福建省莆田市南门中学九年级上学期数学期中试题-A4

这是一份福建省莆田市南门中学九年级上学期数学期中试题-A4，共15页。试卷主要包含了抛物线的顶点坐标是，下列各组图形中，不一定相似的是，对于二次函数y= +，计算等内容，欢迎下载使用。
一．选择题（共10小题，每小题4分，共四十分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．下列四个图形中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，△ABC内接于圆，弦BD交AC于点P，连接AD．下列角中，所对圆周角的是（ ）
A．∠ACBB．∠ABDC．∠APBD．∠BAC
3．抛物线的顶点坐标是（ ）
A．B．C．D．
4．已知是一元二次方程x²-2x+c=0的一个根，则实数c的值是（ ）
A．-1B．0C．1D．2
5．下列各组图形中，不一定相似的是（ ）
A．任意两个等腰直角三角形B．任意两个等边三角形
C．任意两个矩形D．任意两个正方形
6．如图所示的正方形中，点在边上，把△ADE绕点顺时针旋转得到△ABF，．旋转角的度数是（ ）
A．110°B．90°C．70°D．20°
如图，护林员在离树8m的A处测得树顶B的仰角为45°，已知护林员的眼睛离地面的距离AC为1.6m，则树的高度BD为( )
A．8mB．9.6mC．(4+1.6)mD．(8+1.6)m
8．如图，已知在△ABC中，P为AB上一点，连接CP，以下条件中不能判定△ACP∽△ABC的是（ ）
A．B．C． D．
9．如图，四边形ABCD内接于，若，则的度数为（ ）
A．50°B．100°C．130°D．150°
10．对于二次函数y= +（1-2a）x（a＞0），下列说法错误的是（ ）
A．当时，该二次函数图象的对称轴为y轴
B．当a＞时，该二次函数图象的对称轴在y轴的右侧
C．该二次函数的图象的对称轴可为x=1
D．当x＞2时，y的值随x的值增大而增大
二．填空题（共6小题，每小题4分，共24分）
11．若 tanA=，则锐角∠A= ° .
12．关于 x 的一元二次方程 x2+2x- 1＝0 有两个不相等的实数根 x1 、x2 ，则x1+x2 = .
13．如图，将绕点旋转得到△ADE，若∠B=90°，，，则 ．
14．如图，、两点在以为直径的圆上，，，则 ．
15．如图，在直角坐标系中，OAB的顶点为O（0，0），A（4，3），B（3，0）．以点O为位似中心，在第三象限内作与OAB的位似比为的位似图形OCD，则点C的坐标为 ．
16．如图，平行四边形ABCD中，∠ACB = 30°，AC的垂直平分线分别交AC，BC，AD于点O，E，F，点P在OF上，连接AE，PA，PB.若PA = PB，现有以下结论：
①△PAB为等边三角形；②△PEB∽△APF；③∠PBC - ∠PAC = 30°；④EA = EB + EP
其中一定正确的是 （写出所有正确结论的序号）
三．解答题（本大题共9小题，共86分，解答应写出必要的文字说明，证明过程、正确作图或演算步骤）
17．（本小题满分8分）计算：．
（本小题满分8分）解方程：．
19．（本小题满分8分）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根．
(1)用含m的代数式表示n；
(2)求的最小值．
20．（本小题满分8分）如图，在中，，将△ABC绕点C顺时针旋转得到，与相交于点F，点B的对应点为E，点A的对应点D落在线段上，连接．
(1)求证：平分；
(2)试判断与的位置关系，并说明理由；
21．（本小题满分8分）如图，在中，点在边上，点在边上，且，．
(1)求证：△AED∽△ADC；
(2)若，，求的长．
22．（本小题满分10分）问题情境：筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（如图①）．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都按逆时针做匀速圆周运动，每旋转一周用时120秒．
问题设置：把筒车抽象为一个半径为r的．如图②，始终垂直于水平面，设筒车半径为2米．当时，某盛水筒恰好位于水面A处，此时，经过95秒后该盛水筒运动到点B处．
问题解决：
(1)求该盛水筒从A处逆时针旋转到B处时，的度数；
(2)求该盛水筒旋转至B处时，它到水面的距离．
23．（本小题满分10分）为响应莆田市“创建全国文明城市”的号召，某单位不断美化环境，拟在一块矩形空地上修建绿色植物园，其中一边靠墙，可利用的墙长不超过18m，另外三边由36m长的栅栏围成．设矩形ABCD空地中，垂直于墙的边，面积为（如图）．
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）若矩形空地的面积为，求x的值；
（3）若该单位用8600元购买了甲、乙、丙三中绿色植物共400棵（每种植物的单价和每棵栽种的合理用地面积如下表）.问丙种植物最多可以购买多少棵？此时，这批植物可以全部栽种到这块空地上吗？请说明理由.
