福建省福州市九年级上学期月考数学试题（解析版）-A4

这是一份福建省福州市九年级上学期月考数学试题（解析版）-A4，共22页。
注意事项：
1.答题前，学生务必在本练习卷及答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息.学生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与学生本人准考证号、姓名是否一致.
2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.非选择题答案用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在本练习卷上答题无效.
3.作图可先使用2B铅笔画出，确定后必须用0.5毫米黑色墨水签字笔描黑.
4.结束时，学生必须将本练习卷和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷
一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 下列分别为福州，成都，武汉，银川四个城市电视台的平面图标，其中是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了中心对称图形：一个图形绕着某固定点旋转后能够与原来的图形重合，则称这个图形是中心对称图形，这个固定点叫做对称中心；根据此概念即可作出判断．
【详解】解：选项A中的图标能够找到一点，使图标绕此点旋转后能够与原来的图标重合，其它三个选项中的图标则不能找到一点，使图标绕此点旋转后不能够与原来的图标重合，即选项A中的图标是中心对称图形；
故选：A．
2. 掷一枚质地均匀的骰子，观察向上一面的点数，则下列事件是不可能事件的是（ ）
A. 点数是2B. 点数是7C. 点数是奇数D. 点数是偶数
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了事件的分类，在一定条件下，一定不会发生的事件是不可能事件，根据骰子的点数只有1—6点进行逐一判断即可．
【详解】解：∵骰子一共有6个面，分别对应的点数为1—6点，
∴向上一面的点数可能是2，可能是奇数，也可能是偶数，不可能是7，
∴四个事件中只有点数是7的事件为不可能事件，
故选：B．
3. 已知的半径为2，若为外一点，则的长可以是（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了点和圆的位置关系；
根据点在圆外，点到圆心的距离大于圆的半径可得答案．
【详解】解：∵的半径为2，点P在外，
∴，
∴的长可能是3，
故选：D．
4. 若抛物线经过一次平移得到抛物线，则该平移是（ ）
A. 向上平移个单位长度B. 向下平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度D. 向右平移个单位长度
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象的平移，根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减，即可求解，掌握二次函数图象的平移规律是解题的关键．
【详解】解：抛物线向下平移个单位长度得到抛物线，
故选：．
5. 若是关于的方程的一个根，则这个方程的另一个根是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根的定义，解一元二次方程，把代入方程求出，再解一元二次方程即可求解，掌握一元二次方程根的定义和解一元二次方程是解题的关键．
【详解】解：∵是关于的方程的一个根，
∴，
∴，
∴一元二次方程为，
∴，
∴，，
∴这个方程的另一个根是，
故选：．
6. 福州盛产橄榄，当地人称橄榄为“福果”，它既是“有福之州”的特产，又寓意着“幸福”，某企业2022年加工福州橄榄3万吨，随着加工技术的提升，该企业2024年预计加工福州橄榄5万吨，设从2022年到2024年该企业加工福州橄榄的年平均增长率为x，则符合题意的方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了一元二次方程的应用——增长率问题，正确理解题意列得方程是解题的关键．由加工福州橄榄的年平均增长率为x，则2023年加工福州橄榄万吨，2024年加工福州橄榄万吨，由此得到方程．
【详解】解：根据题意得，
故选：C．
7. 若在反比例函数图象的每一支上，y都随x的增大而增大，数m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数图象的性质，掌握反比例函数图象的性质是解题的关键．根据题意得出，解不等式即可求解．
【详解】解：∵在反比例函数图象的每一支上，都随的增大而增大．
∴，
∴，
故选：D．
8. 如图，四边形内接于，连接，，则下列结论一定正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了圆内接四边形对角互补及圆周角定理，解决本题的关键是熟练掌握圆内接四边形对角的关系.根据圆内接四边形对角互补这一性质定理及圆周角定理判断解决即可.
【详解】解：根据图形发现：故、项错误；
∵四边形内接于，
∴，故项正确；
∵，，
∴，故项正确；
故选：．
9. 如图，中，分别是边上的点，且，若，，则的长是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，由得到，由得到，进而得到，代入已知计算即可求解，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴，
故选：．
10. 已知抛物线过，，三点．若，则下列判断正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了二次函数的图象和系数关系，先求出，则，再逐项进行判断即可．
【详解】解：把点代入得，
，
解得，
∴，
∵抛物线经过点，
∴，
解得，即，
∴，
∵，
∴，，故选项A、B错误，选项C正确，
把代入得到，，
∵，
∴，
∴，故选项D错误，
故选：C
第Ⅱ卷
注意事项：
1.用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在本练习卷上作答，答案无效.
2.作图可先用2B铅笔画出，确定后必须用0.5毫米黑色墨水签字笔描黑.
二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分）
11. 点关于原点对称的点的坐标是_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了关于原点对称点的坐标特点：点关于原点对称的点的坐标为．根据坐标规律即可得到点关于原点对称的点的坐标．
【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是．
故答案为：．
12. 若关于x的方程有两个不相等的实数根，则______0（填“>”，“
【解析】
【分析】本题考查了根的判别式，掌握根的判别式与一元二次方程根的情况的关系是解题的关键．一元二次方程()的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．利用判别式的意义得到，即得解．
【详解】解：∵关于x的方程有两个不相等的实数根，
∴，
故答案为：>
13. 如图，一长方体砖块的两个面的面积比是，若将两个面分别向下放在水平地面上，则地面受到的压强之比是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了比的应用，设长方体砖块的重力为，面的面积为，面的面积为，根据压强公式求出两个面向下地面受到的压力，求出比即可求解，掌握比的运算是解题的关键．
【详解】解：设长方体砖块的重力为，
∵两个面的面积比是，
∴可设面的面积为，面的面积为，
由压强公式得，当面向下放在水平地面 上，压强，
当面向下放在水平地面上，压强，
∴，
故答案为：．
14. 若一个二次函数的最小值为2，则该二次函数的解析式可以是______（写出一个符合题意的解析式）.
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】根据二次函数的性质即可得：函数图象开口向上，且顶点的纵坐标是3．
【详解】由题意，二次函数有最小值，说明函数图象开口向上，且顶点的纵坐标是3，这个二次函数的解析式可以是，
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．
15. 如图，为测量一个“福”字的面积，某同学将该“福”字贴在一个边长为的正方形内，现将米随机撒到贴有“福”字的正方形内，经过大量重复试验，发现米粒落在“福”字区域的频率稳定在常数附近，由此可估计这个“福”字的面积是______．

