福建省泉州第五中学九年级上学期12月月考数学试题-A4

这是一份福建省泉州第五中学九年级上学期12月月考数学试题-A4，共25页。试卷主要包含了若x−4有意义，则x的值可以是，抛物线y＝，下列各组中的四条线段，下列事件中，属于必然事件的是等内容，欢迎下载使用。
1．若x−4有意义，则x的值可以是（ ）
A．6B．1C．﹣1D．﹣2
2．抛物线y＝（x﹣1）2+4的顶点坐标是（ ）
A．（﹣1，4）B．（1，4）C．（1，﹣4）D．（﹣1，﹣4）
3．下列各组中的四条线段（单位：厘米）成比例线段的是（ ）
A．1、2、3、4B．2、3、4、6C．4、5、5、6D．1、2、5、20
4．下列事件中，属于必然事件的是（ ）
A．泉州明天会下大雨
B．在369个人中，一定有两个人在同日出生
C．打开电视机，正好在播新闻
D．小明这学期数学期末考试得分是146
5．如图，在正方形网格图中，△ABC与△A′B′C′是位似图形，则位似中心是（ ）
A．点RB．点PC．点QD．点O
6．如图，在△ABC中，DE为△ABC的中位线，△ADE的面积是3，则四边形BCED的面积为（ ）
A．3B．6C．9D．12
7．已知x1，x2是方程x2+2x﹣3＝0的两个根，则1x1+1x2的值为（ ）
A．32B．−32C．23D．−23
8．小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件，设该快递店揽件日平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A．200（1+x）2＝242B．200（1﹣x）2＝242
C．200（1+2x）＝242D．200（1﹣2x）＝242
9．如图，已知BC是⊙O的直径，半径OA⊥BC，点D在劣弧AC上（不与点A，点C重合），BD与OA交于点E，设∠AED＝α，∠AOD＝β，则以下关系式成立的是（ ）
A．2α+β＝180°B．2α﹣β＝90°C．3α+β＝180°D．3α﹣β＝90°
10．若将抛物线平移，有一个点既在平移前的抛物线上，又在平移后的抛物线上，则称这个点为“平衡点”．现将抛物线C1：y＝（x﹣2）2﹣4向右平移m（m＞0）个单位长度后得到新的抛物线C2，若（4，n）为“平衡点”，则m的值为（ ）
A．2B．1C．4D．3
二．填空题（共6小题，每小题4分，共24分）
11．⊙O半径为5cm，点A到圆心O距离为3cm，则A在⊙O .（填“上”、“外”或“内”）
12．已知ab=35，则代数式a+bb= ．
13．一个不透明的袋中装有6个白球和m个红球，这些球除颜色外无其他差别．充分搅匀后，从袋中随机取出一个球是白球的概率为25，则m＝ ．
14．如图，已知△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，E是AB的中点，若AC＝7，则DE的长为 ．
15．如图，在4×4网格正方形中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点，若△ABC的顶点均是格点，则tan∠BAC的值是 ．
16．如图，在矩形ABCD中，AD＝5，AB＝33，点E在AB上，AEEB=12，在矩形内找一点P．使得∠BPE＝60°，则BE＝ ，线段PD的最小值为 ．
三．解答题（共9小题）
17．（8分）计算：|2−2|−4sin45°+18−(12)−2+20240．
18．（8分）解方程：
（1）2x2+4x﹣1＝0； （2）x（x﹣2）+x﹣2＝0．
19．（8分）如图，在△ABC中，∠B＝36°，AB＝BC．
（1）尺规作图：在BC上取一个点D，使得BD＝AD；（尺规作图，保留作图痕迹）
（2）在（1）的基础上，连接AD，求证：AC2＝CD•BC．
20．（8分）为调查某市市民上班时最常用的交通工具的情况，随机抽取了部分市民进行调查，要求被调查者从“A：自行车；B：电动车；C：公交车；D：家庭汽车；E：其他”．五个选项中选择最常用的一项，将所有调查结果整理后绘制成如下不完整的条形统计图和扇形统计图，请结合统计图回答下列问题：
（1）在这次调查中，一共调查了 名市民，扇形统计图中，C组对应的扇形圆心角是 ．
（2）请补全条形统计图；
（3）若某企业共有18000名员工，请你估计该企业员工上班坐公交车的人数约有多少人？
21．（8分）如图，用一段77米的篱笆围成三个一边靠墙、大小相同的长方形羊圈，每个长方形都有一个1米的门，墙的最大可用长度为30米．
（1）如果羊圈的总面积为300平方米，求边AB的长；
