福建省三明市宁化县九年级上学期期中考试数学试题（解析版）-A4

这是一份福建省三明市宁化县九年级上学期期中考试数学试题（解析版）-A4，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共10小题，共40分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 用求根公式解一元二次方程时，a，b，c的值是（ ）
A. ，，B. ，，
C. ，，D. ，，
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查一元二次方程的一般形式，认知一次项系数二次项系数常数项是解题的关键．按照未知数的降幂排列，据此可得答案．
【详解】解：，则，，，
故选：C
2. 如图，已知，那么添加一个条件后，仍不能判定与相似的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据相似三角形判定方法依次判断即可．本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握判定方法是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
A.若添加，则根据“两角对应相等，两三角形相似”可得，故A选项正确，不符合题意；
B. 若添加，则根据“两角对应相等，两三角形相似”可得，故B选项正确，不符合题意；
C. 若添加，则不能得出，故C选项错误，符合题意；
D. 若添加，则根据“两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似” 可得，故D选项正确，不符合题意；
故选：C
3. 如图，在菱形中，，菱形的面积为，则其边长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了菱形面积的计算公式，勾股定理；根据菱形的面积和可以计算的长，在中，已知、根据勾股定理即可求得的值，即可解题．
【详解】解：菱形的面积，，，
，
，，
在中，
，
菱形的边长为，
故选：A．
4. 下列一元二次方程中，两个实数根之和等于的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系；先通过计算判别式分别确定四个方程有没有实数根，若，则利用根与系数的关系：进行计算，即可判断出正确的选项．
【详解】A．，则此方程没有实数根，故该选项不符合题意；
B．，则，故该选项符合题意；
C．，，故该选项不符合题意；
D．，，故该选项不符合题意；
故选：B．
5. 如图，在菱形中，对角线，相交于点O，E是的中点，若菱形的周长为24，则的长为（ ）
A. 12B. 6C. 4D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．
根据菱形的性质求出的长，，再根据直角三角形斜边上的中线的性质求解的长即可．
【详解】解：在菱形中，，，
菱形的周长为24，
，
为的中点，，
，
故选：D．
6. 如图所示，在井口A处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端B观察井水水岸D，视线与井口的直径交于点E，如果测得米，米，米，那么为（ ）
A. 4米B. 3米C. 米D. 米
【答案】B
【解析】
【分析】先证明，则可得，即可求解．
本题主要考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
【详解】解： ，，
，
，
，，，
，
，
(米)．
故选：B
7. 如图，点是正方形的边上一点，把绕点顺时针旋转到的位置．若四边形AECF的面积为20，DE=2，则AE的长为（ ）
A. 4B. C. 6D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用旋转的性质得出四边形 AECF的面积等于正方形 ABCD的面积，进而可求
出正方形的边长，再利用勾股定理得出答案．
【详解】绕点顺时针旋转到的位置．
四边形的面积等于正方形的面积等于20，
，
，
中，
故选．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质以及正方形的性质，正确利用旋转的性质得出对应
边关系是解题关键．
8. 如图，在中，D，E，F分别是边，，上的点，，，且，那么的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，由平行线分线段成比例性质得到，整理得，结合题意解题即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选C．
【点睛】本题考查平行线分线段成比例，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
9. 如图，在矩形ABCD中，，，点P从点A出发，按A→B→C方向在边AB和BC上移动．记，点D到直线PA的距离为y，则y的最小值是（ ）
