专题13 与圆有关的七种模型（期末复习专项训练）九年级数学上学期人教版+答案

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1．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）【推理证明】
（1）如图①，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，求证：A、B、C、D四点共圆．小明认为：连接AC，取AC的中点O，连接OB、OD即可证明，请你按照小明思路完成证明过程．
【尝试应用】
（2）如图②，在正方形ABCD中，点E是边AB上任意一点，连接DE，交AC于点F，请利用无刻度的直尺与圆规在线段CF上确定点P，使∠DPE=90°．（不写作法，保留作图痕迹）
【拓展延伸】
（3）在（2）的基础上，若AB=6，BE=2AE，直接写出线段DP的长．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）25．
【分析】（1）根据直角三角形斜边中线等于斜边一半证明OA=OB=OC=OD，即可得出结论；
（2）以DE为直径作圆，交CF于点P，由直径所对圆周角等于90°，即可得出∠DPE=90°；
（3）由正方形性质和勾股定理求出DE=210，再证明∠EAP=∠EDP=45°得△DEP是等腰直角三角形，由此求出DP=25．
【详解】（1）证明：连接AC，取AC的中点O，连接OB、OD，
∵∠ABC=∠ADC=90°，
∴OA=OB=OC=OD=12AC，
∴A、B、C、D四点在以点O为圆心，以OA为半径的圆上．
（2）如图，∠DPE=90°；
（3）∵在正方形ABCD中，AB=6，BE=2AE，
∴BE=4，AE=2，AB=AD=CD=BC=6，
∠DAB=∠ADC=90°，∠EAP=45°
∴DE=AE2+AD2=22+62=210，
∵EP=EP，
∴∠EAP=∠EDP=45°，
又∵△DEP是直角三角形，∠DPE=90°，
∴∠DEP=∠EDP=45°，
∴EP=DP
又∵EP2+DP2=DE2，
∴即2DP2=(210)2
∴DP=25．
【点睛】本题考查了证明四点共圆以及圆周角定理，正方形性质、直角三角形性质、勾股定理等知识，添加合适的辅助线是解题的关键．
2．（2025·广东广州·一模）直线y1=2x+7交y轴于点A，抛物线y2=ax2+bx+c交x轴于点Bx1,0和点Cx2,0，x1∠A；
（2）将球传给乙，让乙射门好，
如图，连接AC、AD，BC、BD，

同（1）理得：∠B>∠A，
∵球员对球门的视角越大，足球越容易被踢进，
∴将球传给乙，让乙射门好；
（3）设经过A，B，M三点的圆的圆心为O，
如图(2)，过点O作AB的垂线，分别交AB，DP于点E、F，连接OA、OB、OM，
则AE=BE=4m，∠AOB=2∠AMB=60°，
又OA=OB，
∴△OAB是等边三角形，
∴OM=OA=AB=8m，
∵EF⊥AB，∠C=90°，
∴EF∥CQ，
∴∠OFM=∠FDQ=45°，
∵DP与⊙O相切，
∴OM⊥DP，
∴∠MFO=∠MOF=45°，
∴MF=OM=8m，
过点F作FH⊥CQ于点H，则FH=4+11=15m，
∴DF=2FH=152m，
∴DM=DF−MF=152−8m．
4．（2025·天津河东·一模）已知△ABC，∠ABC=90°，⊙O过点A，且与边AC，BC分别交于点D，E．
(1)如图①，若⊙O过点B，且BE=AB，连接BD，求∠ADB的大小；
(2)如图②，若点O在AC上，BC与⊙O切于点B，过⊙O上点F作FG⊥AC交AC于点G，连接AF，若BC=AB=2+2，DG=4AG，求AF的长．
【答案】(1)45°；
(2)455．
【分析】（1）连接AE，根据∠ABC=90°，得出AE为直径，根据等边对顶角得出∠BEA=∠BAE=45°，圆周角定理即可得出∠ADB=∠BEA=45°．
