福建省福州市连江县八年级上学期期中考试数学试题（解析版）-A4

这是一份福建省福州市连江县八年级上学期期中考试数学试题（解析版）-A4，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（全卷共6页，满分：150分，考试时间：120分钟）
友情提示：所有答案都必须填涂在答题卡规定位置上，答在本试卷上的一律无效！
第Ⅰ卷
一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 北京时间2024年8月12日，巴黎奥运会闭幕，经过激烈的角逐，中国奥运代表团实现了境外奥运历史上金牌总数的突破，让我们来找找下列奥运会运动标识中，属于轴对称图形的是（ ）
A. 篮球 B. 射击
C. 拳击 D. 游泳
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；
【详解】解：．不是轴对称图形，故该选项不符合题意；
．是轴对称图形，故该选项符合题意；
．不是轴对称图形，故该选项不符合题意；
．不轴对称图形，故该选项不符合题意；
故选：B
2. 以下面四组小棒为边长，能围成三角形的是（ ）组．
A. 4，7，3B. 4，7，4C. 4，7，11D. 4，7，12
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了能够组成三角形三边的条件：用两条较短的线段相加，如果大于最长的那条线段就能够组成三角形．根据三角形的三边关系进行分析判断．
详解】解：A、，4，7，3不能组成三角形，故本选项不符合题意；
B、，4，7，4能组成三角形，故本选项符合题意；
C、，4，7，11不能组成三角形，故本选项不符合题意；
D、，4，7，12不能够组成三角形，故本选项不符合题意．
故选：B．
3. 下列运算的结果为a6的是
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分别根据合并同类项，幂的乘方，同底数幂的乘法，同底数幂的除法法则进行计算作出判断．
【详解】A．，故本选项错误，不符合题意；
B．，故本选项错误，不符合题意；
C．，故本选项正确，符合题意；
D．，故本选项错误，不符合题意．
故选C．
4. 如图．花瓣图案中的正六边形的内角和是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了多边形的内角和，根据多边形的内角和公式：多边形的内角和，即可求解．
【详解】解：正六边形的内角和，
故选：A．
5. 若图中的两个三角形全等，则依据所标数据可得（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，由图中的两个三角形全等，可得出角对应的边长为10，根据三角形内角和定理可得出，进而可得出角对应的边长．
【详解】解：∵图中的两个三角形全等，
∴角对应的边长为10，
∴，
∴角对应的边长，
故选：D．
6. 同学们学习完“三角形全等”的知识后，数学王老师在多媒体上出示了一道试题，下面是四位同学的答案，其中错误的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查全等三角形的判定，根据全等三角形的判定定理，逐项分析判断，即可求解．
【详解】解：，，
A、添加的条件是：，无法判断，故选项A符合题意；
B、添加的条件是：，根据可证明，故选项B不符合题意；
C、添加的条件是：，根据可证明，故选项C不符合题意；
D、添加的条件是：，根据可证明，故选项D不符合题意；
故选：A．
7. 如图，中，，，，于点，点在边上，且．则的长为（ ）
A. B. C. 2D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，含角的直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相关的性质．根据等腰三角形的性质得出，根据直角三角形的性质得出，求出，最后求出结果即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
8. 如图（1），锐角中，，要用尺规作图的方法在边上找一点D，使为等腰三角形，关于图（2）中的甲、乙、丙三种作图痕迹，下列说法正确的是（ ）

A. 甲、乙、丙都正确B. 甲、丙正确，乙错误C. 甲、乙正确，丙错误D. 只有甲正确
【答案】A
【解析】
【分析】根据圆、线段垂直平分线、角的尺规作图进行分析即可．
【详解】解：甲图：以点A为圆心，为半径作弧，交于点D，
∴，
∴为等腰三角形，
乙图：作的垂直平分线，交于点D，
∴，
∴为等腰三角形，
丙图：∵所作的，
∴，
∴是等腰三角形，
∴甲、乙、丙都正确，
故选A．