A. 6B. C. 5D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】①点P在AB上时，点D到AP的距离为AD的长度，②点P在BC上时，根据同角的余角相等求出∠APB=∠PAD，再利用相似三角形的列出比例式整理得到y与x的关系式，根据反比例函数的性质求解即可．
【详解】解：①当点P在AB上运动时，D到PA的距离，
∴当时，，
②当P在BC上运动时，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠BAD=90°，
∴∠APB+∠BAP=90°，∠PAD+∠BAP=90°，
∴∠APB=∠PAD，
又∵∠B=∠DEA=90°，
∴△ABP∽△DEA，
∴，即：，
∴当时，，
∴，
即当时，函数图象为平行于x轴的线段，且；
当时，函数图象为反比例函数，
时，y的最小值是，
故选：B．
【点睛】本题考查动点问题函数，涉及矩形的性质、相似三角形的判定与性质、反比例函数的性质等知识，解题关键是利用相似三角形的判定与性质，难点在于根据点P的位置分情况讨论．
10. 为了有效保护环境，某居委会倡议居民将生活垃圾进行可回收的、不可回收的和有害的分类投放，一天，小林把垃圾分装在三个袋中，则他任意投放垃圾，把三个袋子都放错位的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】可回收的、不可回收的和有害的垃圾分别用A、B、C表示，可回收的、不可回收的和有害的分类的投放点分别用a、b、c表示，通过列表列出所有可能的情况，再找出三个袋子都放错位的情况，然后根据概率公式求解即可．
【详解】解：可回收的、不可回收的和有害的垃圾分别用A、B、C表示，可回收的、不可回收的和有害的分类的投放点分别用a、b、c表示，
列表得：
共有6种情况，三个袋子都放错位的情况有2种，
所以三个袋子都放错位的概率为： ，
故选C．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法列出所有可能的结果，再从中选出符合事件求出概率，熟练掌握概率公式是解题关键．
二、填空题（本大题共6小题，共24分）
11. 已知：，则________．
【答案】
【解析】
【分析】设，代入计算即可．
【详解】解：∵，设，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查分式求值．熟练掌握设参法，是解题的关键．
12. 如图，在中，D，E分别为边，上的点，试添加一个条件：____________，使得与相似．
【答案】或或
【解析】
【分析】本题的主要考查点是三角形相似的判定．和中，是公共角，再找一组对应角相等，或者夹的两边对应成比例都可得到两三角形相似．熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
【详解】解：，
∴当或或时，．
故答案为：或或．
13. 若且，△ABC周长是15，则△A'B'C'的周长是______．
【答案】20
【解析】
【分析】根据相似三角形周长的比等于相似比求解．
【详解】解：∵△ABC∽△A′B′C′，且，即相似三角形的相似比为，
∵△ABC的周长为15cm，
∴△A′B′C′的周长为15÷=20(cm)．
故答案为：20．
【点睛】此题考查了相似三角形的性质，解题关键在于掌握相似三角形周长的比等于相似比．
14. 已知a是方程的一个根，则代数式的值是________．
【答案】6
【解析】
【分析】根据题意“a是方程的一个根”，则可把代入原方程，得到关于a的一个一元二次方程，通过移项得到“”，将当作一个整体，代入原代数式，即可得到答案．
【详解】解：是方程的一个根，
，
，
，
故答案为：6．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，将当作一个整体，代入原代数式是解题的关键．
15. 县林业部门考察银杏树苗在一定条件下移植的成活率，所统计的银杏树苗移植成活的相关数据如下表所示：
根据表中的信息，估计银杏树苗在一定条件下移植成活的概率为______．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即为概率．利用表格中数据估算这种树苗移植成活率的概率即可得出答案．
【详解】解：由表格数据可得，随着样本数量不断增加，这种树苗移植成活的频率稳定在，
∴银杏树苗在一定条件下移植成活的概率为，
故答案为：．
16. 已知：如图，在正方形内取一点P，连接、、，将绕点A顺时针旋转90°得，连．若，，．下列结论：①；②点B到直线的距离为；③；④．其中正确结论的序号是________．
【答案】①②④
【解析】
【分析】①根据旋转的性质可得△AEP是等腰直角三角形，则∠AED=45°，所以∠BEP=135°-45°=90°，可作判断；
②作垂线段BF，根据等腰直角△BEF的性质可得BF的长；
③连接BD，求出△ABD的面积，然后减去△BDP的面积即可；
④根据勾股定理可得AB2，从而得正方形的面积．
【详解】解：①∵将△PDA绕点A顺时针旋转90°得△EBA，
