【期中复习】人教版 初中数学九年级上册 期末专题复习 圆的有关证明专题训练（含解析）

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1．如图，是的切线，为切点，．

(1)求的度数；
(2)当时，求的半径．
2．如图，为的直径，、为弦，，为延长线上的点，．

(1)求证：是的切线；
(2)若的半径为，求图中阴影部分的面积．
3．已知：如图，是的直径，是的弦，且，垂足为．

(1)求证：；
(2)若，的直径，求、的长．
4．如图，在中，，以为直径的交于点，过点作的切线，交于点，的反向延长线交于点．
(1)求证：；
(2)若，的半径为10，求的长度．
5．如图，是的直径，C是的中点，于E，交于点F，，．

(1)求的半径和的长；
(2)求证：；
(3)连接并延长，交的延长线于点G，请判断与之间的数量关系，并说明理由．
6．如图，是半径为的的直径，点、是上的点，且，分别与、相交于点、．
(1)求证：点为的中点；
(2)若，求的长；
7．如图，在中，，是它的外接圆，点在上且，连接，，，与交于点．

(1)判断的形状，并证明；
(2)当时，求的度数．
8．已知的直径为10，点A，点B，点C在上，的平分线交于点D．

(1)求的度数；
(2)若，求的长．
9．如图所示，等边内接于，D为圆周上一点．
(1)求证：平分；
(2)若，，求的长度．
10．如图，是的直径，点A和点E是上位于的两侧的点，，，垂足为D，、的延长线交于点G，的延长线交于点F．
(1)判断的形状并说明理由；
(2)若，，求的直径的长．
11．图，中，，平分交于点，以点为圆心，为半径作交于点．
(1)求证：与相切；
(2)若，，试求的长．
12．如图，在中，，为上一点，经过，，，交于点，过点作，交于点．
(1)求证：．
(2)连接、．求证：．
13．如图，为的直径，弦于点，连接，，，为中点，且.

(1)求的长；
(2)当时，
①__________；
②求阴影部分的周长和面积.
14．如图，正方形内接于，E是的中点，连接．

(1)求∠E的度数．
(2)求证：．
(3)若，则点E到的距离为 ．
15．如图，是的直径，弦于点，在上取一点，连接、、．

(1)求证：；
(2)若的半径为5，，求弦的长．
16．如图，已知是的直径，C点是的一点，于E，点D是的中点，交于点F，交于点G．
(1)判断的形状，并证明；
(2)若，．
①求的长；
②求阴影部分的面积．
17．如图，在中，，以边为直径作交边于点，过点作于点，、的延长线交于点．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
18．如图，为⊙的直径，交⊙于点，为上一点，延长交⊙于点，延长至，使，连接
(1)求证：为⊙的切线；
(2)若且，求⊙的半径．
19．如图是的外接圆，，延长于，连接，使得，交于．
(1)求证：与相切；
(2)若，．
①求的半径；
②求的长度．
20．如图，在中，点O是的中点，以O为圆心，为半径作，交于点D，交于点E，弧与弧相等，点F在线段上，．
(1)求证：；
(2)判断与的位置关系，并加以证明；
(3)若的半径为5，，求的长．
21．已知：四边形为的内接四边形，相交于点E，．
(1)如图1，若，求的度数；
(2)如图2，过点C作于点F，交于点G，当时，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接并延长交于点H，若，求的长．
参考答案：
1．(1)；
(2)的半径为．
【分析】本题考查了切线长定理，三角形内角和定理，等边三角形的判定与性质．
（1）根据等腰三角形等边对等角可得，根据圆切线的性质可得，从而得到，求得是等边三角形，据此求解即可；
（2）根据切线长定理得到，根据含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理计算即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵是的切线，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴；
（2）解：连接，