【点睛】本题考查等腰三角形的定义、尺规作图−圆、角、垂直平分线，熟练掌握等腰三角形的判定与圆、角和线段垂直平分线的基本作图的方法是解题的关键．
9. 若，则实数a、b的符号为（ ）
A. a、b同为正B. a、b同为负
C. a、b异号且绝对值大的为正D. a、b异号且绝对值大的为负
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查多项式乘多项式法则以及有理数的加法和乘法，将左边，对比两边，相同项的系数相同，可得，，根据两数相乘异号得负可知a、b异号，再根据异号两数相加，取绝对值较大的数的符号，即可解答．
【详解】解：将左边式子展开可得，，
∴，，
∴a、b异号且绝对值大的为负，
故选：D．
10. 如图，中，，，，，且，，在同一条直线上，点在直线上，连接，则的最小值为（ ）
A. 10B. 12.5C. 15D. 17.5
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查轴对称一最短路线问题，含三角形的性质，全等三角形的性质．连接，可证明，然后推出的最小值为，最后求出即可．
【详解】解：如图，连接，
∵，，，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴有最小值为的长．
故选：C．
第Ⅱ卷
二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分）
11. 计算：______．
【答案】1
【解析】
【分析】本题考查积的乘方，根据积的乘方的逆运算和有理数的乘方求解即可．
【详解】解：
，
故答案为：1．
12. 在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标是________．
【答案】．
【解析】
【分析】平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于x轴的对称点的坐标是（x，﹣y），据此即可求得点（﹣3，2）关于x轴对称的点的坐标．
【详解】解：∵点关于x轴对称，
∴对称的点的坐标是．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中点的对称性质，解题关键是明确平面直角坐标系中关于坐标轴对称点的变化特征．
13. 如图，一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西40°的方向行驶40海里到达B地，再由B地向北偏西20°的方向行驶40海里到达C地，则A、C两地相距_____海里．
【答案】40
【解析】
【分析】连结AC,根据方向角可知,又由题意得AB＝BC，得到ΔABC是等边三角形，即可求解.
【详解】连结AC,
,
,
由题意得AB＝BC，又.
所以ΔABC是等边三角形.
所以AC＝40.
故答案为40.
【点睛】考查了解三角形的应用－方向角问题,此题结合航海中的实际问题,将等边三角形的相关知识有机结合,体现了数学应用于实际生活的思想.
14. 如图，正方形网格中，点A，B，C都在格点上，则______．
【答案】##45度
【解析】
【分析】延长到D点，然后根据等腰直角三角形的性质和三角形外角的性质求解即可．
【详解】解：延长到D点，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查三角形外角性质，等腰直角三角形的性质，网格中每个正方形边长都相等．熟练掌握三角形外角性质，是解决本题的关键．
15. 如图，将两块大小完全相同的等腰直角三角板的直角边分别贴紧角的两边，角的顶点与的顶点互相重合，另外两条直角边相交于点，做射线，则射线是的角平分线，其中的原理利用了全等三角形的性质，那么判定的依据是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查全等三角形的判定，等腰直角三角形，关键是掌握直角三角形全等的判定方法：．由判定，即可得到答案．
【详解】解：∵两块三角板是完全相同的等腰直角三角形，
，
在和中，
，
∴判定的依据是．
故答案为：．
16. 如图，四边形中，，，连接交于点，点关于直线的对称点恰好在上，且，若的面积为3，则的长为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是轴对称的性质，等腰三角形的判定与性质，利用平方根的含义解方程，连接，设，证明，，可得，再进一步求解即可．
【详解】解：连接，
设，
∵，，
∴，
∴，
∵点关于直线的对称点恰好在上，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∵，的面积为，
∴的面积为，
∴，
∴，而，
∴．
故答案为：