∴∠EAP=90°，AE=AP，∠APD=∠AEB，
∴△AEP是等腰直角三角形，
∴∠AED=45°，
∴∠BEP=∠AEB-∠AED=∠APD-∠AED=135°-45°=90°，
∴EB⊥EP；
故①正确；
②过B作BF⊥AE，交AE的延长线于F，
∵AE=AP=2，∠EAP=90°，
∴∠AEP=∠APE=45°，
又∵EB⊥ED，BF⊥AF，
∴∠FEB=∠FBE=45°，
又∵BE=PD=2
∴，即点B到直线AE的距离为；
故②正确；
④如图，连接BD，在Rt△AEP中，
∵AE=AP=2，
∴EP=2，
Rt△ABM中，，
∴S正方形ABCD=AB2=16+4，
故④正确；
③S△ABP+S△ADP=S△ABD-S△BDP=S正方形ABCD-×DP×BE=（16+4）-×2×2=2+2．
故③不正确．
所以本题正确的结论有：①②④；
故答案为：①②④．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质的运用、正方形的性质的运用、正方形和三角形的面积公式的运用、勾股定理的运用等知识，熟记性质并仔细分析图形，理清图中三角形与角的关系是解题的关键．
三、解答题（本大题共9小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 解方程：
（1）
（2）
【答案】（1）或
（2）或
【解析】
【分析】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握“直接开方法和十字相乘法”是解题的关键．
（1）利用直角开方法求解即可；
（2）利用十字相乘因式分解，进而即可求解．
【小问1详解】
解：方程左右两边同时除以4得：
，
方程左右两边同时开方得：
，
或；
【小问2详解】
方程因式分解得：
或
解得∶或．
18. 已知：如图，在矩形中，点E，F在上，且．求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定．利用证明即可．
【详解】证明：∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
在和中，
∵，
∴．
19. 学习了相似三角形相关知识后，小明和同学们想利用“标杆”测量大楼的高度．如图，小明站立在地面点F处，他的同学在点处竖立“标杆”，使得小明的头顶、标杆顶端、大楼顶端在一条直线上（点、、也在一条直线上）．已知小明的身高米，“标杆”米，米，米，，，均垂直于地面．求大楼的高度．（提示：如图中，过点作于点，交于点．则四边形）
【答案】大楼的高度为米．
【解析】
【分析】本题考查相似三角形的应用，过点作于点，交于点．则四边形，四边形都是矩形．利用相似三角形的性质求出，可得结论．
【详解】解：如图，过点作于点，交于点．则四边形，四边形都是矩形．
米，米，米，
米．
（米），
，
，
，
，
（米），
（米）．
答：大楼的高度为米．
20. 已知：三个顶点的坐标分别为A，B，C．
（1）画出关于x轴对称的；
（2）以点O为位似中心，将放大为原来的2倍，得到，请在如图网格中画出．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）分别作出点A、B、C关于x轴的对称点，再收尾顺次连接即可得；
（2）根据位似变换的概念作出三个顶点在第一象限的对应点，再首尾顺次连接即可得．
【小问1详解】
解：如图所示，即为所求．
【小问2详解】
解：如图所示，即为所求．
【点睛】本题主要考查作图-位似变换、轴对称变换，解题关键是掌握位似变换和轴对称变换的概念与性质，并据此得出变换后的对应点．
21. 超市销售某种商品，平均每天可售出件，每件盈利元，为了扩大销售，增加盈利该店采取了降价措施，在让顾客得到更大实惠的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低元，平均每天可多售出件．
（1）若降价元，则平均每天销售数量为多少件；
（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？
【答案】（1）平均每天销售数量为件．
（2）当每件商品降价元时，该商店每天销售利润为元．
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）利用平均每天的销售量每件商品降低的价格，即可求出结论；
（2）设每件商品降价元，则每件盈利元，平均每天可售出元，利用总利润=每件盈利平均每天的销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合在让顾客得到更大实惠的前提下，即可得出每件商品应降价元．
【小问1详解】
解∶根据题意得∶(件)，
答∶平均每天销售数量为件．
【小问2详解】
解：设每件商品降价元，则每件盈利元，平均每天可售出元，依题意得∶
，
整理得∶，
即
解得∶，，
要让顾客得到更大实惠，
．
答∶当每件商品降价元时，该商店每天销售利润为元．
22. 如图，电路图上有四个开关，，，和一个小灯泡，闭合开关或同时闭合开关，，都可使小灯泡发光．
