福建省龙岩市长汀县上学期期中九年级数学试卷 （解析版）-A4

这是一份福建省龙岩市长汀县上学期期中九年级数学试卷 （解析版）-A4，共23页。试卷主要包含了选择题，填空，解答题等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：120分钟；满分150分）
一、选择题（每小题4分，共40分）
1. 下列2024年巴黎奥运会项目标志中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】解：A、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；
B、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；
C、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；
D、该图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意．
故选：D．
2. 二次函数的图象的顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查二次函数的性质，懂得从二次函数顶点式中解出顶点坐标是解题的关键．根据题目中函数的解析式即可直接得出此二次函数的顶点坐标．
【详解】解：二次函数的图象的顶点坐标为，
故选：．
3. 方程的根是（ ）
A. B.
C. ，D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】利用因式分解法解一元二次方程即可．
【详解】解：
，
，
解得：；
故选D．
【点睛】本题考查解一元二次方程．熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
4. 用配方法解方程时，原方程应变形为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程——配方法，熟练掌握配方法解一元二次方程是解题的关键．
利用解一元二次方程——配方法进行计算即可得出答案．
【详解】解：，
，
，
，
故选：．
5. 如图，教室内地面有个倾斜的畚箕，箕面与水平地面的夹角为，小明将它扶起（将畚箕绕点顺时针旋转）后平放在地面，箕面绕点旋转的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了旋转的性质、平角的定义，根据旋转的性质和平角的定义计算即可得出答案，采用数形结合的思想是解此题的关键．
【详解】解：箕面与水平地面的夹角为，
，即箕面绕点旋转度数为，
故选：A．
6. 函数的图象大致是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了二次函数与一次函数图象，根据二次函数的以及一次函数的解析式分析判断，即可求解．
【详解】解：∵
∴当时，函数图象为直线，且，当时，为对称轴为直线的抛物线，
当时，，代入二次函数解析式的，
∴两段函数图象是连续的，
故选：A．
7. 如图，中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点分别为，延长交于点，下列结论一定正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了旋转性质以及两个锐角互余的三角形是直角三角形，平行线的判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据旋转性质得，结合，即可得证，再根据同旁内角互补证明两直线平行，来分析不一定成立；根据图形性质以及角的运算或线段的运算得出A和C选项是错误的．
【详解】解：记与相交于一点H，如图所示：
∵中，将绕点顺时针旋转得到，
∴
∵
∴在中，
∴
故D选项是正确的，符合题意；
设
∴
∵
∴
∴
∵不一定等于
∴不一定等于
∴不一定成立，
故B选项不正确，不符合题意；
∵不一定等于
∴不一定成立，
故A选项不正确，不符合题意；
∵将绕点顺时针旋转得到，
∴
∴
故C选项不正确，不符合题意；
故选：D
8. 二次函数部分图象如图所示，其对称轴为直线，且与x轴的一个交点坐标为．下列结论：；；；关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是（ ）

A. 个B. 个C. 个D. 个
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，由抛物线的开口方向判断与的关系，由抛物线与y轴的交点判断与的关系，然后根据抛物线对称性进行推理，进而对所得结论进行判断，熟练掌握二次函数的图象及性质，能从图象中获取信息是解题的关键．
【详解】解：由题意，由图象可得，a>0，，
∵对称轴为直线，
∴，
∴，
∴，故错误，正确；
又由图象知，当x=-1时，，
∴，故错误；
∵二次函数y=ax2+bx+c与轴有两个不同的交点，
∴关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，故正确，
综上，正确的有：．
故选：．
