福建省福州市连江县九年级上学期期中考试数学试题（解析版）-A4

这是一份福建省福州市连江县九年级上学期期中考试数学试题（解析版）-A4，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（全卷共6页，满分：150分．考试时间：120分钟）
友情提示：所有答案都必须填涂在答题卡规定位置上，答在本试卷上的一律无效！
一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 下列图形是中心对称图形的是（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据定义逐项判断即可得到答案，正确掌握相关概念是解题关键．
【详解】解：解：A、该图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、该图形是中心对称图形，故此选项符合题意；
C、该图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、该图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意．
故选：B．
2. 二次函数的顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由于二次函数的顶点坐标为，由此即可求出抛物线的顶点坐标．
【详解】解：∵二次函数，
∴顶点坐标为．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了二次函数的顶点式，解题的关键是熟练掌握抛物线的顶点式求其顶点的坐标．
3. 在平面内，的半径为，点到圆心的距离为，则点与的位置关系是（ ）
A. 点在外B. 点在上
C. 点在内D. 不能确定
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查点与圆的位置关系，根据点到圆心的距离半径，则点在圆内；点到圆心的距离半径，则点在圆上；点到圆心的距离半径，则点在圆外；结合的半径为，点到圆心的距离为即可得到答案，熟记点与圆的位置关系的判定方法是解决问题的关键．
【详解】解：的半径为，且点到圆心的距离为，
点与的位置关系是“点在上”，
故选：B．
4. 把二次函数 的图象向下平移5个单位长度后所得的图象的函数解析式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象与几何变换，根据“上加下减，左加右减”的规律进行解答即可，熟知函数图象平移的规律是解题的关键．
【详解】解：∵二次函数 的图象向下平移5个单位长度后，
∴所得的图象的函数解析式是，
故选：D．
5. 如图，⊙O是△ABC内切圆，则点O是△ABC的（ ）
A. 三条边的垂直平分线的交点B. 三条角平分线的交点
C. 三条中线的交点D. 三条高的交点
【答案】B
【解析】
【分析】根据三角形的内切圆得出点到三边的距离相等，即可得出结论．
【详解】解：是的内切圆，
则点到三边的距离相等，
点是的三条角平分线的交点；
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心，解题的关键是熟练掌握三角形的内切圆的圆心性质．
6. 某商店今年1月份的销售额为2万元，3月份的销售额为2.42万元，设这两个月销售额的月平均增长率为，则可列方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查由实际问题列方程，是平均增长率问题，设这两个月销售额的月平均增长率为，由1月份的销售额为2万元，则得到2月份的销售额为万元，3月份的销售额为万元，再由3月份的销售额为2.42万元，即可得到，化简即可得到答案，读懂题意，掌握平均增长率问题是解决问题的关键．
【详解】解：设这两个月销售额的月平均增长率为，
1月份的销售额为2万元，则2月份的销售额为万元，3月份的销售额为万元，
3月份的销售额为2.42万元，
，即，
故选：D．
7. 将一个关于的一元二次方程配方为，若是该方程的两个根，则的值是（ ）
A. B. 3C. D. 5
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查解一元二次方程，根据题意，直接开平方得到关于的一元二次方程配方为的根为，从而确定，即可得到答案，熟练掌握一元二次方程的解法是解决问题的关键．
【详解】解：将一个关于的一元二次方程配方为，则解得，
即，
是该方程的两个根，
，即，
故选：D．
8. 用反证法证明“在三角形中，至少有一个内角大于或等于60°”时，应先假设（ ）
A. 在三角形中，三个内角都大于60°
B. 在三角形中，三个内角都小于60°