∵是的切线，
∴平分，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴的半径为．
2．(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了切线的性质与判定以及扇形面积求法；
（1）直接利用已知得出，进而得出答案；
（2）直接利用的面积减去扇形的面积进而得出答案．
【详解】（1）连接，
，
，
，
，
，
即，
是半径，
是的切线；
（2）在中，，，
，，
图中阴影部分的面积．
3．(1)见详解
(2)，
【分析】（1）根据垂径定理得出，然后根据“同弧或等弧所对的圆周角相等”证明结论；
（2）根据直径得出，根据“直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半”，可得，根据同圆中弧和弦的关系可求得的长度；在中，根据含30度角的直角三角形的性质可得，再利用勾股定理解得，然后根据垂径定理可得，即可求出的长度．
【详解】（1）证明：∵是的直径，是的弦，且，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∴，
∵是的直径，且，
∴，
∴在中，，
又∵，
∴；
∵，，
∴在中，，
∴，
又∵是的直径，，
∴．
【点睛】本题主要考查了垂径定理、直径所对的弦为直径、同圆或等圆中弧与弦的关系、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理等知识，理解并掌握垂径定理是解题关键．
4．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）欲证明，只需推知即可；
（2）如图，过点作于点，构建矩形，设．则由矩形的性质推知：，．在中，由勾股定理知：，通过解方程得到的长度，结合，得到．
本题考查了切线的性质，勾股定理，矩形的判定与性质．解题时，利用了方程思想，属于中档题．
【详解】（1）证明：，
，
，
，
，
．
是的切线，是半径，
，
；
（2）如图，过点作于点，则，
四边形是矩形，
，．
设．
，，
，．
在中，由勾股定理知：，即，
解得，（不合题意，舍去）．
．
，
，
．

5．(1)的半径10，
(2)证明见解析
(3)，理由见解析
【分析】（1）利用勾股定理得出的长，然后根据直角三角形的面积得出的长；
（2）利用垂径定理得出，利用C是的中点得出，然后根据圆周角定理得出，即可证明结论；
（3）先证，再证，即可证出结论．
【详解】（1）解：∵是的直径,
∴,
∵是的中点,
，
∴,
，
的半径为，
∵，
，
，
∴；
（2）证明：延长交于点，