9. 《九章算术》中有这样一道题：“今有二人同所立．甲行率六，乙行率四．乙东行，甲南行十步而邪东北与乙会．问：甲、乙行各几何？”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为6，乙的速度为4．乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲走了多少步（ ）
A. 24B. 30C. 32D. 36
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的应用，表示正东方向，表示正南方向，则，设甲、乙的时间都是x，则，，再由勾股定理计算即可得出答案．
【详解】解：如图，表示正东方向，表示正南方向，
∴
设甲、乙的时间都是x，则，，
又∵．
∴
由勾股定理得：，
∴
∴，
∴（舍去），
∴甲走的路程为（步），
故选：D．
10. 在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线与轴交于点，与轴正半轴交于点，连接，将向右上方平移，得到，且点，落在抛物线的对称轴上，点落在抛物线上，则直线的表达式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求出A、B两点的坐标和对称轴，先确定三角形向右平移了1个单位长度，求得的坐标，再确定三角形向上平移5个单位，求得点的坐标，用待定系数法即可求解．
详解】解：当时，，解得，
当时，，
∴，
对称轴为直线，
经过平移，落在抛物线的对称轴上，点落在抛物线上，
∴向右平移1个单位，即的横坐标为，
当时，，
∴，向上平移5个单位，
此时，
∴，
设直线的表达式为，
代入，，
可得
解得：，
故直线的表达式为，
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的图象和与坐标轴的交点坐标、图形的平移和待定系数法求一次函数表达式等知识点，解题的关键是熟练掌握二次函数的图形和性质．
二、填空（本大题共6题，每题4分，共24分）
11. 若是一元二次方程的一个根，则_______．
【答案】1
【解析】
【分析】本题主要考查一元二次方程的根，把代入中，计算求解即可．
【详解】解：∵是一元二次方程的一个根
∴
解得：
故答案为：1．
12. 已知：点与点关于原点成中心对称，则________．
【答案】2024
【解析】
【分析】本题主要考查了关于原点对称点的特点，即横、纵坐标均互为相反数．先根据关于原点对称点的特点求得的值，然后代入计算即可．
【详解】解：点与点关于原点对称，
，，即，，
，
故答案为：2024．
13. 将抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，平移后的抛物线的解析式为 _________________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象的平移，解题的关键是熟练掌握二次函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”．
根据二次函数图象的平移规律即可得．
【详解】解：将抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后，所得的抛物线的解析式为，
即，
故答案为：．
14. 如图，将绕直角顶点逆时针旋转得到，若，则__．
【答案】##度
【解析】
【分析】本题考查了旋转的性质，先根据直角三角形的两个锐角互余可求出，然后再利用旋转的性质可得：，即可解答．
【详解】解：，，
，
由旋转得：，
故答案为：．
15. 若关于的一元二次方程无实数根，则整数的最大值为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根．先根据
【详解】解：∵一元二次方程无实数根，
∴，
∴
∴整数的最大值为．
故答案为：．
16. 若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，如：，，等都是“三倍点”．在的范围内，若二次函数的图象上有且只有一个“三倍点”，则c的取值范围是________．
【答案】或
【解析】
【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数与一次函数的交点问题，熟练掌握相关性质是解题的关键．
由题意得，“三倍点”所在的直线为，根据二次函数的图象上有且只有一个“三倍点”转化为和有且只有一个交点，求，和时两个函数值相等时的c值即可．
【详解】解：由题意得，“三倍点”所在的直线为，
在的范围内，二次函数的图象上有且只有一个“三倍点”，
即在的范围内，二次函数和有且只有一个交点，
令，整理得，，
∴，解得，，
此时，，符合：
当时，，
当时，，
由图看出，当时，函数有两个“三倍点”，
∴，
综上，c的取值范围为：或．
故答案为：或．
三、解答题（本大题共9小题，共86分）
17. 用合适的方法解以下方程．
（1）
（2）
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】（1）先计算判别式，再利用求根公式直接求解即可；
（2）将方程整理后，提公因式，用因式分解法求解．
【小问1详解】
解：
，
∴，
【小问2详解】
解：
或
∴，
【点睛】本题考查公式法和因式分解法解一元二次方程，求根公式为．