三、解答题（本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 计算
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查整式运算，解题的关键是熟练掌握相关的运算法则；
（1）根据单项式除单项式，积的乘方计算即可；
（2）根据多项式乘多项式，单项式乘多项式计算即可．
【小问1详解】
解：原式
；
【小问2详解】
解：原式
．
18. 如图，是上一点，交于点，，．求证：点为中点．

【答案】见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的性质以及全等三角形的判定与性质，正确判定是解题关键．首先根据“两直线平行，内错角相等”证明，然后利用“”证明，由全等三角形的性质可得，即可证明结论．
【详解】证明：∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴点为中点．
19. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，．
（1）请分别画出的边上的中线和边上的高，并直接写出点，的坐标为（______），（______）
（2）画出与关于直线对称的图形，并写出点的坐标．
【答案】（1）见解析，，；
（2）见解析，
【解析】
【分析】本题主要考查了三角形中线、三角形的高、轴对称变换等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．
（1）首先确定中点的位置，连接即可；根据三角形的高的定义，作出边上的高即可；结合图形确定点，的坐标即可；
（2）根据轴对称的性质确定点关于的对称点，连接，再结合图形确定点的坐标即可．
【小问1详解】
解：如图所示，
由图可知，，；
【小问2详解】
如图所示，由图可知点的坐标为．
20. 如图，中，是的平分线，，，、为垂足，连接交于求证：垂直平分．
【答案】证明详见解析．
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定和等腰三角形的性质的应用，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等，全等三角形的判定定理有，，，，等腰三角形的顶角的平分线平分底边，并且垂直于底边．根据证，推出，根据等腰三角形性质推出即可．
【详解】证明：是的平分线，
，，
，，
在和中
，
，
，
是的平分线，
垂直平分．
21. 如图，在中，．
（1）尺规作图：在上求作一个点，使得点到的距离等于．（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）的条件下，若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据角平分线的性质，作的平分线交于D，则点D即为所求；
（2）解法一：根据角平分线定义和等腰三角形的性质得到．然后利用三角形的内角和定理求得．再利用含30度角的直角三角形的性质求解即可；
解法二：过点作，交于点，利用角平分线的性质定理得到，证明得到，再利用等腰三角形的性质求得即可求解．
【小问1详解】
解：如图所示，点为所求作的点；
【小问2详解】
解法一：由（1）得，点到的距离等于，
平分，即．
，
．
，
，
．
，
；
解法二：过点作，交于点，
由（1）得，到的距离等于，
即，
在与中，
，
，
，
，
，，
，
，
即的长为6．
【点睛】本题考查基本尺规作图-作角平分线、角平分线的性质、三角形的内角和定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．
22. 小陈网购了一批总长为米栅栏，准备在自己家后面的空地上围一个长比宽多2米的长方形场地养兔子，设长方形的长为，宽为．
（1）求和的长；（结果用含的式子表示）
（2）若用这批总长相同的栅栏围成一个正方形场地，请你判断所围的正方形场地与小陈所围的长方形场地哪个面积大？并说明理由．
【答案】（1），
（2）所围的正方形场地比小陈所围的长方形场地面积大，理由见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了列代数式、整式运算等知识，理解题意，弄清数量关系是解题关键．
（1）根据长比宽多2米，可知，结合栅栏总长为米以及长方形周长公式，即可确定答案；
（2）首先根据正方形周长公式可得正方形的边长为米，易得正方形的面积为平方米，而长方形面积为平方米，由，即可获得答案．
【小问1详解】
解：∵长方形的长为，宽为，长比宽多2米，
∴，
∵栅栏总长为米，
∴，解得，
∴；
【小问2详解】
所围的正方形场地比小陈所围的长方形场地面积大，理由如下：