C. 在三角形中，至少有一个内角大于60°
D. 在三角形中，至少有一个内角小于60°
【答案】B
【解析】
【分析】假设命题的结论不成立，假定命题的结论反面成立即可．
【详解】解：用反证法证明“在三角形中，至少有一个内角大于或等于60°”时，应先假设在三角形中，没有一个内角大于或等于60°，即每个内角都小于60°．
故选：B．
【点睛】本题考查了反证法：掌握反证法的一般步骤（假设命题的结论不成立；从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确）．
9. 如图，在的正方形网格中，绕某点旋转一定的角度，得到，则其旋转中心可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了旋转图形的性质，根据旋转图形的性质，可知旋转中心再对应顶点连线的垂直平分线上，则连接，，，分别作出，，的垂直平分线，垂直平分线的交点即为所求，熟练掌握旋转图形的性质是解此题的关键．
【详解】解：如图，连接，，，分别作出，，的垂直平分线，
，
三条垂直平分线交于点N，
旋转中心是点N，
故选：B．
10. 二次函数的图象经过Ax1,y1，，，四点，且，，则的大小关系是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】A
【解析】
【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是正确分情况讨论．
首先求出对称轴为直线，然后根据题意分和两种情况讨论，然后根据二次函数性质求解即可．
【详解】∵二次函数的图象经过，，
∴对称轴为直线
①当时，抛物线开口向上
∴当时，y随x的增大而增大
∵，
∴
∴，
∵
∴
∴Ax1,y1离对称轴的距离比近
∴
∴，故A正确，B错误；
②当时，抛物线开口向下
∴当时，y随x的增大而减小
∵，
∴
∴，
∵
∴
∴Ax1,y1离对称轴的距离比近
∴
∴，故C，D均错误．
故选：A．
二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分，请在答题卡的相应位置作答）
11. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是 ___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据关于原点对称的两个点横纵坐标都互为相反数进行求解即可．
【详解】解：在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了求关于原点对称的点的坐标，熟知关于原点对称的点的坐标特点是解题的关键．
12. 如图，在中，点、、在圆上，，则的度数是______．
【答案】##48度
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理，解答本题的关键是熟练掌握运用圆周角定理．
根据圆周角定理求解即可．
【详解】解：∵，
∴．
故答案为：．
13. 已知为方程的根，那么的值是______．
【答案】2025
【解析】
【分析】本题考查的是一元二次方程的解的定义．先把代入方程，得到，再整体代入代数式，即可求出答案．
【详解】解：把代入方程，得到，
所以，
所以．
故答案为：2025．
14. 如图，二次函数和一次函数交点的横坐标分别为和1，观察图象，当时，的取值范围是______．
【答案】或
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数与一次函数的图象综合，解题的关键是熟练掌握二次函数与一次函数的图象；因此此题直接根据图象即可求解．
【详解】解：∵二次函数和一次函数交点的横坐标分别为和1，
∴由图象可得：当时，则x的取值范围是或．
故答案为：或．
15. 在中考体育训练期间，小宇对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系式为，由此可知小宇此次实心球训练的成绩为________．
【答案】8米
【解析】
【分析】令求解即可．
【详解】解：当时，，
解得，（舍去）．
故答案为：8米．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．
16. 如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转得到，连接，则的长度是______．
【答案】4
【解析】
【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理的运用，掌握旋转的性质对应边相等，等边三角形的性质，勾股定理求线段长是解题的关键．