（2）连接OE，OF，设半径为r，根据切线的性质得出∠OEC=90°．结合BC=AB=2+2，得出△ABC，△OEC是等腰直角三角形，勾股定理求出AC=22+2,OC=2r，即可得2r+r=22+2，求出r=2．根据DG=4AG，即可求出OG=65,AG=45，在Rt△OGF中，勾股定理求出FG2，在Rt△AGF中，勾股定理即可求出AF．
【详解】（1）解：连接AE，
∵⊙O过点B，∠ABC=90°，
∴AE为直径，
∵BE=AB，
∴∠BEA=∠BAE=45°，
∴∠ADB=∠BEA=45°．
（2）解：连接OE，OF，设半径为r，
∵BC与⊙O切于点E，
∴∠OEC=90°．
∵BC=AB=2+2，
∴△ABC，△OEC是等腰直角三角形，
∴AC=2AB=22+2，OC=2OE=2r，
∴AC=OC+OA=2r+r=22+2，
∴r=2．
∵DG=4AG，
∴OG=65,AG=45，
在Rt△OGF中，FG2=OF2−OG2=6425，
∴在Rt△AGF中，AF=FG2+AG2=455．
【点睛】该题考查了圆周角定理，等腰直角三角形的性质和判定，勾股定理，切线的性质等知识点，解题的关键是掌握以上知识点．
5．（2024·河南·三模）古希腊数学家欧几里得（约公元前325——公元前265），被称为“几何学之父”．在其所著的《几何原本》中第3卷给出其中一个命题：如果圆外的一点向圆引两条直线，一条与圆相切，一条穿过圆，那么被圆截得的线段与该点到凸圆之间的线段为边构成的矩形的面积等于以该点向圆引的切线所构成的正方形的面积．
某数学兴趣小组对该命题进行了论证，其作答共分为两个流程：尺规作图和论证推理．

(1)尺规作图步骤如下：①以点B为圆心，小于OB的长为半径作弧，分别交射线OB于P，Q两点；②分别以P，Q为圆心，以大于12PQ的长为半径作弧，两弧交于点E；③作射线BE，射线BE与射线DC交于点A；④可得直线AB为⊙O的切线．请按描述完成作图；
(2)依据所作图形，求证：AB2=AC⋅AD．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据作图步骤作图即可；
（2）如图：连接：BD,BC,CO，设∠BOC=2α，由圆周角定理可得:∠CDB=α；再根据等腰三角形的性质、切线的性质、角的和差可得∠ABC=α；然后再证明△ABC∽△ADB，最后根据相似三角形的性质即可解答．
【详解】（1）解：如图：即为所求；
（2）解：如图：连接：BD,BC,CO
设∠BOC=2α，由圆周角定理可得：∠CDB=α
∵OB=OC
∴∠OBC=12180°−∠BOC=90°−α
∵直线AB为⊙O的切线
∴∠ABO=90°，
∴∠ABC=∠ABO−∠OBC=90°−90°−α=α，
∴∠CDB=∠ABC
∵∠CAB=∠DAB
∴△ABC∽△ADB
∴ABAD=ACAB，即AB2=AC⋅AD．
【点睛】本题主要考查了尺规作图、圆周角定理、切线性质、相似三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关性质定理成为解题的关键．
题型三 垂径定理（共7小题）
1．（25-26九年级上·全国·期末）云南傣族竹筒饭融糯米香、青竹香于一体，是最具民族特色的风味食品．如图1是一个竹筒饭容器，如图2是该竹筒容器的截面示意图．若竹筒开口AB宽为8cm，这个竹筒所能装食物的最大深度是8cm，则竹筒截面的半径为 cm．
【答案】5
【分析】本题考查了垂径定理的应用和勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．连接AB，过点O作OD⊥AB于点D，交⊙O于点C，求出AD=12AB=4cm，设半径为x，在Rt△AOD中利用勾股定理列方程解答即可．
【详解】解：连接AB，过点O作OD⊥AB于点D，交⊙O于点C，如图所示：
∵AB=8cm，最大深度是8cm，即CD=8cm，
