福建省三明市建宁县九年级上学期期中考试数学试题（解析版）-A4

这是一份福建省三明市建宁县九年级上学期期中考试数学试题（解析版）-A4，共24页。试卷主要包含了本试卷共6页等内容，欢迎下载使用。
（满分：150分，检测时间：120分钟）
友情提示：
1．本试卷共6页．
2．考生将自己的姓名、准考证号及所有答案均填写在答题卡上．
3．答题要求见答题卡上的“注意事项”．
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请在答题卡的相应位置填涂．
1. 下列方程是关于x的一元二次方程的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的概念．判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
本题根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
【详解】解：A、是x的一元一次方程，不合题意；
B、是x的一元二次方程，符合题意；
C、是x的分式方程，不合题意；
D、是x的一元三次方程，不合题意．
故选：B．
2. 现有三张分别标有数字的卡片，它们除数字外完全相同．把卡片背面朝上洗匀，然后从中随机抽取两张，则这两张卡片上所标的数字都是负数的概率为（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求概率，熟练掌握画树状图法或列表法求概率是解题的关键．首先根据题意列出表格，然后求得所有等可能的结果与这两张卡片上的数字都为负数的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【详解】解：列表如下：
所有等可能的情况有6种，其中两张卡片的数字都是非负数的情况有、共2种，
则两个都是负数的概率为，
故选：B．
3. 若，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查比例的性质，根据，设，代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴设，
∴；
故选：B．
4. 下列各组图形中的两个三角形均满足，这两个三角形不是位似图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据位似图形的概念和性质，对应顶点的连线相交于一点的两个相似多边形叫位似图形．性质：①两个图形必须是相似形；②对应点的连线都经过同一点；③对应边平行，对各选项逐一分析，即可得出答案．
【详解】解：对应顶点的连线相交于一点的两个相似多边形叫位似图形．
根据位似图形的概念，A、C、D三个图形中的两个图形都是位似图形；
B中的两个图形不符合位似图形的概念，对应边不平行，故不是位似图形．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了位似变换，注意位似与相似既有联系又有区别，相似仅要求两个图形形状完全相同；而位似是在相似的基础上要求对应点的连线相交于一点．
5. 下列每个选项的两个图形，不是相似图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据相似图形的定义，即可求解．
【详解】解：A．形状相同，符合相似形的定义，此选项不符合题意；
B．形状相同，符合相似形定义，此选项不符合题意；
C．形状相同，符合相似形的定义，此选项不符合题意；
D．形状不相同，不符合相似形的定义，此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查的是相似形的定义，熟练掌握图形的形状相同，但大小不一定相同的两个图形是相似图形是解题的关键．
6. 在四边形中，．下列说法能使四边形为矩形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】结合平行四边形的判定和性质及矩形的判定逐一分析即可．
【详解】A：，
为平行四边形而非矩形
故A不符合题意
B：，
为平行四边形而非矩形
故B不符合题意
C：
∴AB∥CD
四边形为矩形
故C符合题意
D：
不是平行四边形也不是矩形
故D不符合题意
故选：C ．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，平行四边形的判定和性质及矩形的判定等知识，熟练掌握以上知识并灵活运用是解题的关键．
7. 一元二次方程的根的情况是（ ）
A. 有两个不相等的实数根B. 只有一个实数根
C. 有两个相等的实数根D. 没有实数根
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此求解即可．
【详解】解；由题意得，，
∴原方程有两个不相等的实数根，
故选：A．
8. 如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（ ）
A. ∠ABP=∠CB. ∠APB=∠ABC
C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】解：A．当∠ABP=∠C时，
又∵∠A=∠A，
∴△ABP∽△ACB，
故此选项错误；
B．当∠APB=∠ABC时，
又∵∠A=∠A，
∴△ABP∽△ACB，
故此选项错误；
C．当时，
又∵∠A=∠A，
∴△ABP∽△ACB，
故此选项错误；
D．无法得到△ABP∽△ACB，故此选项正确．
故选：D．
9. 如图，点是线段的黄金分割点，即，若表示以为一边的正方形的面积，表示长为，宽为的矩形的面积，则与的大小关系是（ ）
A. B. C. D. 无法确定
【答案】C
【解析】
【分析】根据得出，根据，，得出．
【详解】解：∵点是线段的黄金分割点，即，
∴，
∵，，
∴，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了黄金分割，解题的关键是根据得出．
10. 阅读材料：如果是一元二次方程的两个实数根，则有．创新应用：如果是两个不相等的实数，且满足，那么代数式的值为（ ）
A. 2019B. 2023C. 2022D. 2024
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的解以及根与系数的关系，掌握一元二次方程的解以及根与系数的关系是解答本题的关键．利用根的性质确定和满足的方程，再根据根与系数的关系求出和，将代数式化简代入求值即可解答．
【详解】解：，是两个不相等的实数，且满足，，
，是一元二次方程的两个实数根，，
，，
∴，
，
，
，
，
故选：D．
二、填空题（本大题共有6个小题，每小题4分，共24分）
11. 一元二次方程的解是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程，把方程化为，再化为一次方程，进而解方程即可
【详解】解∶
∴
∴
∴
故答案为∶．
12. 如图，已知；则与的周长之比为______．

