福建省莆田市哲理中学九年级上学期期中考试数学试题（解析版）-A4

这是一份福建省莆田市哲理中学九年级上学期期中考试数学试题（解析版）-A4，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列我国著名企业商标图案中，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180°,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合,那么这个图形就叫做中心对称图形,这个点叫做对称中心进行分析即可
【详解】A.不是中心对称图形,故此选项错误
B.是中心对称图形,故此选项正确;
C.不是中心对称图形,故此选项错误
D.不是中心对称图形,故此选项错误;
故选B
【点睛】此题考查中心对称图形，难度不大
2. 已知⊙O的半径是4，OP＝7，则点P与⊙O的位置关系是（ ）．
A. 点P在圆内B. 点P在圆上C. 点P在圆外D. 不能确定
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意得⊙O的半径为4，则点P到圆心O的距离大于圆的半径，则根据点与圆的位置关系可判断点P在⊙O外．
【详解】解：∵OP＝7，r＝4，
∴OP＞r，
则点P在⊙O外．
故选：C．
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有点P在圆外⇔d＞r；点P在圆上⇔d＝r；点P在圆内⇔d＜r．
3. 已知＝5，则的值是（ ）
A. B. ﹣C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由=5，可得b=5a，然后代入，即可求出其值．
【详解】解： ，
，且 ，
则 ，
故选：A．
【点睛】本题考查了比例的性质，解题的关键是正确运用基本性质．本题中要先确定a与b的关系，再确定a-b与a+b的关系．
4. 方程的解是（ ）
A. B.
C ，D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】利用因式分解法解一元二次方程，然后判断作答即可．
【详解】解：，
，
∴或，
解得，，，
故选：C．
【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程．解此题的关键在于对知识的熟练掌握与正确运算．
5. 如果抛物线开口向下，那么的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由抛物线的开口向下可得不等式，解不等式即可得出结论．
【详解】解：∵抛物线开口向下，
∴，
∴．
故选择：B．
【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是牢记“时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口．”
6. 如图，D是边AB上一点，过点D作交AC于点E．若，则的值（ ）
A. 2：3B. 4：9C. 2：5D. 4：25
【答案】D
【解析】
【分析】由题意易得，，然后根据相似三角形的性质可求解．
【详解】解：∵DE∥BC，
∴，
∵，
∴，
∴；
故选D．
【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
7. 如图，直角坐标系中，经过A，B，C三点的圆，圆心为M，则点M的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了垂径定理、坐标与图形．
由网络可得出线段和的垂直平分线的交点，这个交点即为圆心M，进而可得点M的坐标．
【详解】解：如图，作线段和的垂直平分线，它们的交点为圆心M，则点M坐标为，
故选：C
8. 如图，点P是的边上一点，连接，以下条件中，不能判定的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定．解题的关键是掌握有两角对应相等的三角形相似与两边对应成比例且夹角相等的三角形相似定理的应用．根据相似三角形的判定定理（①有两角分别相等的两三角形相似，②有两边的比相等，并且它们的夹角也相等的两三角形相似）逐个进行判断即可．
【详解】解：A、，，
，不符合题意；
B、，，
，不符合题意；
C、根据和不能判断，符合题意；
D、，，
，不符合题意；
故选：C．
9. 如图，中，点C为弦中点，连接，，，点D是上任意一点，则度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】连接OA，在上取点E，连接AE，BE，先证明，可得∠AOB=112°，结合圆周角定理和圆内接四边形的性质，即可求解．