∵是的直径， ，
∴，
∵是的中点，
∴，
∴，
∴ ，
∴；
（3）解，，理由如下：
如图：

是的直径，
，
，
四边形是的内接四边形，
，
，
，
．
【点睛】此题考查了圆周角定理、垂径定理、圆内接四边形性质、等腰三角形的判定以及勾股定理，解题的关键是掌握在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角为直角．
6．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了直径所对的圆周角是直角，垂径定理，中位线的性质；
（1）利用圆周角定理得到，证明，然后根据垂径定理得到点D为的中点；
（2）根据中位线的性质可得，根据，即可求解．
【详解】（1）证明：∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即点为的中点；
（2）解：∵
∴，
又，
∴，
∵，
∴．
7．(1)等腰三角形，见解析
(2)．
【分析】本题考查了圆周角定理，三角形的外角性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）利用圆周角定理以及三角形的外角性质证明，推出，即可证明为等腰三角形；
（2）利用三角形内角和定理列式计算即可求解．
【详解】（1）解：为等腰三角形，
证明：设，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴为等腰三角形；
（2）解：∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
8．(1)
(2)，
【分析】本题综合考查了圆周角定理，勾股定理，掌握圆周角定理是解题的关键．
（1）根据圆周角定理得到，根据角平分线的定义和圆周角定理即可得到结论；
（2）利用圆周角定理可以判定和是直角三角形，利用勾股定理可以求得的长度；利用圆心角、弧、弦的关系推知也是等腰三角形，所以利用勾股定理同样得到．
【详解】（1）解：∵为的直径，
∴，
∵平分，
∴，
∴；
（2）解：∵为的直径，
∴，
∵在直角中，，
∴由勾股定理得到：，
∵平分，
∴，
∴，
在直角中，，
，
∴．
9．(1)证明见解析
(2)3
【分析】（1）先根据等边三角形的性质得到，再根据圆周角定理得到，从而得到结论；
（2）在截取，如图，先证明为等边三角形得到，，再证明得到，然后计算即可．
【详解】（1）证明：∵为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
同理可得：，
∴，
即平分；
（2）解：在截取，如图，
∵，，
∴为等边三角形，
∴，，
∵，，
∴，
∵和都对应，
∴，
∵为等边三角形，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心“经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆”，等边三角形的性质、圆周角定理和全等三角形的判定与性质，熟练掌握上述知识的综合运用是解题的关键．
10．(1)是等腰三角形，理由见解析
(2)
【分析】（1）圆周角定理，得到，同角的余角相等，得到，等弧所对的圆周角相等，得到，进而得到，即可得出结论；
（2）等角的余角相等，得到，进而得到，进而求出的长，勾股定理，求出的长，连接，设半径，利用勾股定理求出的值即可．
【详解】（1）解：是等腰三角形．
为直径，
，
，
，
．
，
，
，
，
，
，
是等腰三角形．
（2）中，，
又
，
，
，
，
，
，
，
在Rt中，．
连接，设半径，则，
在Rt中，，
．
的直径．
【点睛】本题考查圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，勾股定理．熟练掌握直径所对的圆周角为直角，以及等弧所对的圆周角相等，是解题的关键．
11．(1)见解析
(2)
【分析】（1）过点作于点，如图，先根据角平分线的性质得到，然后根据切线的判定方法得到结论；
（2）先利用勾股定理计算出，再证明得到，所以，设的半径为，则，，在中利用勾股定理得到，则可方程求出，然后计算即可．
【详解】（1）证明：过点作于点，如图，
平分，，，
，
与相切；
（2）解：，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
，
设的半径为，则，，
在中，由勾股定理得，
∴
解得，
．
【点睛】本题主要考查了切线的判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，角平分线的性质等等，解题的关键是通过过圆心作直线的垂线，证切线，利用勾股定理列方程求解．
12．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了圆的性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质和判定，熟练掌握同弧所对的圆周角相等是解题关键．
（1）根据等边对等角，可得，再由同弧所对的圆周角相等，得到，即可证明结论；
（2）连接，由同弧所对的圆周角相等可得，，再由可得，等量代换可得，可得，再根据可得，进而证得结论．
【详解】（1）证明：，
，
，
；
（2）证明：连接，
∵，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
13．(1)2
(2)①；②周长，面积
【分析】本题以圆为几何背景，考查了中位线定理、垂径定理、勾股定理等知识点．熟记定理内容是解题关键．
（1）由题意可得且，结合“垂径定理”可得，，据此即可求解；
（2）①由“垂径定理”可得，，解直角三角形即可求解；②连接，在求出线段的长度即可．
【详解】（1）解：∵为的直径，
∴，
∵为中点，为中点，
∴且，
∵，
∴，
∵弦于点，
∴，
∴；
（2）解：①∵弦于点，
∴，
∵，，
∴，，
∴.
故答案为：
②连接，

∵，，
∴，
∴.
在，
∵，，，
∴，，
∴的长，
阴影部分的周长，
阴影部分的面积.
14．(1)
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查了正多边形和圆，线段垂直平分线的判定和性质，勾股定理等知识．
（1）利用正方形和圆的关系，求得中心角的度数，再利用圆周角定理即可求解；
（2）要证明，只要证明即可；
（3）连接并延长交于点F，证明是线段的垂直平分线，再利用勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：如图，连接，，

∴
∵正方形内接于，
∴，
∴；
（2）证明：∵四边形是正方形，
∴，
∴．
∵E是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：连接并延长交于点F，

∵，，∴是线段的垂直平分线，
∵，，
∴，，
∴，
∴，即点E到的距离为，
故答案为：．
15．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查圆的性质及应用，涉及勾股定理，解题的关键是掌握垂径定理、圆周角定理等圆的性质及熟练运用勾股定理．
（1）连接，根据弦直径，可得，即，又，即可得；
（2）连接，由的半径为5，，得，，，根据，得，在中，即可得．
【详解】（1）证明：连接AD，如图：

