解决实际问题的能力。
二、学生起点分析
学生的知识技能基础：在此之前，学生已经学习了一元一次方程的应用和二元一次方程组的解法，能熟练地进行二元一次方程组的运算，并对用二元一次方程组解决实际问题的步骤和方法有了基本了解，能借助表格正确地分析和理解题意，寻求题中各种数量关系，为本节课内容的学习奠定了良好的知识和能力基础。
学生的活动经验基础：在之前的学习中，学生已初步积累了用二元一次方程组解决简单实际问题的经验；在合作学习过程中，学生经历了探究、思考与交流，具备一定的小组合作学习经验和较强的合作交流能力。
三、教学目标
1.能分析复杂问题中的数量关系，建立二元一次方程组解决实际问题，并归纳出用二元一次方程组解决实际问题的一般步骤。
2.经历借助线段图分析复杂问题中数量关系的过程，体会数形结合思想，感受将图形信息转化为数学语言的转化思想。
3.进一步经历和体验列方程组解决实际问题的过程，体会方程（组）是刻画现实世界中等量关系的有效数学模型，发展应用意识。
教学重点：借助线段图分析复杂问题中的数量关系。
教学难点：借助线段图分析复杂问题中的数量关系，并据此建立等量关系列出方程组。
四、教学过程设计
【第一环节】情境引入，初步认知
1.活动内容
（1）如图1（单位：cm），8块相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形，每块小长方形墙砖的长和宽分别是多少？
①这个问题涉及哪些量？这些量之间有怎样的等量关系？
②你能列方程组解决这个问题吗？
图1
（2）某糕点包装盒的展开图如图所示。如果长方体盒子的宽比长少4 cm，求这种糕点包装盒的体积？
图2
2.活动目的
第（1）题引导学生回顾前两节课列方程组解决问题的过程，并鼓励学生尝试自行探究多种分析问题、解决问题的方法。第（2）题的设置既是对第（1）题探究的巩固，又是对该问题的进一步拓展。通过设计空间立体图形向平面图形的转化，引导学生感受两者在寻求等量关系时的内在联系与差别，从而产生较好的知识联结。
3.注意事项
在第（1）题的教学中教师可向学生提出“题目中的已知量、未知量分别是什么”“各个量之间的关系是什么”等问题，以此强化在解决实际问题中寻找等量关系的一般策略，为学生学习本节课内容做好知识铺垫。
【第二环节】思考探究，获取新知
1.活动内容
例 火车以40 m/s的速度经过一个隧道，从车头进入隧道到车尾驶出隧道，共用时30 s，其中火车全身都在隧道里的时间是20 s，求隧道和火车的长度。
分析：
（1）这个问题涉及哪些量？
（2）你能画图说明“从车头进入隧道到车尾驶出隧道”的过程吗？
（3）在“从车头进入隧道到车尾驶出隧道”这种情况下，火车行驶的路程与隧道的长度、火车的长度之间有什么关系？
（4）类似地，对于“火车全身都在隧道里”的情形，你能得到相应的关系吗？
对较为复杂的问题，利用线段图梳理题目的关键信息，便于厘清题目中的未知量、已知量以及等量关系。
2.活动目的
鼓励学生主动尝试画出线段图表征问题，通过线段图将复杂问题中的数量关系直观化、条理化，从而降低思维难度；在此基础上，借助数形结合思想，使列二元一次方程组的思路更清晰，最终有效提高学生分析问题和解决问题的能力。着重强调线段图的分析方法，形成应用意识，养成学生归纳小结的良好习惯。
3.注意事项
此题巧妙地借助两条线段图，直观呈现了隧道的长度与火车的长度之间的关系，既突破了用语言描述两个量之间关系的常规方法，又生动体现了数与形的相互转化，同时渗透了数形结合的数学思想。火车过隧道的问题数量关系较为复杂，教学中教师可适时提示、引导学生进行思考，并鼓励学生动手画线段图分析题目，最后邀请学生讲解其分析过程。对思路清晰、有条理的讲解给予肯定与表扬，对分析不足之处及时给予补充，以此提升学生解决问题的信心。
【第三环节】运用新知，深化理解
1.活动内容
回声是一种自然现象。当声波投射到距离声源有一段距离的大面积障碍物上时，声能的一部分被吸收，而另一部分会反射回来，这种反射回来的声音叫“回声”。如果听者听到由声源直接发来的声音和由反射回来的声音的时间间隔超过十分之一秒，它就能分辨出两个声音。