【答案】
【解析】
【分析】本题考查了利用频率估计概率，设这个“福”字的面积是，由题意可得，解之即可求解，解题的关键是理解大量重复试验中事件发生的频率即是事件发生的概率．
【详解】解：设这个“福”字的面积是，
由题意可得，，
解得，
∴这个“福”字的面积是，
故答案为：．
16. 如图，为半圆O的直径，C为半圆O上一点，D为的中点，的延长线交于点E.若，，则的长是______.

【答案】5
【解析】
【分析】本题主要考查了垂径定理，平行线分线段成比例定理，勾股定理等，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键．连接，证明，可得，设，则，在中用勾股定理计算即可．
【详解】解：连接，如下图，

∵，
∴，
∵D为的中点，
∴，
∵，
∴，
∵为半圆O的直径，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴
在中，，
∴
解得：，（舍去），
∴，
故答案是：5
三、解答题（本题共9小题，共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 解方程．
【答案】
【解析】
【分析】根据公式法求解一元二次方程即可．
【详解】解：，
∴，，
∴，
解得：．
【点睛】考查了解一元二次方程-公式法，公式法解一元二次方程的一般步骤为：①把方程化成一般形式，进而确定，，的值注意符号；②求出的值若，方程无实数根；③在的前提下，把、、的值代入公式进行计算求出方程的根．注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①；②．
18. 如图，，交于点，，，连接，求证：
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定及性质，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键。证明，得，即可得证。
【详解】证明：∵，，
∴
∵，
∴，
∴，
∴
19. 在平面直角坐标系中，画出反比例函数的图象，并写出当时，y的取值范围.
【答案】图象见解析，或.
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的图像及性质及画函数图像，描点画出图形，进而即可写出当时，y的取值范围．
【详解】解：列表如下：
函数图象如下：
.
当时，或. .
20. 如图，小明手中握着3根质地，颜色等完全相同的细绳，只露出它们两端，将朝上的一端记为头，朝下的一端记为尾.小亮从头，尾中随机各选一个，请用列举法求小亮选中的两端属于同一根细绳的概率.
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了用树状图或列表法求概率，根据题意正确列表，用符合题意的情况数除以总的情况数即可.
【详解】解：记这3根细绳朝上的一端分别为A，B，C，其对应的朝下的一端分别为a，b，c.
根据题意，可以列出如下表格：
由表知，所有可能出现的结果共有9种，且这些结果出现的可能性相等.其中小亮选中的两端属于同一根细绳的结果有3种，
∴小亮选中的两端属于同一根细绳的概率 .
21. 如图，已知.
（1）求作的外接圆圆心（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（）的条件下，若，，求半径，及所围成的图形的面积．
【答案】（1）作图见解析；
（2）．
【解析】
【分析】（）作的垂直平分线，相交于点，以点为圆心，的长度为半径画圆即可；
（）连接，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得，进而由圆周角定理可得，，即可得到，又由可推导出是等边三角形，得到，代入扇形面积公式计算即可求解；
本题考查了作外接圆圆心，等腰三角形的性质，三角形内角和定理、圆周角定理，等边三角形的判定和性质，扇形面积，根据题意画出图形是解题的关键．
【小问1详解】
解：如图，为所求作的的外接圆圆心；
【小问2详解】
解：如图，连接，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
根据题意得，半径，及所围成的图形是扇形，
∴
即半径，及所围成的图形的面积是．
22. 大约于公元前2000年，古巴比伦人用“长”，“宽”及“面积”来代表未知数及它们的乘积.例如图1，长代表a，宽代表b，长方形的面积代表，大约于公元830年，阿尔·花拉子米（AI-Khwarizmi）在《代数学》中介绍了用几何学方式求方程的解.