（1）求任意闭合其中一个开关小灯泡发光的概率．
（2）求任意闭合其中两个开关小灯泡发光的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查概率的计算，列表法或画树状图法求随机事件的概率，
（1）根据图示，单独闭合时小灯不亮，单独闭合时小灯不亮，单独闭合时小灯不亮，单独闭合时小灯亮，根据概率公式计算即可求解；
（2）运用列表法或画树状图法把所有等可能结果表示出来，再根据概率的计算方法即可求解
【小问1详解】
解：共有四个开关，，，，
当闭合一个开关时，单独闭合时小灯不亮，单独闭合时小灯不亮，单独闭合时小灯不亮，单独闭合时小灯亮，
∴任意闭合其中一个开关小灯泡发光的概率是；
【小问2详解】
解：闭合其中两个开关时，出现等可能得结果如图所示，
共有中等可能结果，其中小灯泡发光的是共种，
∴任意闭合其中两个开关小灯泡发光的概率是．
23. 如图，已知，A，B为射线上两点．
（1）求作菱形，使得点C在射线上；（要求；尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，连接，，，，求的长．
【答案】（1）见解析；
（2）．
【解析】
【分析】本题考查了尺规作图-菱形，勾股定理，勾股定理的逆定理，解题关键是掌握基本尺规作图法，及利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形．
（1）取为半径，为圆心，画弧与的交点即为点，再分别以点，点为圆心，为半径，在上方画弧，两弧的交点即为点，依次连接，，，即可；
（2）根据菱形的性质求得，的值，再计算得，根据勾股定理的逆定理，可证明是直角三角形，，最后根据勾股定理得，计算即可得出答案．
【小问1详解】
解：如图，菱形为所求作的图形．
【小问2详解】
解：，，四边形菱形，
，
，
，
是直角三角形，且，
在中，．
24. 阅读下列材料：
若设关于x的一元二次方程的两根为，，那么由根与系数关系得：，
∵，
∴．
于是二次三项式可分解为．这种因式分解的方法叫求根法，请你利用这种方法完成下面问题：
（1）请用上面方法分解二次三项式；
（2）如果关于x的二次三项式能用上面方法分解因式，求m的取值范围；
（3）若关于x的方程的两个根为c，d，请直接写出关于x的方程的两个根（用含a，b的代数式表示）．
【答案】（1）
（2）且
（3），
【解析】
【分析】此题考查了分解因式，根的判别式及根与系数的关系，理解题意，掌握求根法是解题的关键．
()令多项式等于，得到一个一元二次方程，利用公式法求出方程的两解，代入 中即可把多项式分解因式；
()因为此二次三项式在实数范围内能利用上面方法分解因式，所以令此二次三项式等于，得到的方程有解，即大于等于，列出关于的不等式，求出不等式的解集即可得到的取值范围；
()根据()的方法求得两根，再用换元法即可得到结论；
【小问1详解】
解：令，
∵，，，
，
∴，
∴，，
∴；
【小问2详解】
解：令 ，
由二次三项式能用上面的方法分解因式，则可得方程有解，
∴，
整理得，，
解得，
又∵且，
∴且；
【小问3详解】
解：∵方程的两根是，
∴，
∴，
∵当时，代入上式，得，
∴是方程的一个根，
同理，也是方程 的一个根，
∴方程的两个根为 或，
在方程中，设，
得，
∴或，
∴或，
解得， ，
∴方程的根是，．
25. 问题背景：如图（1），在矩形中，点，分别是，的中点，连接，，求证：．
问题探究：如图（2），在四边形中，，，点是的中点，点在边上，，与交于点，求证：．
问题拓展：如图（3），在“问题探究”的条件下，连接，，，直接写出的值．

【答案】问题背景：见解析；问题探究：见解析；问题拓展：
【解析】
【分析】问题背景：根据矩形的性质可得，根据点，分别是，的中点，可得，即可得证；
问题探究：取的中点，连接，得是的中位线，根据已知条件可得平行且等于，进而可得是平行四边形，得，则，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半得出，进而可得，等量代换可得，等角对等边，即可得证；
问题拓展：过点作，则四边形是矩形，连接，根据已知以及勾股定理得出；根据（2）的结论结合已知可得，证明垂直平分，进而得出，证明，进而证明， 进而根据相似三角形的性质，即可求解．
【详解】问题背景：∵四边形是矩形，
∴，
∵，分别是，的中点
∴，
即，
∴；
问题探究：如图所示，取的中点，连接，

∵是的中点，是的中点，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴
∴四边形是平行四边形，
∴
∴
又∵，是的中点，
∴
∴
∴，
∴；
问题拓展：如图所示，过点作，则四边形是矩形，连接，

∵，
∴，
设，则，
在中，，
∵，由（2）
∴，
又∵是的中点，
∴垂直平分
∴，，
在中，
∴
设，则
∴，
又∵
∴
∴
又∵
∴
∴．
【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，全等三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
移植的棵数
成活的棵数
成活的频率