∴AD=12AB=4cm，
设半径为x，则OA=OC=x，OD=8−x
在Rt△AOD中，OA2=OD2+AD2
即x2=8−x2+42
解得x=5
∴OA=OC=5cm，
故答案为：5．
2．（24-25九年级上·山西朔州·期末）如图，有一个底部呈球体的烧瓶，球的半径为5cm．若瓶内液体的深度CD=2cm，则截面圆中AB的长为 cm．
【答案】8
【分析】由题意知，AB=2AC，利用勾股定理求AC长即可得AB．
【详解】解：∵OA=5cm，CD=2cm，
∴OC=5−2=3cm，
∴AC=OA2−OC2=4cm，
∴AB=2AC=8cm，
故答案为：8．
【点睛】本题考查了垂径定理的应用和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．
3．（24-25九年级上·广西梧州·期末）如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直的两条弦，D、E是AB、AC上的点，且AB=8、AC=6，则矩形ADOE的面积为（ ）
A．5B．6C．10D．12
【答案】D
【分析】本题考查求矩形面积，涉及矩形性质、垂径定理等知识，熟练掌握矩形性质与垂径定理是解决问题的关键．先由矩形性质得到OE⊥AC，OE⊥AB，再由垂径定理得到AE=12AC=3，AD=12AB=4，最后由矩形面积公式代值求解即可得到答案．
【详解】解：在矩形ADOE中，∠OEA=∠ODA=90°，则OE⊥AC，OE⊥AB，
∵在⊙O中，AB、AC为互相垂直的两条弦，
∴由垂径定理可得AE=12AC=3，AD=12AB=4，
则矩形ADOE的面积为3×4=12，
故选：D．
4．（24-25九年级上·湖北十堰·期末）晨晨在学习了圆的有关性质后，想利用所学知识测量家中盛汤用的碗口的直径．以下是他的测量方案和相关数据：
请你根据上述方案和数据计算出碗口直径．
【答案】直径为20cm
【分析】本题主要考查垂径定理、勾股定理、矩形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先过O点作OE⊥CD交CD于点E，延长EO交AB于点F．结合垂径定理得ED=6cm，FB=8cm，再根据勾股定理列式CO2=62+x2,AO2=14−x2+82，因为半径相等得62+x2=14−x2+82，解得x=8，即可作答．
【详解】解：如图所示，假设O点为圆心所在位置．
过O点作OE⊥CD交CD于点E，延长EO交AB于点F．连接AO,CO
由矩形纸条可得CD∥AB，
∵OE⊥CD
∴EF⊥AB，即E，O，F三点共线,
∵纸条宽度14cm．
∴EF=14cm
∵AB=16cm，CD=12cm，OE⊥CD，
∴EC=12×12=6cm，FA=12×16=8cm
设OE=xcm，
则OF=14−xcm，
则CO2=62+x2,AO2=14−x2+82
∵半径相等，
∴CO2=AO2
∴62+x2=14−x2+82
解得x=8，
∴OD=62+82=10cm,
答：碗口直径为20cm
5．（24-25九年级上·河北保定·期末）中式古典园林中大部分月亮门（如图1）可以看作圆的一部分，图2是一个月亮门的示意图，E是⊙O上一点，EM经过圆心O，且EM⊥弦CD，垂足为M．已知CD=2m，EM=3m．
(1)不添加辅助线，直接写出图中一对长度相等的线段；
(2)求这个月亮门的最大宽度（⊙O的直径）．
【答案】(1)CM=DM
(2)103m
【分析】本题考查垂径定理，勾股定理的应用，关键是由垂径定理得到CM=DM，由垂径定理、勾股定理列出关于r的方程．
（1）由垂径定理，即可得到答案；
（2）由勾股定理得到r2=(3−r)2+12，求出r即可得到这个月亮门的最大宽度．
【详解】（1）解：∵EM经过圆心O，且EM⊥弦CD，
∴CM=DM；
（2）解：连接OC，
∵OM⊥CD，
∴CM=DM=12CD=1m，
设⊙O的半径为rm，则OM=(3−r)m，