∵弦直径AB，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴；
（2）解：连接OC，如图：

∵的半径为5，，
∴，，，
∵，
∴，
在中，，
∴．
16．(1)是等腰三角形，证明见解析
(2)①；②
【分析】本题考查了圆的基本性质，等腰三角形的判定，等边三角形的判定及性质，特殊角的三角函数值，直角三角形的特征，勾股定理等；
（1）由圆的基本性质可证，，从而可证，即可求证；
（2）①由直角三角形的特征可求，再由即可求解；②连接，可求，，由勾股定理可求，由即可求解；
掌握相关的定理，扇形面积公式，表示出是解题的关键．
【详解】（1）解：是等腰三角形，
理由：是的直径，
，
，
，
，
为的中点，
，
，
，
，
，
是等腰三角形；
（2）解：①，
，
，
，
，
，
；
②如图，连接，
，，
是等边三角形，
，，
，
；
，
．
17．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接、，由圆周角的性质定理和等腰三角形的三线合一定理，即可得到答案；
（2）先求出的长度，然后由三角形的面积公式，即可求出答案．
【详解】（1）证明：连接、，如图：
为的直径，
．
，
点是的中点．
是中点，
是的中位线．
．
，
．
是的切线．
（2）连接、，
，且，
在中，，，
，
又，
即，
．
【点睛】本题考查了切线的判定定理，圆周角定理，等腰三角形的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的进行解题．
18．(1)证明见解析
(2)
【分析】本题考查了圆的性质，等腰三角形的性质，勾股定理的应用，利用圆的性质证明，利用勾股定理将半径通过一元二次方程表示出来是解答本题的关键．
（1）根据圆的性质，等腰三角形的性质，由已知条件得到，，又因为，，所以，即，得证为⊙的切线．
（2）由已知条件，设⊙的半径为，在中，利用勾股定理将半径表示出来，最后求出半径．
【详解】（1）解：由已知条件得，
，，
，，
又，
，
，
为⊙的切线．
（2）由已知得，
，，，，
设⊙的半径为，
，,
，
在中，
即
解得：
（舍去）或
故⊙的半径为．
19．(1)见解析
(2)①的半径4，②
【分析】本题考查了切线的判定，圆周角定理，垂径定理，正确作出辅助线，熟练掌握相关性质定理是解题的关键．
（1）连接，根据圆周角定理得出，再根据平行线的性质得出，即可求证与相切；
（2）①设的半径为r，则，，根据勾股定理可得，列出方程求解即可；②过点O作于点F，用等面积法求出，进而得出，最后根据垂径定理可得．
【详解】（1）证明：连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴与相切；
（2）解：①设的半径为r，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
即，
解得：或（舍去），
∴的半径4；
②过点O作于点F，
∵，，
∴，
则，
解得：，
根据勾股定理可得：，
∵，
∴．
20．(1)见解析
(2)与相切，证明见解析
(3)
【分析】该题主要考查了圆周角定理，切线的性质“切线垂直于过圆心的直经或（半径）”和判定，三角形中位线的性质“三角形中位线平行于三角形的第三边且等于第三边的一半”和判定，解题的关键是做出对应辅助线；
（1）连接，根据弧与弧相等，得出，根据是的直径，得出，证出，即可求证；
（2）连接，根据，得出，证出是的中位线，得出，根据，证出，由等量代换得出，根据平行线性质得出，即可证明与相切；
（3）连接，根据弧与弧相等证出，根据，得出，结合（2）得出，证出是的中位线，得出，
设长为x，则，表示出，，，根据是的直径，得出，在中，运用勾股定理解出x，得出，，在中，运用勾股定理解出；
【详解】（1）证明：连接，
∵弧与弧相等；
∴，
∵是的直径；
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴；
（2）与相切，
证明：连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵点O是的中点，
是的中位线，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴与相切；
（3）
解：连接，
∵弧与弧相等，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
是的中位线，
∴，
设长为x，则，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴在中，，
即，
解得或（舍），
，，
在中，，
解得．
21．(1)
(2)见解析
(3)
【分析】（1）利用圆周角定理和等腰三角形的性质即可得到答案；
（2）设，证明，，再用等角对等边即可得结论；
（3）连接，，，延长交于，证明，设，在上取，连接，，证明四边形是平行四边形，进一步证明，由勾股定理得到，解得，得到，在中，利用勾股定理即可得到答案．
【详解】（1）证明：如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∵，
（2）设
∵，即
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
∴；
（3）解：连接，，，延长交于，
∵，
∴垂直平分，
∴，
∵点在上，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，在上取，连接，
∵为的中点，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：（负值舍去），
∴，
∴
在中， ，
∴
【点睛】此题考查了圆周角定理、勾股定理、等腰直角三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、平行四边形的判定和性质等知识，添加适当的辅助线是解题的关键．