如图所示，连接，延长交于点，则，根据旋转的性质可得是等边三角形，则有，AD是中线，是角平分线，在中，设，则，则，在中，由勾股定理可得，，在中，由勾股定理即可求解．
【详解】解：如图所示，连接，延长交于点，则，
根据旋转可得，，
∴是等边三角形，，
∴，AD是中线，是角平分线，
在中，，
设，则，
∴，
∴，
在中，，
∴，即，
解得，，（不符合题意，舍去），
∴，
∴，
∵，
∴在中，，
故答案为：4 ．
三、解答题（本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 解方程：．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查解一元二次方程，熟练掌握配方法是解本题的关键．
方程利用配方法求出解即可
【详解】解：方程整理得：，
配方得：，即，
开方得：，
解得．
18. 如图，为圆的直径，弦，垂足为点，连接，若，，求的长．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理等知识点，熟练掌握垂径定理及勾股定理是解题的关键．
设的半径是r，由垂径定理可得，然后根据勾股定理可得，即，解方程即可求出的长．
【详解】解：设的半径是r，
∵弦，
∴，
∵，
∴，
根据勾股定理可得：，
∴，
解得：，
∴．
19. 已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，求证：是非负数．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查根的判别式，根据方程有两个相等的实数根，得到，进而得到，代入，得到，即可得证．
【详解】证明：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，
∴，
∴，
∴是非负数．
20. 如图，抛物线交轴于，两点，与轴交于点，连接，若点为直线上方抛物线上一点，且点的横坐标为，连接，，求面积．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质．根据抛物线交轴于，两点，解一元二次方程求出点，的坐标，根据点的横坐标为，求出点的纵坐标为，根据点的横坐标为，可以求出点的纵坐标为，因为点、的纵坐标都为，可知轴，可知，过点作交的延长线于点，则的长度就等于点的纵坐标的绝对值，根据三角形的面积公式可求面积．
【详解】解：抛物线与轴交于，两点，
当时，可得，
解得，，
，B4,0，
当时，可得：，
点坐标为：0,4，
点的横坐标为，
当时，可得：，
点坐标为：，
点，点的纵坐标都为，
轴，
，
如下图所示，
过点作交的延长线于点，
则，
．
21. 如图，在中，．
（1）尺规作图：将绕点按顺时针方向旋转得到，连接；
（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，过点作于点，若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）1
【解析】
【分析】（1）根据题意作图即可得到答案；
（2）根据旋转的性质得到，，然后证明出，得到，再根据勾股定理求出，即可得到答案．
【小问1详解】
如图为所求作的图形；
【小问2详解】
如图所示，过点作于点，
将绕点按顺时针方向旋转得到，
，．
，
，
，
，
．
，
在中，，
，
．
【点睛】本题考查尺规作图，旋转的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理等，熟练掌握尺规作图、勾股定理是解决问题的关键．
22. 根据以下素材，完成探索任务．
【答案】任务1：50米；任务2：当时可使得花圃种植的预期利润最大，此时最大利润为408000元
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程及二次函数解实际应用题，涉及一元一次不等式组、一元二次方程及二次函数图象与性质等知识，读懂题意，准确求出方程及函数是解决问题的关键．
任务1：先由，墙的最大可用长度为，列不等式组解得，再由围成长方形花圃面积为，得到，解方程即可得到答案；
任务2：设花圃种植的预期利润为，由题意得到，根据二次函数图象与性质求解即可得到答案．
【详解】解：任务1：由题知，
墙的最大可用长度为，
，解得，
由题意，可列方程得，
解得，（舍去），
答：的长是50米；
任务2：设花圃种植的预期利润为，
，
，二次函数图象开口向下，
当时可使得花圃种植的预期利润最大，此时最大利润为408000元．
23. 抛物线交轴于点，与轴交于点，且点的横坐标为．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若点是坐标原点，点是抛物线上的点，．求点的坐标．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由待定系数法求解，将点A0,3、代入得解方程组求解即可得到答案；