（2）请问羊圈的总面积能为440平方米吗？若能，请求出边AB的长；若不能，请说明理由．
22．（10分）“为了安全，请勿超速”．如图，一条公路建成通车，在某路段MN上限速60千米小时，为了检测车辆是否超速，在公路MN旁设立了观测点C，从观测点C测得一小车从点A到达点B行驶了5秒，已知∠CBN＝60°，BC＝200米，AC=1006米．
（1）请求出观测点C到公路MN的距离；
（2）此车超速了吗？请说明理由．（参考数据：2≈1.41，3≈1.73）
23．（10分）【项目式学习】
【项目主题】自动旋转式洒水喷头灌溉蔬菜
【项目背景】寻找生活中的数学，九（1）班分四个小组，开展数学项目式实践活动，获取所有数据共享，对蔬菜喷水管建立数学模型．菜地装有1个自动旋转式洒水喷头灌溉蔬菜，如图1所示，观察喷头可顺、逆时针往返喷洒．
【项目素材】
素材一：甲小组在图2中建立合适的直角坐标系，喷水口中心O有一喷水管OA，从A点向外喷水，喷出的水柱最外层的形状为抛物线，以水平方向为x轴，点O为原点建立平面直角坐标系，点A（喷水口）在y轴上，x轴上的点D为水柱的最外落水点．
素材二：乙小组测得种植农民的身高为1.75米，他常常往返于菜地之间．
素材三：丙小组了解到需要给蔬菜大鹏里拉一层塑料薄膜用来保温保湿，以便蔬菜更好地生长．
【项目任务】
任务一：丁小组测量得喷水口中心点O到水柱的最外落水点D水平距离为7.6米，其中喷出的水的最高点正好经过一个直立木杆EF的顶部F处，木杆高EF＝4米，距离喷水口OE＝3.6米，求出水柱所在抛物线的函数解析式．
任务二：乙小组发现这位农民在与喷水口水平距离是P米时，不会被水淋到，求P的取值范围．
任务三：丙小组测量发现薄膜所在平面和地面的夹角是45°，截面如图3，求薄膜与地面接触点与喷水口的水平距离是多少米时，喷出的水与薄膜的距离至少是10厘米？（精确到0.1米）
（12分）（1）如图1，PQ是⊙O的直径，直线l是⊙O的切线，Q为切点．A，B是直线l上两点（不与点Q重合，且在直径PQ的两侧），连结PA，PB分别交于⊙O点C，点D．连结DQ．求证：△PCD∽△PBA．
（2）将图1中的直线l沿着QO方向平移，l与OQ交于点M，如图2．结论△PCD∽△PBA是否仍成立？若成立，请证明；若不成立，说明理由．
（3）在（1）的条件下，连结QC，得如图3，当tan∠CPD＝2，PAPB=52时，求QDQC的值．
25．（14分）如图，以AB为直径的⊙D与抛物线y＝ax2+bx+c交于点A、B、C，与y轴交于点E，点A、C的坐标分别是（﹣3，0）、（0，﹣3），过点B作y轴的垂线垂足为F（0，﹣4）．
（1）求线段CE的长；
（2）求抛物线的函数表达式；
（3）抛物线对称轴上是否存在点P，使⊙P与直线AB和x轴都相切？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
2
一．选择题（共10小题）
1．若x−4有意义，则x的值可以是（ ）
A．6B．1C．﹣1D．﹣2
【解答】解：∵x−4有意义，
∴x﹣4≥0，
解得x≥4．
故选：A．
2．抛物线y＝（x﹣1）2+4的顶点坐标是（ ）
A．（﹣1，4）B．（1，4）C．（1，﹣4）D．（﹣1，﹣4）
【解答】解：∵抛物线的解析式为：y＝（x﹣1）2+4，
∴其顶点坐标为（1，4）．
故选：B．
3．下列各组中的四条线段（单位：厘米）成比例线段的是（ ）
A．1、2、3、4B．2、3、4、6C．4、5、5、6D．1、2、5、20
【解答】解：A、4×1≠2×3，故本选项不符合题意；
B、2×6＝3×4，故本选项符合题意；
C、4×6≠5×5，故本选项不符合题意；
D、1×20≠2×5，故本选项不符合题意；
故选：B．
4．下列事件中，属于必然事件的是（ ）
A．泉州明天会下大雨
B．在369个人中，一定有两个人在同日出生
C．打开电视机，正好在播新闻
D．小明这学期数学期末考试得分是146
【解答】解：A、泉州明天会下大雨是随机事件，不符合题意；
B、在369个人中，一定有两个人在同日生日是必然事件，符合题意；
C、打开电视机，正好在播新闻是随机事件，不符合题意；
D、小明这学期数学期末考试得分146是不可能事件，不符合题意；
故选：B．
5．如图，在正方形网格图中，△ABC与△A′B′C′是位似图形，则位似中心是（ ）
A．点RB．点PC．点QD．点O
【解答】解：连接AA′，CC′，交于点O，
∴点O是位似中心，
故答案为：D．
6．如图，在△ABC中，DE为△ABC的中位线，△ADE的面积是3，则四边形BCED的面积为（ ）
