福建省南平市光泽县九年级上学期期中考试数学试题（解析版）-A4

这是一份福建省南平市光泽县九年级上学期期中考试数学试题（解析版）-A4，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
温馨提示：所有答案都必须填在答题卡相应的位置上，答在本试卷上一律无效．
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题日要求）
1. 剪纸是中国最古老的民间艺术之一，被列入第一批国家非物质文化遗产名录．以下几幅剪纸作品中是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查中心对称图形，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，由此即可判断．
【详解】解：A、不是中心对称图形，故A不符合题意；
B、是中心对称图形，故符合题意；
C、不是中心对称图形，故C不符合题意；
D、不是中心对称图形，故D不符合题意．
故选：B．
2. 下列运动属于旋转的是（ ）
A. 足球在草地上滚动B. 火箭升空的运动
C. 汽车在急刹车时向前滑行D. 钟表的钟摆动的过程
【答案】D
【解析】
【分析】根据旋转的定义逐项分析即可.
【详解】A.足球在草地上滚动，不是绕着某一个固定的点转动，不属旋转；
B. 火箭升空的运动是平移，不属于旋转；
C. 汽车在急刹车时向前滑行是平移，不属于旋转；
D. 钟表的钟摆的摆动，符合旋转变换的定义，属于旋转；
故选D.
【点睛】本题考查旋转的概念．旋转变换：一个图形围绕一个定点旋转一定的角度，得到另一个图形，这种变换称为旋转变换．要注意旋转的三要素：①定点-旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．
3. 如图，四边形内接于⊙O ，，那么等于（ ）
A. 110°B. 135°C. 55°D. 125°
【答案】D
【解析】
【分析】根据已知条件可知，，根据圆内接四边形的对角互补可知，由此即可解答．
【详解】解：．
∵四边形内接于⊙O
．
，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了圆心角、圆周角、弦的关系以及圆的内接四边形的性质，掌握相关知识点，得到、是关键．
4. 如图，将绕点按逆时针方向旋转后得到，若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查旋转的性质，根据旋转可得，再根据计算即可．
【详解】解：将绕点按逆时针方向旋转后得到，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
5. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程的判别式，牢记知识点是解题关键．因为关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，所以只要满足即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根
∴
即：
解得：
故选：A
6. 如图，为的直径，弦于点，已知，则的半径为（ ）
A. 5B. 4C. 8D. 6
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查的是垂径定理、勾股定理，垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
连接，设的半径为，根据垂径定理求出，根据勾股定理列式计算，得到答案．
【详解】解：连接，设的半径为，则，
由勾股定理得，，
即，
解得，
则的半径为5，
故选A．
7. 与抛物线关于y轴成轴对称关系的抛物线是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，解题关键是利用顶点坐标的变化确定抛物线的变换．根据关于y轴对称的点的横坐标互为相反数、纵坐标相同，求出对称后的抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式解析式写出即可．
【详解】解：抛物线的顶点坐标为，
关于y轴对称抛物线的顶点坐标为，
与抛物线关于y轴成轴对称关系的抛物线是．
故选：C．
8. 若是方程的一个根，则的值为（ ）
A. 2023B. C. 2022D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据方程的根的定义可得：，在代入计算即可求解．
【详解】解：根据方程的根的定义可得：，
即有：，
∴，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根的定义，得出，是解答本题的关键．
9. 在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次函数图象与y轴交点的位置和一次函数的增减性，判断出m的符号，即可确定出正确的选项．
【详解】A．由直线与y轴的交点在y轴的负半轴上可知，＜0，错误；
B．由抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上可知，m＞0，由直线可知，﹣m＞0，错误；