24．（本小题满分12分）如图（1），P为ABC所在平面上一点，且∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，则点P叫做ABC的费马点．
（1）如果点P为锐角ABC的费马点，且∠ABC＝60°．求证：ABP∽BCP；
（2）如图（2），在锐角△ABC外侧作等边连结．求证：过△ABC的费马点P，且．
（3）已知锐角ABC，∠ACB＝60°，请利用直尺和圆规在图上做出△ABC的费马点（保留作图痕迹，不写作法）
25．（本小题满分14分）已知抛物线的顶点为D，与x轴交于A，B两点（A在B左边）．
(1)若该抛物线的顶点D坐标为，求其解析式；
(2)如图（1），已知抛物线的顶点D在直线上滑动，且与直线l交于另一点E，若y轴交于点F，DE=DF，求抛物线顶点D的坐标；
(3)如图（2），在（1）的条件下，P，Q为y轴上的两个关于原点对称的动点，射线分别与抛物线交于M，N两点，求与满足的数量关系．
2023-2024学年南门学校九年级上学期期中
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．D． 2．A． 3．A． 4．C． 5．C．
6．B． 7．B． 8．D． 9．B． 10．C．
二．填空题（共5小题）
11．30°． 12．-2． 13．2．
14．2． 15．． 16．①③④．
三．解答题（共9小题）
17．【解答】解：
．
=
=
=
18.【解答】解：
∵，
，
则或，
解得，．
19.【解答】解：（1）解：由题意知
∴
（2）
∵
∴当时，的值最小，为
∴的最小值为
20．【解答】（1）证明：∵是由旋转得到，
∴，，
∴，
∴，
∴平分．
（2）解：结论：．
由旋转的性质可知，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
21．【解答】（1）证明，如图：
∵，，，
∴，
又∵是公共角，
∴△AED∽△ADC．
（2）由（1）得，△AED∽△ADC，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
22．【解答】
（1）解：∵旋转一周用时120秒，
∴每秒旋转，
当经过95秒后该盛水筒运动到点B处时，，
∵，
∴；
（2）解：作于点C，设与水平面交于点D，则，

在中，，，
∴，，
在中，，，
∴，
∴CD=OD-OC=（）米.
答：该盛水筒旋转至B处时，它到水面的距离为（）
23．【解答】
解：（1）∵，
∴BC=（36-2x）m，
∴，
∵，且
∴，
∴；
（2）由题意得，
解得（舍去），
∴x的值为10.
∵y=-2x²+36x=-2（x-9）²+162，
∴当x=9时，y有最大值162.
设购买了乙绿色植物a棵，购买了丙种绿色植物b棵，
由题意得14（400-a-b）+16a+28b=8600，
∴a+7b=1500.
∴，且b为整数.
又∵a≥0，且a为整数，b随a的增大而减小，
∴当a=2时，b的值最大，最大值为214.
此时种植的面积为.
∵161.2＜162，
∴这批植物可以全部栽种到这块空地上.
24．【解答】
解：（1）为锐角ABC的费马点，且∠ABC＝60°．
∠APB＝∠BPC＝120°，
∠PAB+∠PBA＝180°﹣∠APB＝60°，∠PBC+∠PBA＝∠ABC＝60°，
∴∠PAB＝∠PBC，
∴△ABP∽△BCP．
（2）证明：在BB'上取点P，使∠BPC=120°．连接AP，再在PB'上截取PE=PC，连接CE．
∠BPC=120°，
∴∠EPC=60°，
∴△PCE为正三角形，
∴PC=CE，∠PCE=60°，．
∵为正三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴∠APB=∠APC=∠BPC=120°，
∴P为△ABC的费马点．
∴过△ABC的费马点P，且．
（3）如图所示：
25．【解答】
（1）解：∵抛物线顶点坐标为D，二次项系数，
∴，
∴该抛物线的解析式为；
（2）设点D、E的坐标分别为，
则，将抛物线与直线l解析式联立得：，
整理得：，
∴，
∴，
∵DE=DF，
∴E点关于抛物线对称点为抛物线与y轴交点，
∴2x1=x2=
∴
∴b=2
∴x1=1，
代入抛物线得D（1,4）.
（3）如图2，设P，
∵P，Q为y轴上的两个关于原点对称的动点，
∴，
∴，
由（1）知：，
令，则，
解得：，
∴，
设直线的解析式为，
则：，
解得：，
∴直线的解析式为，
联立方程组，得：，
解得：（舍去），，
∴，
同理可得：，
∴，