【详解】解：连接OA，在上取点E，连接AE，BE，
∵点C为弦中点，
∴OC ⊥AB，即∠ACO=∠BCO=90°，
又∵AC=BC，OC=OC，
∴，
∴∠AOC=，即：∠AOB=112°，
∴∠E=∠AOB=56°，
∵四边形ADBE是的内接四边形，
∴=180°-56°=124°，
故选B．
【点睛】本题主要考查圆周角定理、垂径定理、圆的内接四边形的性质，添加辅助线，构造圆的内接四边形，是解题的关键．
10. 如图，将绕点逆时针旋转，旋转角为，得到，这时点旋转后的对应点恰好在直线上，则下列结论不一定正确的是（ ）
A. B.
C. D. 是等腰三角形
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了旋转的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的判定，掌握旋转的性质是解题的关键．
根据旋转的性质得到，，，，结合选项逐一判定即可．
【详解】解：∵旋转，点旋转后的对应点恰好在直线上，
∴，
∴，，，，
∴，故A选项正确，不符合题意；
∵，
∴，故B选项正确，不符合题意；
∴，故C选项正确，不符合题意；
∵与不一定相等，
∴不一定是等腰三角形，故D选项错误，符合题意；
故选：D ．
二、填空题：
11. 在直角坐标系中，点关于原点成中心对称的点的坐标是_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标．根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可得答案．
【详解】解：在直角坐标系中，点关于原点成中心对称的点的坐标是，
故答案为：．
12. 如图，将绕点O按逆时针方向旋转40°后得到，若，则的度数是______．
【答案】##30度
【解析】
【分析】根据将绕点O按逆时针方向旋转后得到，可得，即可得出答案．
【详解】解：∵将绕点O按逆时针方向旋转后得到，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了图形的旋转变换，解题的关键是掌握旋转的性质．
13. 如图，在中，，直尺的一边与重合，另一边分别交，于点，．点、，，处的读数分别为，，，，若直尺宽，则的长为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是相似三角形的判定和性质、证明，根据相似三角形的性质列出比例式，把已知数据代入得到，进一步即可得到答案
【详解】∵点，，，处的读数分别为，，0，1．
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：
故答案为：1．
14. 若抛物线与x轴只有一个公共点，则k的值为________．
【答案】16
【解析】
【分析】令y=0得到关于x的一元二次方程，由抛物线与x轴只有一个交点，得到方程根的判别式等于0，计算求解即可．
【详解】解：令y=0，得到 ．
∵二次函数的图象与x轴只有一个交点，
∴方程有两个相等的实数根，
∴==64-4k=0，解得k=16
故答案为：16．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点．解题的关键在于明确交点个数与判别式△的关系．
15. 如图，在⊙O中，AB为直径，弦于点H，若，则⊙O的半径长为______．
【答案】5
【解析】
【分析】连接OC，设圆的半径为x，根据垂径定理可得CH=4，在Rt△OCH中由勾股定理建立方程求解即可；
【详解】解：如图，连接OC，设圆的半径为x，
由垂径定理可得：CH=CD=4，
Rt△OCH中，OH=AH-AO=8-x，则
，
，
解得：x=5，即⊙O半径为5，
故答案为：5；
【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理等知识；掌握垂直于弦直径平分这条弦是解题关键．
16. 如图，已知，相邻两条平行直线间的距离相等，的三个顶点分别在这三条平行直线上，且，，则的值是______．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了全等三角形的判定及性质，锐角三角函数的定义，构造“K”字形转换线段长度之间的关系为解题关键．过点A作的垂线，垂足为D，过点B作的垂线，垂足为E、F，设之间的距离为a，则与之间的距离也为a，根据为等腰直角三角形，可推出，则，则，，即可得到.
【详解】解：如图1所示，
过点A作的垂线，垂足为D，过点B作的垂线，垂足为E、F，
设之间的距离为a，则与之间的距离也为a，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：
三、解答题
17 计算：
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，零指数幂，熟练掌握运算法则是解题关键．
根据特殊角的三角函数值，零指数幂计算即可．
【详解】解：
．
18. 如图，中，，点是内一点，将旋转后能与重合
（1）旋转中心是点______；
（2）若，求旋转角的度数．
【答案】（1）
（2）旋转角的度数为
【解析】
【分析】本题主要考查的旋转的性质，等腰三角形的定义，掌握旋转的性质是解题的关键．
（1）根据旋转的性质，结合题意即可求解；
（2）根据等边对等角，三角形内角和定理得到的角度，由旋转的性质即可求解．
【小问1详解】
解：∵将旋转后能与重合，
∴旋转中心是点，
故答案为：；
【小问2详解】
解：∵，，
∴，
∴，
∵将旋转后能与重合，
∴旋转角为，旋转角的度数为．
19. 如图，∠1 = ∠2，∠C = ∠D，求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】根据∠1＝∠2可得∠BAC＝∠EAD，结合∠C＝∠D，证明△BAC∽△EAD，再根据相似三角形的性质即可得到结论．
【详解】证明：∵∠1＝∠2，
∴∠1＋∠CAE＝∠2＋∠CAE，
∴∠BAC＝∠EAD，
∵∠C = ∠D，
∴△BAC∽△EAD，
∴．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是解决问题的关键．
20. 如图，的两条弦（AB不是直径），点E为AB中点，连接EC，ED．
（1）直线EO与AB垂直吗？请说明理由；
（2）求证：．
【答案】（1）直线EO与AB垂直．理由见解析；（2）证明见解析．
【解析】
【分析】（1）依据垂径定理的推论平分弦（不是直径）的直径垂直于弦可得结论；
（2）易证，由垂径定理可得结论.
【详解】解：（1）直线EO与AB垂直．理由如下：
如图，连接EO，并延长交CD于F．
∵ EO过点O，E为AB中点，
．
（2），，
．
∵ EF过点O，
，
垂直平分CD，
．
【点睛】本题考查了垂径定理，灵活利用垂径定理及其推论是解题的关键.