【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形周长的比等于相似比是解题的关键． 根据相似三角形周长的比等于相似比进行解答即可．
【详解】解：∵，
∴和的相似比是，
∴和的周长之比为，
故答案为：．
13. 如图，将沿翻折，折痕，若， ，则的长等于______.

【答案】3
【解析】
【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质和翻折变换的知识点，解答本题的关键是根据求出和的比例关系，此题难度不大．延长和交于，求出，得出比例式，代入求出即可．
【详解】解：延长和交于，

∵将沿翻折，折痕，，
，
即，
∵，
∴，
，
，
即，
故答案为：3．
14. 甲、乙、丙三人参加中考体育球类测试，分别从足球或篮球中随机选择一种，则三人选择的测试项目相同的概率为________．
【答案】##0.25
【解析】
分析】根据题意画树状图分析，即可求得．
【详解】由题意，画树状图如下．

由树状图，可知共有8种等可能的结果，其中三人选择的测试项目相同的结果有2种
∴三人选择的测试项目相同的概率为
故答案为：．
【点睛】本题考查了树状图法求概率，列出树状图是关键．
15. 2024年4月初，“胖东来启动帮扶永辉超市”这一词条冲上热搜，得到帮扶后的永辉超市于6月19日当天的营业额达到188万元，假设6月21日的营业额是228万元，设营业额每天的平均增长率为x，那么可列出的方程是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设营业额每天的平均增长率为，依题意列出方程即可，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【详解】解：设营业额每天的平均增长率为，依题意，得：
，
故答案为：．
16. 如图，菱形的顶点在轴的正半轴上，坐标原点在边上，的长分别是关于的一元二次方程的两个根．且，则点的坐标为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的应用、菱形的性质、一元二次方程的解法，首先解一元二次方程得到，，可得点的纵坐标为，利用勾股定理求出，根据菱形的性质可得点的横坐标为．
【详解】解：解一元二次方程，
分解因式得：
解得：，，
又，
，，
，
四边形是菱形，
，
点的坐标为．
故答案为： ．
三、解答题（本大题共有10个小题，共86分）
17. 解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程；
（1）根据公式法解一元二次方程，即可求解；
（2）根据因式分解法解一元二次方程，即可求解．
【小问1详解】
解：
∵，
∴
解得：
【小问2详解】
解：
∴
∴
∴或
解得：
18. 如图，在中，，D是的中点，E是的中点，过点A作交的延长线于点F．连接．求证：四边形是矩形．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了矩形判定，全等三角形的性质与判定，三线合一定理，先证明，得到，再证明，即可证明四边形是平行四边形，进一步由三线合一定理得到，由此即可证明四边形是矩形．
【详解】证明：∵E是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵D是的中点，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，D是的中点，
∴，
∴四边形是矩形．
19. 如图，菱形ABCD中，点E在对角线AC上，延长BE交AD于点F，
（1）求证：．
（2）P为CD上一点，在AC上求作点Q，使得（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
【答案】（1）证明见解析
（2）画图见解析
【解析】
【分析】（1）先证，得到，结合即可证明，即可得到结论；
（2）作即可．
【小问1详解】
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴，
∴．
又∵，
∴，
∴．
【小问2详解】
解：尺规作图如图所示：
∴△CPQ就是所求作的三角形．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，菱形的性质以及尺规作图．正确运用相似三角形的判定和性质是本题的关键．
20. 5月30日是全国科技工作者日，某校准备举办“走近科技英雄，讲好中国故事”的主题比赛活动．八年级（一）班由、、三名同学在班上进行初赛，推荐排名前两位的同学参加学校决赛．
（1）请写出在班上初赛时，这三名同学讲故事顺序的所有可能结果；
（2）若、两名同学参加学校决赛，学校制作了编号为、、的3张卡片（如图，除编号和内容外，其余完全相同），放在一个不透明的盒子里．先由随机摸取1张卡片记下编号，然后放回，再由随机摸取1张卡片记下编号，根据摸取的卡片内容讲述相关英雄的故事．求、两人恰好讲述同一名科技英雄故事的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）
【答案】（1）在班上初赛时，这三名同学讲故事顺序的所有可能结果为：①A1A2A3，②A1A3A2，③A2A1A3，④A2A3A1，⑤A3A1A2，⑥A3A2A1
（2）、两人恰好讲述同一名科技英雄故事的概率为
【解析】
【分析】（1）根据题意先画树状图列出所有等可能结果
（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与A1A2抽取的都是同一名科技英雄的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【小问1详解】
解：画树状图如下：