某测量员是这样利用回声测距离的：他站在两平行峭壁间某一位置鸣枪，听到两次回声的时间间隔为0.5 s，已知两峭壁间的水平距离为425 m，声传播速度为340 m/s，则他到两峭壁的距离分别有多远？
（1）你还有其他设未知数的方法吗？列出的方程组一样吗？
（2）试比较哪一种方法更容易列出方程组？哪一种方法更容易解方程组。
思考·交流
列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤是怎样的？与同伴进行交流。
2.活动目的
通过题目练习巩固学生所学知识和方法，在强化运用线段图分析数量关系的同时，引导学生发现在解决具体问题的过程中，未必需要直接设所求未知数，也可采用间接设未知数的方式；而灵活选择未知数，正是将复杂问题简单化的重要途径之一。题目中涉及了声音的传播，利用回声测距是物理实验的内容，体现了学科融合，增强了教学的趣味性。教师通过引导学生利用数学知识对实验数据进行建模分析，不仅巩固了学生的数学建模能力，又夯实了其物理知识，有效提升学生的综合素养。通过“思考·交流”模块，让学生在交流讨论、总结反思的过程中，体会“审、找、设、列、解、验、答”解决实际问题的方法，梳理总结列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤。
3.注意事项
本问题借助线段图表示未知量之间的关系后，教师提出问题，学生先独立思考，再小组交流，最后邀请学生分享其设未知数的方法。同时教师给予点评、引导。让学生体会如何在合作交流中学习反思，形成策略，建构并逐步完善自我认知体系。
【第四环节】师生互动，课堂小结
1.活动内容
回顾·反思
回顾列方程组解决实际问题的学习过程，你对如何列方程组有哪些新的认识，积累了哪些经验？
构建框架：
（1）处理问题的过程一般可以概括为：
（2）处理实际问题的方法是多种多样的，表格法、线段图法等分析方法，能更直观地展现出数量关系，可根据具体问题灵活选用。
2.活动目的
通过提问的方式引导学生总结本节课的知识以及学习活动，养成“学习—总结—学习”的良好习惯，发挥自我评价的作用，进一步培养学生的语言表达能力。
3.注意事项
此环节可让学生先独立思考，再小组交流，最后全班交流分享，建构出本节内容的认知结构和问题解决策略。
【第五环节】作业布置
1.活动内容
（1）基础性作业：
习题5.3第11，12，13题。
（2）发展性作业：
如图，5个大小形状完全相同的长方形纸片，在平面直角坐标系中摆成如图所示的图案，已知A(－6，18)，求长方形纸片的长和宽各是多少，并求点B的坐标。
2.活动目的
设置不同难度水平的作业练习，符合不同层次学生的发展需求。
五、教学设计反思
1.突出重点、突破难点的策略
列方程解决实际问题的分析方法多样。本节课在上一课时运用列表法分析变量之间关系的基础上，引入图形问题、行程问题的一种有效分析方法——线段图法。该方法充分发挥数形结合的优势，直观揭示各数量间的关系，将复杂的数量关系清晰化、简洁化，有效帮助学生厘清题中的未知量、已知量以及等量关系，从而顺利地依据等量关系列出方程。在实际教学活动中，当学生熟练掌握借助线段图分析问题的方法后，不仅降低了思维的难度，解题的准确率也得到了显著提升。另外，本节课还注重引导学生掌握设元技巧，通过适时引入间接设未知数的方法，进一步降低思维与计算的难度，进而培养学生思维的灵活性与多样性。
2.评价方式
课堂教学中，教师根据学生回答问题的思路、练习完成的质量等反馈信息，评估其对知识的理解深度与运用能力，并依据这些反馈信息及时进行针对性点拨。同时，从《义务教育数学课程标准（2022年版）》评价理念出发，在课堂教学中尊重学生的个体发展差异，满足不同学生的多样化发展需求，鼓励学生探索方式、表达方式和解题方法的多样性，形成发展性评价，切实提高学生学数学、用数学的信心。