（2）延长交轴于点，如图所示，在中，由勾股定理列方程求解得到点坐标为，利用待定系数法确定直线的解析式，联立解方程即可得到点的坐标．
小问1详解】
解：将点A0,3、代入得
，解得，
抛物线的解析式是；
【小问2详解】
解：延长交轴于点，如图所示：
，，
，
．
设，则，
在中，由勾股定理可得，
解得，
点坐标为，
设直线的解析式为，
将点A0,3、代入得，解得．
直线的解析式为，
联立，消去得，
解得，．
将代入，得，
点．
【点睛】本题考查二次函数综合，涉及待定系数法确定二次函数表达式、邻补角定义、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、待定系数法确定一次函数表达式、求直线与抛物线交点坐标、解方程等知识，熟练掌握二次函数图象与性质是解决问题的关键．
24. 如图，将绕点顺时针旋转得到，连接，射线交于点．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）若，求的最大值．
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析 （3）16
【解析】
【分析】（1）由旋转性质得到，，从而确定，进而结合邻补角定义，等量代换确定，再结合四边形内角和确定，即可得证；
（2）延长至使，连接，如图所示，由旋转性质得到，，进而由三角形全等判定得到，结合全等性质判定是等腰直角三角形，由等腰直角三角形性质及勾股定理即可得证；
（3）过点作于点，取的中点，连接，如图所示，由等腰直角三角形性质得到，再结合直角三角形斜边中线等于斜边一半确定，在中，由，可得的最大值为，再由可知，当时，有最大值为．
【小问1详解】
证明：绕点顺时针旋转得到，
，，
．
，
．
在四边形中，，
，
；
【小问2详解】
证明：延长至使，连接，如图所示：
绕点顺时针旋转得到，
，，
由（1）得，
，
，
，，
，
是等腰直角三角形，
，
，
；
【小问3详解】
解：过点作于点，取的中点，连接，如图所示：
是等腰直角三角形，，
，
是的中线，
．
在中，，即，则的最大值为．
由可知，当时，的最大值为．
【点睛】本题考查几何综合，综合性强，难度很大，涉及旋转性质、全等三角形的性质、邻补角定义、四边形内角和为、等腰直角三角形性质、勾股定理、直角三角形性质、三角面积等知识，灵活运用几何性质，根据问题准确作出辅助线求证是解决问题的关键．
25. 如图，在中，以为直径的作，分别交于点，且，连接，过点作，．

（1）求证：为的切线；
（2）求证：；
（3）若，，求的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）由圆中弦、弧、圆周角之间的关系，结合题意得到，再由直径所对的圆周角是直角，利用直角三角形两锐角互余，等量代换即可得到，从而确定为的切线；
（2）连接，如图所示，由直径所对的圆周角是直角，得到，再由两个三角形全等的判定与性质得到，，，进而根据平行性质及全等三角形的判定得到，从而得到；
（3）设，，在中、在中、在中由勾股定理列出相应方程，解方程组及方程即可得到答案．
【小问1详解】
证明：，
，
，
，
，
为的直径，
，
，
，
且为的半径，
为的切线；
【小问2详解】
证明：连接，如图所示：
为的直径，
，
，
由（1）知，
又，，
，
，，，
，
，，
，
又，
，
；
【小问3详解】
解：设，，
，，
在中，由勾股定理可得，即，
在中，由勾股定理可得，即，
①，
在中，由勾股定理可得，即②，
由①②消去得到，解得，（舍去），
．
【点睛】本题考查圆综合，涉及圆中弦、弧、圆周角之间的关系、圆周角定理、直角三角形性质、切线的判定、平行线性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理、解方程（组）等知识，熟练掌握相关几何知识灵活运用是解决问题的关键．
探索花圃规划和种植预期利润问题
素材1
某花农有一块长方形花圃，有长240米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为），围成中间隔有一道篱笆的花圃（右图是花圃的平面图），设花圃的宽为，面积为．
素材2
该花农发现种植玫瑰花前景比较不错，长方形花圃种植红玫瑰，长方形花圃种植黄玫瑰，其中黄玫瑰的种植面积是红玫瑰种植面积的2倍，每平方米红玫瑰平均利润75元，每平方米黄玫瑰平均利润90元．
问题解决
任务1
解决花圃面积问题．
（1）如果要围成长方形花圃面积为的花圃，的长是多少米？
任务2
解决花圃种植的预期利润问题．
（2）如何围成花圃，可使得花圃种植的预期利润最大？请求出利润的最大值．