18. 关于的方程有两个不等的实数根．
（1）求的取值范围；
（2）化简：．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，分式的混合运算，掌握相应的基础知识是解本题的关键；
（1）根据一元二次方程根的判别式建立不等式解题即可；
（2）根据（1）的结论化简绝对值，再计算分式的乘除混合运算即可．
【小问1详解】
解：∵关于的方程有两个不等的实数根．
∴，
解得：；
【小问2详解】
解：∵，
∴
；
19. 定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，求的值．
【答案】5
【解析】
【分析】①根据凤凰方程的定义可知：是方程的一个根，以及方程有两个相等的实数根，，求出的值，再进行计算即可；②利用凤凰方程的定义、根据系数法的关系求解．
【详解】解：法一：根据题意得：
解得：，
则．
法二：∵是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，
∴的两个根均为1，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查一元二次方程的解和一元二次方程判别式与根的个数的关系．理解凤凰方程的定义，得到是方程的一个根，是解题的关键．本题也可以利用根与系数的关系进行解题．
20. 在直角坐标系中，，．
（1）画出线段关于轴的对称线段AB；
（2）将线段CA绕点顺时针旋转一个角，得到对应的线段CD，使得轴，请画出线段CD；
（3）若直线平分四边形的面积，请求出的值．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换、平行四边形的判定、依据待定系数法求一次函数解析式，解题的关键是利用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”证出四边形为平行四边形，再根据点的坐标利用待定系数法求出值．
（1）作点关于轴的对称点，连接AB即可得；
（2）过点作射线轴，过点以CA长度为半径作弧，交射线AD与点，连接CD即可；
（3）由直线平分四边形的面积，知直线过点，将点的坐标代入直线解析式中即可求出值．
【小问1详解】
解：如图，线段AB即为所求；
【小问2详解】
如图，线段CD即为所求；
【小问3详解】
，，
四边形是平行四边形，
直线平分，
直线过点，
．
21. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，等边经过平移或轴对称或旋转都可以得到．
（1）沿轴向右平移得到，则平移的距离是______个单位长度；与关于直线对称，则对称轴是______；绕原点顺时针旋转得到，则旋转角度可以是______度．
（2）连接，交于点，求的长．
【答案】（1）2；y轴；120
（2）
【解析】
【分析】此题是几何变换综合题，主要考查了图形的基本变换与坐标，等边三角形的性质，解题时需要注意：平移的距离等于对应点连线的长度，对称轴为对应点连线的垂直平分线，旋转角为对应点与旋转中心连线的夹角的大小．
（1）平移的距离为对应点连线的长度，对称轴为对应点连线的垂直平分线，旋转角为对应点与旋转中心连线的夹角的大小，据此判断即可；
（2）连接后可得底角为30°的等腰三角形，进而可得，在中根据勾股定理求得直角边的长．
【小问1详解】
解：∵点的坐标为，
∴，
∵等边，
∴，
∴沿x轴向右平移得到，平移的距离是2个单位长度；
与关于直线对称，根据线段被y轴垂直平分可知，对称轴是y轴；
绕原点顺时针旋转得到，根据可知，旋转角度可以是120°；
故答案为：2；y轴；120；
【小问2详解】
解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
22. 如图，△ADE由△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到，且点B的对应点D恰好落在BC的延长线上，AD，EC相交于点P．
（1）求∠BDE的度数；
（2）F是EC延长线上的点，且∠CDF＝∠DAC．判断DF和PF的数量关系，并证明．
【答案】（1）∠BDE＝90°；（2）DF＝PF，证明见解析
【解析】
【分析】（1）由旋转的性质即可求得结果；
（2）由旋转的性质可得∠ACE=∠ADB=45゜，则易得∠FPD=∠DAC+∠ACE=∠CDF+∠ADB=∠FDP，从而可得DF=PF．
【详解】（1）由旋转的性质可知，AB＝AD，∠BAD＝90°，∠ADE=∠B，
在Rt△ABD中，∠B＝∠ADB＝45°，
∴∠ADE＝∠B＝45°，
∴∠BDE＝∠ADB+∠ADE＝90°．
（2）DF＝PF．理由如下：
由旋转的性质可知，AC＝AE，∠CAE＝90°，
在Rt△ACE中，∠ACE＝∠AEC＝45°，
∵∠CDF＝∠CAD，∠ACE＝∠ADB＝45°，
∴∠ADB+∠CDF＝∠ACE+∠CAD，
即∠FPD＝∠FDP，
∴DF＝PF．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识，关键是掌握旋转的性质．
23. 根据下列要求，解答相关问题．
（1）请补全以下求不等式的解集的过程．
①构造函数，画出图象：根据不等式特征构造二次函数；并在下面的坐标系中（见图1）画出二次函数的图象（只画出图象即可）．