21. 在综合实践课上，某兴趣小组利用无人机航拍校园，已知无人机的飞行速度为，从A处沿水平方向飞行至B处需，在地面C处测得A处的仰角为处的仰角为．（图中所有点都在同一平面内）
（1）求的距离；
（2）求这架无人机的飞行高度．
【答案】（1）80m （2）m
【解析】
【分析】（1）根据路程速度时间即可得到结论；
（2）过作于，于，得到，m，推出是等腰直角三角形，求得，设，根据三角函数的定义即可得到结论．
【小问1详解】
解：的距离m；
【小问2详解】
过作于，于，
则，m，
，
是等腰直角三角形，
，
设，
，
，
，
答：这架无人机的飞行高度为m．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题：根据题意画出几何图形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．
22. 如图，AB是⊙O的直径，直线MC与⊙O相切于点C．过点A作MC的垂线，垂足为D，线段AD与⊙O相交于点E．
（1）求证：AC是∠DAB的平分线；
（2）若AB＝10，AC＝4，求AE的长．
【答案】（1）详见解析；（2）6．
【解析】
【分析】（1）连接OC，根据切线的性质得到∠OCM＝90°，得到OC∥AD，根据平行线的性质、等腰三角形的性质证明结论；
（2）连接BC，连接BE交OC于点F，根据勾股定理求出BC，证明△CFB∽△BCA，根据相似三角形的性质求出CF，得到OF的长，根据三角形中位线定理解答即可．
【详解】（1）证明：连接，如图：
∵直线与相切于点
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴是的平分线．
（2）解：连接，连接交于点，如图：
∵AB是的直径
∴
∵，
∴
∵
∴
∴，为线段中点
∵，
∴
∴，即
∴
∴
∵为直径中点，为线段中点
∴．
故答案是：（1）详见解析；（2）6
【点睛】本题考查了切线的性质、平行线的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质以及三角形中位线的性质，适当的添加辅助线是解题的关键．
23. 已知整数，，，．满足，．
（1）求证：为正数；
（2）若为偶数，判断是否可以为奇数，说明你理由．
【答案】（1）证明见详解
（2）不可以，理由见详解
【解析】
【分析】本题主要考查了因式分解的应用、奇数和偶数的识别等知识，熟练掌握完全平方公式的应用是解题关键．
（1）把代入，利用完全平方公式分解因式，利用平方的非负性质即可证明．
（2）由，，，为整数，为偶数，可得出为偶数，进而可得出为偶数，为偶数，若为奇数，则为奇数，则为奇数，与为偶数矛盾，则不可以为奇数．
【小问1详解】
证明：∵，
∴


∵，则
∴正数．
【小问2详解】
不可以，理由如下：
∵，，，为整数，为偶数，
∴为偶数，
∵，
∴为偶数，
∴，同为偶数或者同为奇数，
∴为偶数，
若为奇数，则为奇数，
∴为奇数，
∴为奇数与为偶数矛盾，
∴不可以为奇数．
24. 已知，如图1，在中，点E是中点，连接并延长，交的延长线于点F．
（1）求证：；
（2）如图2，点G是边上任意一点（点G不与点B、C重合），连接交于点H，连接，过点A作，交于点K．
①求证：；
②当时，恰有，求n的值．
【答案】（1）见解析 （2）①见解析；② 5
【解析】
【分析】（1）由中，可得，，结合，可证；
（2）由得，，再证，得出，同（1）可证，推出，等量代换可得；
（3）作交于M，分别证明，，，根据相似三角形的性质计算即可．
【小问1详解】
证明： 中，，
，，
又点E是中点，
，
；
【小问2详解】
①证明：如图，作交于N，
∵，
∴，
∴，
∵，
，，
，
∴，
∴．
由（1）的方法可知，，
∴，
∴；
②解：如图，作交于M，
∵，
∴，，
∵，
，，
，
．
∵，
，，
，
，
，
∵，，
，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵
∴．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，通过作辅助线构造相似三角形是解题的关键．
25. 如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴负半轴交于点C．

（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点D是抛物线上第三象限内的一点，连接，能否为直角三角形，请简要说明；
（3）如图2，经过定点作直线与抛物线交于M，N两点，试探究是否为定值？若为定值请求出定值，若不为定值，请说明理由．
【答案】（1）
（2）不存在第三象限的点，使为直角三角形；
（3）是4，是定值，见解析
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求抛物线的解析式即可；
（2）点，，，，分三种情况讨论，利用勾股定理列出方程，据此解答即可；
（3）设经过点的一次函数的解析式为，，，得到，利用根与系数的关系，公式变形计算即可．
【小问1详解】
解：∵抛物线解析式为与x轴交于，两点，
∴，
解得，
故抛物线的解析式为；
【小问2详解】
解：不存在第三象限的点，使为直角三角形；理由如下，
∵，令，得，
∴，
∵，
∴，
∴，
设点，
∴，，，
①当，由勾股定理得，
∴，
整理得，
解得，
此时点与点重合，
∴不存在点，使；
②当，由勾股定理得，
∴，
整理得，
解得，，
∵点D在第三象限内的一点，
∴，
此时点与点重合，
∴不存在点，使；
③当，由勾股定理得，
即，
整理得，即，
解得或，
∴不存在点，使；
综上，不存在第三象限的点，使为直角三角形；
【小问3详解】
解：是定值．理由如下：
设经过点的一次函数的解析式为，
∴，
∴，
故一次函数的解析式为，
设，，
根据题意，得，
∴，
∴，
∴，
∴
，
∵
，
同理可证，，
∴
，
∴，是定值．