（1）某实践小组对《代数学》的内容进行研习后，也尝试用几何学方式解方程，并形成以下操作步骤：
第一步：将方程变形成；
第二步：构造边长为的正方形（如图2）；
第三步：求得右下角正方形面积S的值是 ① ；第四步：用两种方法表示图中大正方形的面积
，
将代入，
可得 ②
∵，
∴③
请补全该实践小组求解过程中①②③所缺的内容；
（2）请参照上述方法解方程.
【答案】（1）①4；②9；③1；
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查解一元二次方程，解题的关键是掌握将解一元二次方程的问题转化为几何图形问题求解的方法．
（1）根据将代数问题转化为几何图形问题的做法即可得出答案；
（2）类比例题求解、画图、计算即可．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴
故答案为：4；9；1；
【小问2详解】
解：第一步：将方程变形成，
第二步：构造边长为的正方形（如图），
第三步：求得右下角正方形面积S的值是，
第四步：用两种方法表示图中大正方形的面积
，
将代入，
可得
∵，
∴．
23. 如图，是的直径，是的弦．点P，O位于异侧，与相切，．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题主要考查了切线的判定和性质，圆周角定理，勾股定理等等，正确作出辅助线是解题的关键．
（1）连接，在四边形中，利用内角和定理求得，据此即可证明是的切线；
（2）连接交于点D，利用切线长定理结合垂径定理求得，，，利用勾股定理求得的长，利用三角形的面积求解即可．
【小问1详解】
证明：连接．

∵是的切线，是的直径，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵在四边形中，
，
∴，
∴．
∵C为半径的外端点，
∴为的切线；
小问2详解】
解：连接交于点D．

∵是的切线，，
∴，平分，
∴，．
在中，，，
∴．
又，
∴，
∴．
24. 已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，．
（1）求的值；
（2）若该抛物线上到x轴距离为4的点恰有三个，
①求抛物线的解析式；
②若P是抛物线上一点，且的面积为面积的2倍，求点P的坐标．
【答案】（1）
（2）①；②或.
【解析】
【分析】（1）先求出对称轴为，再求出点A和点B的坐标，即可得到答案；
（2）①先根据抛物线上到x轴距离为4的点恰有三个，推出该抛物线的解析式为，再求出a的值，即可得到抛物线的解析式；②分两种情况进行求解即可．
【小问1详解】
解：根据题意得抛物线的对称轴为直线，
∵该抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），且，
∴，
∴，，
将代入，
得，
即；
【小问2详解】
①该抛物线上到x轴距离为4的点的纵坐标可以为4或，
即或．
∵，
∴该抛物线开口向下．
∵抛物线上到x轴距离为4的点恰有三个，
∴关于x的方程有两个不相等的实数根，
关于x方程有两个相等的实数根，
即该抛物线的顶点纵坐标为4，
∴设该抛物线的解析式为，
将代入，
得，
解得，
∴抛物线的解析式为；
②设直线的解析式为，把，代入得到，
，
解得，
∴直线的解析式为，
记交于点G，
分别过点B，C作的垂线，垂足分别为M，N，
∴，，．
∵的面积为面积的2倍，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴点G在线段上，或者的延长线上．
过点G作轴，交x轴于点H，
∴．
（i）当点G在线段上时，，
∴，
即点G的横坐标为2，
∴，
∴；
设直线的解析式为，把，代入得到，
，
解得，
∴直线AG的解析式为，
将代入，
得，
解得（舍去），，
当时，，
∴．
（ii）当点G在的延长线上时，，
∴，
即点G横坐标为6，
∴，
∴，
设直线的解析式为，把，代入得到，
，
解得，
∴直线的解析式为．
将代入，
得，
解得（舍去），，
∴，
∴．
综上，点P的坐标为或．
【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质、待定系数法、相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理，解一元二次方程等知识，数形结合和分类讨论是解题的关键．
25. 在 中， ． 将 绕点 B顺时针旋转 得到， 连接， 将绕点 D逆时针旋转 得到， 连接．
（1）求证：；
（2）连接， 求的最小值；
（3）当点E落在边上时， 求的值．
【答案】（1）见解析 （2）的最小值为
（3）
【解析】
【分析】（1）由旋转的性质得出，，，，由等腰三角形的性质可得出答案；
（2）连接，证明，得出，由勾股定理求出的长，则可得出答案；
（3）延长至点F，使得，连接，，，证明，得出，，通过证明是等边三角形，进而可求出，即可得出答案．
【小问1详解】
证明：绕点 B顺时针旋转 得到，
，，
，
，
，
将绕点 D逆时针旋转 得到，
，，
，，
，，
；
【小问2详解】
如图，连接，
，，
，
在中，，
，
，，
，
，
，
当且仅当点D在线段上时，等号成立，此时的最小值为；
【小问3详解】
如图，延长至点F，使得，连接，，，
，
垂直平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
点D为的中点，
，
由（2）得，
，
，
是等边三角形，，
，
即
．
x
…
1
2
3
6
…
y
…
6
3
2
1
…
头
尾
A
B
C
a
b
c