∵所围的正方形周长为米，
∴正方形边长为米，
∴正方形的面积为平方米，
∵小陈搭的长方形面积为平方米，
∴，
即，
∴所围的正方形场地比小陈所围的长方形场地面积大．
23. 如图，平面直角坐标系，，，射线在第一象限内，分别过点A，作于点，于点D，
（1）求证：；
（2）若，，求点坐标．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题主要考查坐标系，全等三角形的判定和性质，以及直角三角形的性质，
（1）根据题意可得，结合垂直可得和，即可利用证明；
（2）过点作轴于点，则，可求得、和，进一步求得和，由（1）得：，求得，即有即可．
【小问1详解】
证明：，，
，，
，
，，
，
，
，
，
在与中，
；
【小问2详解】
解：过点作轴于点，如图，
，
，
，，
，
，
，
由（1）得：，
，
，
，
点坐标为．
24. 如图，是等边三角形，过点的直线交于点，设，线段与线段关于直线对称，连接并延长交直线于点，连接交直线于点．

（1）求的度数；
（2）求证：．
【答案】（1）
（2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据等边三角形性质得，，再根据轴对称的性质得，，则，，进而得，然后再根据三角形的外角性质可得出的度数；
（2）在线段上截取，连接，先证明是等边三角形得，，由此可证明，则，然后根据等边三角形的性质得，由此即可得出结论．
【小问1详解】
解：线段与线段关于直线对称，，
，垂直平分．
，
为等边三角形，
，，
，，
，
，
；
【小问2详解】
证明：连接，在线段上截取，连接，

，
是等边三角形，
，，
，
线段与线段关于直线对称，
，且平分，
，，
，，
，
又，
，在与中，
，
，
，
又，，
，
即，
．
【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，轴对称的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，理解等边三角形的性质，轴对称的性质，正确地作出辅助线构造等边三角形和全等三角形是解决问题的关键．
25. 【教材呈现】如图为人教版八年级上册数学教材第页的部分内容．
思考：如图，把一长一短的两根木板的一端固定在一起，摆出．固定住长木棍，转动短木板，得到，这个实验说明了什么？
（1）【应用发现】
小明通过以上思考得到结论：有两边和其中一边的对角分别相等（即“”对应相等）的两个三角形不一定全等．同时他受此启发，展开了以下探究：
如图1，如果和中，，，．则可证．
证明：在上取一点，使．
，①______．
又
而．②______．
，③______．
又．（AAS）．
．
小红提出：如图2，若在的延长线上取一点，使，也可证得结论．
请补全小明证明中①②③④所缺的内容．
总结发现：两个三角形中，当一角和它所对的边对应相等，另一组对应角互补时，此时这两个三角形不全等，但可通过“割大或补小”构造全等三角形．
（2）【拓展探究】
为等腰三角形，，点在的延长线上，点在线段上，连接交于点．
①如图3，若，求证：点为的中点；
（说明：用一种解题思路解答正确即得5分，用两种思路解答全部正确得满分8分）
②若为等边三角形，点为中点，点在的延长线上，且满足，请直接写出的值．
【答案】（1）①；②；③
（2）①见解析；②
【解析】
【分析】本题考查全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，熟练掌握全等三角形的性质和判定是解题的关键；
（1）在上取一点，使，证明，即可判定，进而求解；
（2）①法一：在上取一点，使得，利用即可判定，进而求解；法二：在的延长线取一点，使得，利用即可判定，进而求解；法三：过点作于点，过点作交的延长线于点，利用分别证明和，进而求解；②根据等边三角形的性质可得，，，
在上取点使得，进而判定是等边三角形，进而判定，即可求解；
【小问1详解】
解： 证明：在上取一点，使．
，
．
又
而．
．
，
．
又．
．
．
故答案：；；
【小问2详解】
①法一：证明：在上取一点，使得，
则，
，
，
，
，
，
即，
在与中
，
，
，
点为的中点；
法二：证明：在的延长线取一点，使得，
则
，
，
，
，
，
，
在与中
，
点为的中点；
法三：证明：过点作于点，过点作交的延长线于点，
，
，
，
，
，
在与中
，
，
在与中，
，
，
点为的中点；
证明：在的延长线取一点，使得，
则，
，
，
，
，
，
，
在与中，
，
，
点为的中点，
②
详细解答如下：
依题意画出图形如图所示，
为等边三角形，
，，，
在上取点使得，
是等边三角形，
，，
，，
，
又点为的中点，
，
，
在与中
，
，
又，
，
；
，_______
（添加一个条件，使结论成立），
．