A．3B．6C．9D．12
【解答】解：∵DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，DE=12BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴S△ADES△ABC=14，
∵△ADE的面积＝3，
∴S△ABC＝12，
则四边形BCED的面积＝12﹣3＝9．
故选：C．
7．已知x1，x2是方程x2+2x﹣3＝0的两个根，则1x1+1x2的值为（ ）
A．32B．−32C．23D．−23
【解答】解：根据题意得x1+x2＝﹣2，x1x2＝﹣3，
所以1x1+1x2=x1+x2x1x2=−2−3=23．
故选：C．
8．小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件，设该快递店揽件日平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A．200（1+x）2＝242B．200（1﹣x）2＝242
C．200（1+2x）＝242D．200（1﹣2x）＝242
【解答】解：根据题意，可列方程：200（1+x）2＝242，
故选：A．
9．如图，已知BC是⊙O的直径，半径OA⊥BC，点D在劣弧AC上（不与点A，点C重合），BD与OA交于点E，设∠AED＝α，∠AOD＝β，则以下关系式成立的是（ ）
A．2α+β＝180°B．2α﹣β＝90°C．3α+β＝180°D．3α﹣β＝90°
【解答】解：∵OA⊥BC，
∴∠COA＝∠AOB＝90°，
∵∠AOD＝β，
∴∠COD＝∠COA﹣∠AOD＝90°﹣β，
∵∠AED＝α，
∴∠OEB＝∠AED＝α，
∴∠B＝90°﹣∠OEB＝90°﹣α，
∵∠COD＝2∠B，
∴90°﹣β＝2（90°﹣α），
∴90°﹣β＝180°﹣2α，
∴2α﹣β＝90°，
故选：B．
10．若将抛物线平移，有一个点既在平移前的抛物线上，又在平移后的抛物线上，则称这个点为“平衡点”．现将抛物线C1：y＝（x﹣2）2﹣4向右平移m（m＞0）个单位长度后得到新的抛物线C2，若（4，n）为“平衡点”，则m的值为（ ）
A．2B．1C．4D．3
【解答】解：根据题意，将（4，n）代入抛物线C1：y＝（x﹣2）2﹣4，
得到：n＝（4﹣2）2﹣4＝0，
所以“平衡点”为（4，0）．
将抛物线C1：y＝（x﹣2）2﹣4向右平移m（m＞0）个单位得到新抛物线C2：y＝（x﹣2﹣m）2﹣4．
将（4，0）代入新抛物线C2：y＝（x﹣2﹣m）2﹣4，得0＝（4﹣2﹣m）2﹣4．
解得m＝4．
故选：C．
二．填空题（共6小题）
11．⊙O半径为5cm，点A到圆心O距离为3cm，则A在⊙O 内 .（填“上”、“外”或“内”）
【解答】解：∵⊙O的半径r＝5cm，A到圆心O距离d＝3cm，
∴d＜r，
∴A在⊙O内．
故答案为：内．
12．已知ab=35，则代数式a+bb= 85 ．
【解答】解：∵ab=35，
∴a=35b，
∴a+bb=35b+bb=85，
故答案为：85．
13．一个不透明的袋中装有6个白球和m个红球，这些球除颜色外无其他差别．充分搅匀后，从袋中随机取出一个球是白球的概率为25，则m＝ 9 ．
【解答】解：根据题意得：
66+m=25，
解得m＝9，
经检验，m＝9是原方程的解．
故答案为：9．
14．如图，已知△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，E是AB的中点，若AC＝7，则DE的长为 3.5 ．
【解答】解：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴D是BC的中点，
∵E是AB的中点，
∴DE是三角形中位线，
∵AC＝7，
∴DE＝3.5．
故答案为：3.5．
15．如图，在4×4网格正方形中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点，若△ABC的顶点均是格点，则tan∠BAC的值是 12 ．
【解答】解：连接BD，CD，
∵tan∠ACK＝tan∠DCM=12，
∴∠ACK＝∠DCM，
∵∠DCM+∠DCK＝180°，
∴∠ACK+∠DCK＝180°，
∴A、C、D共线，
∵CD2＝BD2＝22+12，BC2＝32+12，
∴BC2＝BD2+CD2，
∴∠BDC＝90°，
∵BD=5，AD=42+22=25，
∴tan∠BAC=BDAD=525=12．
故答案为：12．