在Rt△OCM中，
∵OC2=OM2+CM2，
∴r2=(3−r)2+12，
解得r=53，
∴这个月亮门的最大宽度为103m．
6．（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图1，装有水的水槽放置在水平桌面上，其横截面是以AB为直径的半圆O，AB=50cm，MN为水面截线，MN=48cm，GH为桌面截线，MN∥GH．
(1)作OC⊥MN于点C，求OC的长；
(2)将图1中的水倒出一部分得到图2，发现水面高度下降了13cm，求此时水面截线减少了多少？
【答案】(1)OC的长7cm
(2)此时水面截线减少了18cm
【分析】本题主要考查了垂径定理的实际应用、勾股定理的应用等知识点，理解垂径定理是解题的关键．
（1）如图1：连接OM，由圆的性质可得OM=25cm，再利用垂径定理得出MC=24cm，再运用勾股定理计算即可解答；
（2）如图2：过点O作OD⊥EF，垂足为点D，连接OE，利用勾股定理求出ED=15，再利用垂径定理得出EF=2ED=2×15=30，最后MN与EF相减即可解答．
【详解】（1）解：如图1：连接OM，

∵AB=50，
∴OM=25cm
∵OC⊥MN，
∴∠OCM=90°，MC=NC=12MN=12×48=24cm，
在Rt△OMC中，根据勾股定理得：OC2+MC2=OM2，
∴OC2+242=252，解得：OC=7，
∴OC的长7cm．
（2）解：如图2：过点O作OD⊥EF，垂足为点D，连接OE，
∴∠ODE=90°，EF=2ED
由题意可知：OD=7+13=20cm
在Rt△OED中，根据勾股定理得：OD2+ED2=OE2，
∴202+ED2=252 ，解得：ED=15，
∴EF=2ED=2×15=30，
∴48−30=18，
∴此时水面截线减少了18cm．
7．（24-25九年级上·辽宁盘锦·期中）《桥梁的设计》
【答案】任务一：（1）该圆弧所在圆的半径为20米；
（2）y=−132x2+8(−16≤x≤16)；
任务二：（3）能顺利通过圆弧型拱桥，货船不能顺利通过抛物线型拱桥，理由见解析．
【分析】本题考查了二次函数的实际应用，垂径定理，勾股定理的应用，掌握建模的数学思想是解题关键．
任务一：方案一，设弧AB所在的圆心为O，C为弧AB的中点CD⊥AB于点D，延长CD经过O点，设⊙O的半径为r米，利用勾股定理求出即可；
方案二，设抛物线的解析式为y=ax2+c，把点C0,8和点B16,0，代入即可求出抛物线式；
任务二：在圆弧型拱桥中，假设货船能顺利通过拱桥，且货船的顶端正好接触到拱桥，然后由勾股定理求出EM2>82，即可判断；在抛物线型拱桥中，把x=8代入式求出y的值即可判断．
【详解】解：任务一：设计成圆弧型，
设弧AB所在的圆心为O，C为弧AB的中点CD⊥AB于点D，延长CD经过O点，设⊙O的半径为r米，
方案一，∵ OD=OC−CD=r−8，
BD=12AB=16，
在Rt△ODB中，
OB2=OD2+BD2，
即r2=r−82+162，
解得r=20，
该圆弧所在圆的半径为20米；
方案二，设计成抛物线型，
以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为x轴建立坐标系，如图所示，
，
设抛物线的解析式为y=ax2+c，
将抛物线经过点C0,8和点B16,0代入解析式y=ax2+c，
可得8=0+c0=162a+c，
解得c=8a=−132，
∴抛物线的解析式为y=−132x2+8(−16≤x≤16)；
任务二：①在圆弧形状的拱桥中，假设货船能顺利通过拱桥，且货船的顶端正好接触到拱桥，如图所示，
，
连接OE，则OE=r=20，
OM=OD+DM=12+6.1=18.1 ，
在Rt△OEM中，
EM2=OE2−OM2，
∴EM2=202−18.12=72.39>64，
∴货船能顺利通过圆弧型拱桥；
②在抛物线型拱桥中，
当x=8时，y=−32×64+8=6