C．由抛物线y轴的交点在y轴的负半轴上可知，m＜0，由直线可知，﹣m＜0，错误；
D．由抛物线y轴交点在y轴的负半轴上可知，m＜0，由直线可知，﹣m＞0，正确，
故选D．
考点：1．二次函数的图象；2．一次函数的图象．
【点睛】本题考查了二次函数的图象、一次函数的图象以及一次函数图象与系数的关系，由二次函数二次项系数结合选项找出m＜0是解题的关键．
10. 已知点为抛物线（为常数，）上的两点，当，时（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是二次函数的增减性的灵活运用，当时，，则点A、B均为对称轴的右侧，再根据二次函数的增减性即可判定A；若，则点A、B在对称轴异侧或左侧，再分类求解即可判定B；当时，此时，即可判定C；若，则点A、B在对称轴异侧或右侧，即可判定D．灵活运用二次函数的性质成为解题的关键．
【详解】解：由（a为常数，）知，其开口向上，对称轴为，
当时，，且，,则，
A．当时，，则点A、B均为对称轴的右侧，故，
故A错误，不符合题意；
B．若，则点A、B在对称轴异侧或左侧，
当A、B在对称轴异侧时，则，解得：；
当A、B在对称轴左侧时，则，解得：，
综上，，故B错误，不符合题意；
C．当时，则，此时，
∴，
故C错误，不符合题意；
D．当时，，，
则点A、B在对称轴异侧或右侧，
当A、B在对称轴异侧时，则，解得：；
当A、B在对称轴右侧时，则，
综上，，则正确；故D正确，符合题意；
故选：D．
二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共计24分）
11. 已知点M的坐标为，则点M关于原点对称的坐标为______．
【答案】2,3
【解析】
【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标，根据关于原点对称的点的坐标的横纵坐标均为相反数求解即可．
【详解】解：根据关于原点对称的点的坐标的定义可知，点M的坐标为，则点M关于原点对称的坐标为，
故答案为：．
12. 已知关于的方程的一个根为2，则的值为________．
【答案】1
【解析】
【分析】将代入方程中，求出的值即可．
【详解】将代入方程中，得
，
，
∴．
故答案为：1
【点睛】本题主要考查了已知一元二次方程的根求字母的值，掌握一元二次方程根的定义是解题的关键．
13. 若将抛物线向右平移3个单位，再向上平移2个单位，则所得抛物线的一般式是_____．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了二次函数图象与几何变换，利用平移规律：左加右减，确定出平移后二次函数解析式即可．
【详解】解：平移后二次函数解析式为：．
故答案为：．
14. 《中秋帖》是晋朝书法家王献之的作品，如图，在一幅长为，宽为的《中秋帖》矩形书法作品的四周镶上相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图，设金色纸边的宽为，如果要使整个挂图的面积是，那么x满足的方程是______.

【答案】
【解析】
【分析】设金色纸边的宽度为，则挂图的长为，宽就为，根据整个挂图的面积是列出方程即可，读懂题意，数形结合是正确列方程的关键．
【详解】解：设金色纸边的宽为，则挂图的长为，宽就为，
根据题意得：，
故答案为：．
15. 已知点都在二次函数的图象上，则的大小关系为___________________．
【答案】
【解析】
【详解】A（4，y₁），B（，y₂），在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，
∵＜4，
∴y₂＜y₁，
∴点A离直线x＝2近，点C离直线x＝2最远，
而抛物线开口向上，
则y₃＞y₁，
故y₃＞y₁＞y₂，
故答案是：y₃＞y₁＞y₂．
16. 函数与的图象如图所示，有以下结论：①；②；③；④当时，．其中正确的是______．
【答案】③④
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数与一次函数的综合，掌握二次函数系数的几何意义，二次函数图象上点的坐标特征，函数与不等式的关系，是解题的关键．利用抛物线与x轴的交点个数和判别式的意义对①进行判断；利用时，可对②进行判断；利用时，可对③进行判断；利用函数图象，可知：当时，一次函数图象在二次函数图象上方，可对④进行判断．
【详解】解：∵抛物线与x轴没有公共点，
∴，
即，故①错误；
∵当时，，
∴，
∴
∴错误，故②错误；
∵当时，，
即，
∴，故③正确；
∵当时，
∴，故④正确．
综上：正确的有③④
故答案为：③④
三、解答题（本题共9小题，共计86分）
17. 解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查解一元二次方程；
（1）先提取公因式，再利用因式分解法解方程即可；
（2）直接把方程左边因式分解，再解方程即可．
【小问1详解】
解：，
，
∴，，
∴；
【小问2详解】
解：，
∴，
∴，，
∴．
18. 如图，三个顶点的坐标分别为、．
（1）请画出与关于原点成中心对称的图形；
（2）若以点A为旋转中心逆时针旋转后得到的图形为（的对应点为的对应点为），在网格中画出旋转后的图形．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了轴对称和旋转作图熟练掌握上述知识、灵活应用数形结合思想是解题的关键.