∴共有6种等可能的结果，分别是：①A1A2A3，②A1A3A2，③A2A1A3，④A2A3A1，⑤A3A1A2，⑥A3A2A1．
答：在班上初赛时，这三名同学讲故事顺序的所有可能结果为：①A1A2A3，②A1A3A2，③A2A1A3，④A2A3A1，⑤A3A1A2，⑥A3A2A1．
【小问2详解】
解：画树状图如下：
∵由树状图知，共有9种等可能结果，其中、两人恰好讲述同一名科技英雄故事的结果有3种，
∴P(、两人恰好讲述同一名科技英雄故事)== ，
答：、两人恰好讲述同一名科技英雄故事的概率为．
【点睛】此题考查了概率的应用，解题的关键是掌握运用列表法或画树状图法列出所有可能的结果及概率的计算方法．
21. 如图，将矩形绕着点C按顺时针方向旋转得到矩形，使点B落在边上的点E处，连接交于点H，连接．
（1）求证：平分；
（2）取中点P，连接，求证：．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据平行线性质，得到；根据等腰三角形的性质，得到，等量代换得到即可．
（2）如图，过点B作，证明，后证明，得到，继而得到是中位线得证．
【小问1详解】
证明：∵矩形绕着点按顺时针方向旋转得到矩形，使点落在边上的点处，
∴，，，，
∴，，
∴，
∴平分．
【小问2详解】
证明：如图，过点B作，
∵平分，，
∴，
∵，
∴，
∴，点P为的中点，
∴是中位线，
∴．
【点睛】本题考查了矩形的性质，旋转的性质，三角形全等的判定和性质，三角形的中位线的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握矩形的性质，旋转的性质，三角形中位线定理是解题的关键．
22. 某餐饮店每天限量供应某一爆款菜品大份袋、小份袋合计100份，且当天全部销售完毕，其成本和售价如下表所示．从该店店长处获悉：若按下表中价格销售，则该餐饮店平均每天实出的小份装70份．
（1）求该店每天销售这款爆款菜品获得的总利润．
（2）店长为了增加利润，准备提高小份装的售价，同时降低大份装的售价，售卖时发现：小份装售价每提高1元，每天会少销售4份；大份装售价每降1元，每天可多销售2份．设小份装的售价提高了m元（m为整数）．每售出一份小份装可获利______元，此时大份装每天可售出______份．每天能否获利2768元？若能，求出m值；若不能，请说明理由．
【答案】（1）2600元
（2）元，份，每天能获利元，此时
【解析】
【分析】本题考查的是列代数式，一元二次方程的实际应用，确定大份装降价元，及确定相等关系列方程是解本题的关键．
（1）该店每天大份菜品卖30份，小份菜品卖70份，根据题意列出算式计算即可；
（2）小份装售价每提高1元，每天会少销售4份；大份装售价每降1元，每天可多销售2份列出代数式即可；根据总利润小份装利润大份装利润列方程，再解方程即可．
【小问1详解】
解：由题意可得：，
，
∴该店每天销售这款爆款菜品获得的总利润为2600元．
【小问2详解】
解：小份菜售价提高m元之后，售价为元，利润为
小份菜售价增加m元后，销量减少了4m份，则目前每天销售小份菜份，
因为该菜品每天限量100份，小份菜减少了4m份，则大份菜会增加4m份，则大份菜销量为份．
∴每售出一份小份菜可获利元，大份菜可售出份，
∵大份装多售出4m份，
∴大份装降价（元），
∴，
整理得：，
，
解得：，
∵m为整数，
，
∴每天能获利2768元，此时．
23. 为了加强视力保护意识，欢欢想在书房里挂一张测试距离为的视力表，但两面墙的距离只有．在一次课题学习课上，欢欢向全班同学征集“解决空间过小，如何放置视力表问题”的方案，其中甲、乙两位同学设计方案新颖，构思巧妙．
（1）甲生的方案中如果大视力表中“”的高是，那么小视力表中相应“”的高是多少？
（2）乙生的方案中如果视力表的全长为，请计算出镜长至少为多少米．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定及性质，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键，
（1）证明，得，代入数据求解，即可得解；
（2）如图，作于点，延长线交于点，证明，得，代入数据求解，即可得解．
【小问1详解】
解：由题意知，
，
又，
，
，
由题意知，
，
解得，
即小视力表中相应“”的高是．
【小问2详解】
解：如图，如图，作于点，延长线交于点，
由题意知，，
，
∴，
，
，
，
，
，
由题意知，
，
，
，
∴镜长至少为．
24. 定义：有一组邻边相等，并且它们的夹角是直角的凸四边形叫做等腰直角四边形．
（1）如图，等腰直角四边形，，，
①若，，求对角线的长；
②若，求证：；
（2）如图，在矩形中，，，点是对角线中点，过点作直线分别交边，于点，，使四边形是等腰直角四边形，求四边形的面积．
【答案】（1）①；②见解析；
（2）四边形的面积为或．
【解析】
【分析】（1）①只要证明四边形是正方形即可解决问题；②只要证明，即可解决问题；
（2）分，，，四种情形讨论求解即可．
【小问1详解】
解：①，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形，
∵，
∴四边形是正方形，
∴，，
∴．
②如图中，连接、BD．
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
【小问2详解】
解：∵四边形是矩形，
∴，，，，
如图，连接，当时，四边形是等腰直角四边形，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵是BD的中点，
∴，
∴四边形的面积；
如图，连接，当时，四边形是等腰直角四边形，
∴，
∵是BD的中点，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵是BD的中点，
∴，
∴四边形的面积；
如图，连接，当时，

∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴此时，四边形不是等腰直角四边形，
同理可得当时，四边形不是等腰直角四边形；
综上可得，四边形的面积为或．
【点睛】本题考查全等三角形的判定及性质，正方形的判定及性质，勾股定理，矩形的判定及性质，平行线的性质，熟练掌握矩形的判定及性质是解题的关键．
25. 一次小组合作探究课上，老师将两个正方形按如图所示的位置摆放（点E、A、D在同一条直线上），发现且．
小组讨论后，提出了下列三个问题，请你帮助解答：
（1）将正方形绕点A按逆时针方向旋转（如图1），还能得到吗？若能，请给出证明，请说明理由；
（2）把背景中的正方形分别改成菱形和菱形，将菱形绕点A按顺时针方向旋转（如图2），试问当与的大小满足怎样的关系时，；
（3）把背景中的正方形分别改写成矩形和矩形，且，，（如图3），连接，．试求的值（用a，b表示）．

【答案】（1）见解析；（2）当时，，理由见解析；（3）．
【解析】
【分析】（1）由正方形的性质得出，，，，得出，则可证明，从而可得出结论；
（2）由菱形的性质得出，，则可证明，由全等三角形的性质可得出结论；
（3）设与交于Q，与交于点P，证明，得出，得出，连接，，由勾股定理可求出答案．
【详解】（1）∵四边形为正方形，
∴，，
又∵四边形为正方形，
∴，，
∴
∴，
在△AEB和△AGD中，
，
∴，
∴；
（2）当时，，
理由如下：
∵，
∴
∴，
又∵四边形和四边形均为菱形，
∴，，
在△AEB和△AGD中，
，
∴，
∴；
（3）设与交于Q，与交于点P，

由题意知，，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
连接，，
∴
，
∵，，，
∴，，
在Rt△EAG中，由勾股定理得：，同理，
∴
．
0
0
A“杂交水稻之父”袁隆平
B“天眼之父”南仁东
C“航天之父”钱学森
份量
小份装
大份装
成本（元/份）
40
60
售价（元/份）
60
100
甲
乙
图例
方案
如图①是测试距离为的大视力表，可以用硬纸板制作一个测试距离为的小视力表②．通过测量大视力表中“”的高度（的长），即可求出小视力表中相应的“”的高度（的长）
使用平面镜成像的原理来解决房间小的问题．如图，在相距的两面墙上分别悬挂视力表（）与平面镜（），由平面镜成像原理，作出了光路图，通过调整人的位置，使得视力表的上、下边沿，发出的光线经平面镜的上下边沿反射后射入人眼处，通过测量视力表的全长（）就可以计算出镜长