②借助图象，写出解集：由所标示图象，可得不等式的解集为______．
（2）利用（1）中求不等式解集的步骤，求不等式的解集．
①构造函数，画出图象；②求得界点，标示所需；③借助图像，写出解集．
【答案】（1）①图见解析；②
（2）①图见解析；②，；③
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质；
（1）画出的图象，根据图象求出解集即可；
（2）把整理成，画出的图象，再根据图象求解即可．
【小问1详解】
①二次函数的图象如图：
②由所标示图象，可得不等式的解集为
故答案为：；
【小问2详解】
解：①
的图象如图：
②根据图象得：，；
③根据图象，的解集为：．
24. 请根据以下素材，完成探究任务．
【答案】任务1：；任务2：；任务3：安排19名工人加工“雅”服装，17名工人加工“风”服装，34名工人加工“正”服装，即可获得最大利润
【解析】
【分析】题目主要考查一次函数及二次函数的应用，理解题意，根据二次函数的性质求解是解题关键．
任务1：根据题意安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装，得出加工“正”服装的有人，然后利用“正”服装总件数和“风”服装相等，得出关系式即可得出结果；
任务2：根据题意得：“雅”服装每天获利为：，然后将2种服装的获利求和即可得出结果；
任务3：根据任务2结果化为顶点式，然后结合题意，求解即可．
【详解】解：任务1：根据题意安排70名工人加工一批夏季服装，
∵安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装，
∴加工“正”服装的有人，
∵“正”服装总件数和“风”服装相等，
∴，
整理得：；
任务2：根据题意得：“雅”服装每天获利：，
∴，
整理得：
∴
任务3：由任务2得，
∴当时，获得最大利润，
，
∴，
∵开口向下，
∴取或，
当时，，不符合题意；
当时，，符合题意；
∴，
综上：安排19名工人加工“雅”服装，17名工人加工“风”服装，34名工人加工“正”服装，即可获得最大利润．
25. 如图，已知抛物线经过原点O和x轴上另一点A，它的对称轴与x轴交于点C，直线经过抛物线上一点，且与y轴．直线分别交于点D、E．
（1）求m的值及该抛物线对应的函数关系式；
（2）①判断的形状，并说明理由；②判断与的位置关系；
（3）若是该抛物线上的一个动点，是否存在这样的点P，使得？若存在，试求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1），
（2）①为等腰三角形，理由见解析；②
（3）存在，符合条件的点P的坐标为或
【解析】
【分析】（1）根据抛物线的对称轴为，且过、两点，因此点的坐标为．可用交点式二次函数通式来设抛物线的解析式，然后根据直线求出点的坐标，将点的坐标代入抛物线中即可求出二次函数的解析式．
（2）①可根据抛物线的解析式求出，点的坐标，进而可求出三边的长，可据此来进行判断的形状．
②应该是，可过、作轴的垂线通过证三角形全等来得出是中点，然后根据等腰三角形三线合一的特点来得出的结论．
（3）由题意可知：点必为线段垂直平分线与抛物线的交点，可先求出线段的垂直平分线，然后联立抛物线的解析式，即可求出符合条件的点的坐标．
【小问1详解】
解：∵点在直线上，
∴，
∴
∵抛物线经过原点和点，对称轴为，
∴点A的坐标为
设所求的抛物线对应函数关系式为，将点代入上式，
得，
∴，
∴所求的抛物线对应的函数关系式为，
即．
小问2详解】
①为等腰三角形
∵直线与y轴、直线的交点坐标分别为，、过点B作轴，与y轴交于F、直线交于G，
∴直线，、
在中，．
∵，
∴，
∴为等腰三角形．
②
过点E作轴，交y轴于H，则点H的坐标为，
又∵点F、D的坐标为、，
∴，，
∴（SAS），
∴，即D是的中点，
∴
【小问3详解】
存在
∵，
∴点P在直线上，
∴符合条件的点P是直线与该抛物线的交点
设直线对应的函数关系式为，将，代入，
得．
解得，
∴直线对应的函数关系式为，
∵动点P的坐标为，
∴
解得，，
∴，．
∴符合条件的点P的坐标为或．
x
0
1
y
0
2
0
x
0
1
2
3
y
0
0
制定加工方案
生产背景
背景1
◆某民族服装厂安排70名工人加工一批夏季服装，有“风”“雅”“正”三种样式．
◆因工艺需要，每位工人每天可加工且只能加工“风”服装2件，或“雅”服装1件，或“正”服装1件．
◆要求全厂每天加工“雅”服装至少10件，“正”服装总件数和“风”服装相等.
背景2
每天加工的服装都能销售出去，扣除各种成本，服装厂的获利情况为：
①“风”服装：24元/件；
②“正”服装：48元/件；
③“雅”服装：当每天加工10件时，每件获利100元；如果每天多加工1件，那么平均每件获利将减少2元．
信息整理
现安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装，列表如下：
服装种类
加工人数（人）
每人每天加工量（件）
平均每件获利（元）
风
y
2
24
雅
x
1
正
1
48
探究任务
任务1
探寻变量关系
求x、y之间的数量关系．
任务2
建立数学模型
设该工厂每天的总利润为w元，求w关于x的函数表达式．
任务3
拟定加工方案
制定使每天总利润最大的加工方案．