（1）根据中心对称的性质找出对应点即可求解；
（2）根据旋转变换的性质找出对应点即可求解．
【小问1详解】
解：如图，即为所作；
【小问2详解】
如图，即为所求．
19. 已知二次函数（是常数）．
（1）求证：不论为何值，该函数的图象与轴没有公共点；
（2）把该函数的图象沿轴向下平移多少个单位长度后，顶点在轴上？
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）求出根的判别式，根据判别式判断一元二次方程根的情况，即可得出答案；
（2）先化成顶点式，根据顶点坐标和二次函数图象的平移即可得出答案．
【小问1详解】
证明：，
一元二次方程没有实数解，
即：不论为何值，该函数的图象与轴没有公共点；
【小问2详解】
解：将二次函数化成顶点式，得：
，
把二次函数的图象沿轴向下平移个单位长度后，得到二次函数的图象，它的顶点坐标是，
二次函数的图象的顶点在轴上，
把二次函数的图象沿轴向下平移个单位长度后，顶点在轴上，
答：把该函数的图象沿轴向下平移个单位长度后，顶点在轴上．
【点睛】本题主要考查了二次函数和轴的交点问题，根据判别式判断一元二次方程根的情况，把二次函数化成顶点式，二次函数的图象与性质，二次函数图象的平移等知识点，熟练掌握根的判别式及二次函数图象的平移是解题的关键．
20. 如图1是汝南北城古桥，斑驳的桥面上书写着历史的痕迹．古桥拱截面可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽，桥拱顶点到水面的距离是．

（1）按如图2所示建立平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线的函数表达式（无需写出取值范围）；
（2）一只宽为的打捞船径直向桥驶来，当船驶到桥拱下方且距点时，桥下水位刚好在处，有一名身高的工人站立在打捞船正中间清理垃圾，他的头顶是否会触碰到桥拱，请说明理由（假设船底与水面齐平）．
【答案】（1）；
（2）工人不会碰到头，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查二次函数的应用，求出函数解析式是解决问题的关键．
（1）根据题意结合图象可以求出函数的顶点，先设抛物线的顶点式，再根据图象过原点，求出的值即可；
（2）先求出工人距原点的距离，再把距离代入函数解析式求出的值，然后和1.68比较即可．
【小问1详解】
解：如图②，由题意得：水面宽是，桥拱顶点到水面的距离是，
结合函数图象可知，顶点，点，
设二次函数的表达式为，
将点代入函数表达式，
解得：，
二次函数表达式为，
即；
【小问2详解】
解：工人不会碰到头，理由如下：
小船距点，小船宽，工人直立在小船中间，
由题意得：工人距点距离为，
将代入，
解得：
，
此时工人不会碰到头．
21. 如图，是O的直径，四边形内接于O，交于点E，．
（1）求证：；
（2）若，，求长．
【答案】（1）见解析 （2）5
【解析】
【分析】（1）由可得，根据垂径定理的推论可得，，由三角形中位线定理即可判定；
（2）由垂径定理可得，再用勾股定理解求出，最后根据中位线定理可得的长．
【小问1详解】
证明：，
，
又OD是半径，
，，
又，
是的中位线，
，，
；
【小问2详解】
解：，，
，，
又在中，，
，
解得，
由（1）知，
．
【点睛】本题考查垂径定理、勾股定理、三角形中位线定理等，求解方法不唯一，解题的关键是综合运用上述知识点，利用勾股定理解．
22. 【综合与实践】
矩形种植园最大面积探究
【解决问题】
根据分析，分别求出两种方案中S的最大值；比较并判断矩形种植园的面积最大值为多少？
【答案】方案1，；方案2，；矩形种植园面积最大为
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题的关键是理解题意，求出二次函数解析式．
（1）设，则，根据矩形面积公式得出，根据，求出最大值即可；
（2）设，得出，根据矩形面积公式得出，根据，求出结果即可．
【详解】解：方案1：∵，则，
∴，
∵，
∴当时，．
方案2：设，
则，
∴．
∵，当时，．
∵，
∴矩形种植园面积最大为．
23. 如果关于的一元二次方程有两个实数根，且，那么称这样的方程为“邻近根方程”，例如，一元二次方程的两个根是，，，则方程是“邻近根方程”．
（1）判断方程是否是“邻近根方程”；
（2）若关于的方程（是常数）是“邻近根方程”，求的最大值．
【答案】（1）方程是“邻近根方程”；
（2）48
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，根的判别式，根与系数的关系，配方法的应用等等：
（1）利用公式法求出，则，据此可得答案；
（2）设关于x的方程的两个实数根为，则由根与系数的关系可得，再根据题意得到，则，据此推出，再由即可得到答案．
【小问1详解】
解：由题意得，
∴，
解得，
∴，
∴方程是“邻近根方程”；
【小问2详解】
解：设关于x的方程的两个实数根为，
则由根与系数的关系可得，
∵关于x的方程（b，c是常数）是“邻近根方程”，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
，
∵，
∴，
∴，
∴当时，有最大值48，即有最大值48．
24. （1）用数学的眼光观察．
如图1，在菱形中，，点是对角线上一动点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，求的度数．
（2）用数学的思维思考．
如图2，在正方形中，点是对角线上一动点，且，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接．判断三点的位置关系，并说明理由；
【答案】（1）；（2）点，点，点三点共线，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定理由和性质．
（1）由可证，可得；
（2）连接交于O，过点F作直线于，可证得，得出，，推出，即点C，点D，点F三点共线．
【详解】解：（1）四边形是菱形，，
，
，
将绕点顺时针旋转得到，
，
是等边三角形，
，
，
，
；
（2）点，点，点三点共线，理由如下：
如图，连接交于，过点作于，
四边形是正方形，
，
将绕点顺时针旋转得到，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
点，点，点三点共线．
25. 如图，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点A，点P是线段上方抛物线上的一个动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点P运动到什么位置时，的面积最大？
（3）过点P作x轴的垂线，交线段于点D，再过点P作轴交抛物线于点E，连接．是否存在点P，使为等腰直角三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）点P坐标为或．
【解析】
【分析】（1）用待定系数法即可求得抛物线的解析式
（2）过P作x轴的垂线，交线段AB于点D，求得直线的解析式为，求得，可得到，然后根据二次函数的性质即可求得点P的坐标
（3）要使得为等腰直角三角形，只需要，然后分两种情况分别求得点P坐标即可
【小问1详解】
解：∵抛物线与x轴交于点，，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为：；
【小问2详解】
过P作x轴的垂线，交线段AB于点D，
设直线的解析式为，
由（1）知，
∴，，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为，
设，则，
∴，
，
∴当时，的面积最大，
∴
【小问3详解】
存在点P使为等腰直角三角形，理由如下：
∵轴，
∴，
要使得为等腰直角三角形，
只需要：
由（2）可知：，，，
∴设，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
∴，
∴
当点P位于对称轴右侧时，即，
∴
∵，
∴，
解得：（舍）或，
∴，
当点P在对称轴左侧时，即，
∴
∵，
∴，
整理得：，
解得：（舍）或，
∴，
∴为等腰直角三角形时，点P坐标为：或．
情境
劳动实践基地有一长为12米的墙，研究小组想利用墙和长为40米的篱笆，在前面的空地围出一个面积最大的矩形种植园．假设矩形一边，矩形种植园的面积为S．

分析
要探究面积S的最大值，首先应将另一边用含x的代数式表示，从而得到S关于x的函数表达式，同时求出自变量的取值范围，再结合函数性质求出最值．
探究
方案一：将墙的一部分用来替代篱笆
按图1的方案围成矩形种植园（边为墙的一部分）．
方案二：将墙的全部用来替代篱笆
按图2的方案围成矩形种植园（墙为边的一部分）．