16．如图，在矩形ABCD中，AD＝5，AB＝33，点E在AB上，AEEB=12，在矩形内找一点P．使得∠BPE＝60°，则BE＝ 23 ，线段PD的最小值为 27−2 ．
【解答】解：如图，在BE的上方，作△OEB，使得OE＝OB，∠EOB＝120°，连接OD，过点O作OQ⊥BE于Q，OJ⊥AD于J．
∵∠BPE=12∠EOB，
∴点P的运动轨迹是以O为圆心，OE为半径的⊙O，
∴当点P落在线段OD上时，DP的值最小，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，
∵AB＝33，AE：EB＝1：2，
∴BE＝23，
∵OE＝OB，∠EOB＝120°，OQ⊥EB，
∴EQ＝BQ=3，∠EOQ＝∠BOQ＝60°，
∴OQ＝1，OE＝2，
∵OJ⊥AD，OQ⊥AB，
∴∠A＝∠AJO＝∠AQO＝90°，
∴四边形AQOJ是矩形，
∴AJ＝OQ＝1，
JO＝AQ＝23，
∵AD＝5，
∴DJ＝AD﹣AJ＝4，
∴OD=JD2+OJ2=16+12=27，
∴PD的最小值＝OD﹣OP＝27−2，
故答案为：23，27−2．
三．解答题（共9小题）
17．计算：|2−2|−4sin45°+18−(12)−2+20240．
【解答】解：|2−2|−4sin45°+18−(12)−2+20240
＝2−2−4×22+32−4+1
＝2−2−22+32−4+1
＝﹣1．
18．解方程：
（1）2x2+4x﹣1＝0；
（2）x（x﹣2）+x﹣2＝0．
【解答】解：（1）这里a＝2，b＝4，c＝﹣1，
∵△＝16+8＝24，
∴x=−2±62；
（2）方程整理得：（x﹣2）（x+1）＝0，
可得x﹣2＝0或x+1＝0，
解得：x1＝2，x2＝﹣1．
19．如图，在△ABC中，∠B＝36°，AB＝BC．
（1）尺规作图：在BC上取一个点D，使得BD＝AD；（尺规作图，保留作图痕迹）
（2）在（1）的基础上，连接AD，求证：AC2＝CD•BC．
【解答】（1）解：如图1，作AB的垂直平分线MN，交BC于点D，点D就是所求的点．
理由：如图1，连结AD，
∵MN垂直平分AB，且点D在直线MN上，
∴BD＝AD，
∴点D就是所求的点．
（2）证明：如图2，连接AD，
∵AB＝BC，∠B＝36°，
∴∠BAC＝∠C=12×（180°﹣36°）＝72°，
∵BD＝AD，
∴∠DAB＝∠B＝36°，
∴∠CAD＝72°﹣36°＝36°，
∵∠C＝∠C，∠CAD＝∠B，
∴△DAC∽△ABC，
∴ACBC=CDAC，
∴AC2＝CD•BC．
20．为调查某市市民上班时最常用的交通工具的情况，随机抽取了部分市民进行调查，要求被调查者从“A：自行车；B：电动车；C：公交车；D：家庭汽车；E：其他”．五个选项中选择最常用的一项，将所有调查结果整理后绘制成如下不完整的条形统计图和扇形统计图，请结合统计图回答下列问题：
（1）在这次调查中，一共调查了 2000 名市民，扇形统计图中，C组对应的扇形圆心角是 108° ．
（2）请补全条形统计图；
（3）若某企业共有18000名员工，请你估计该企业员工上班坐公交车的人数约有多少人？
【解答】解：（1）本次调查的市民有：800÷40%＝2000（人），
扇形统计图中，C组对应的扇形圆心角是：2000−100−800−200−3002000×360°＝108°，
故答案为：2000，108°；
（2）选择C的市民有：2000﹣100﹣800﹣200﹣300＝600（人），
补全的条形统计图如图所示；
（3）18000×6002000=5400（人），
答：该企业员工上班坐公交车的人数约有5400人．
21．如图，用一段77米的篱笆围成三个一边靠墙、大小相同的长方形羊圈，每个长方形都有一个1米的门，墙的最大可用长度为30米．
（1）如果羊圈的总面积为300平方米，求边AB的长；
（2）请问羊圈的总面积能为440平方米吗？若能，请求出边AB的长；若不能，请说明理由．
【解答】解：（1）设边AB的长为x米，则AD＝77﹣4x+3＝（80﹣4x）米，
根据题意可得x（80﹣4x）＝300，
解得x1＝5，x2＝15，
∵墙的最大可用长度为30米，且当x＝5时，AD＝80﹣4×5＝60（米），不合题意，
∴x＝15米．
答：边AB的长为15米；
（2）若羊圈的总面积能为440平方米，
则结合（1）可得 x（80﹣4x）＝440，
整理，得 x2﹣20x+110＝0，
∵Δ＝（﹣20）2﹣4×1×110＝﹣40＜0，
∴羊圈的总面积不能为440平方米．
22．“为了安全，请勿超速”．如图，一条公路建成通车，在某路段MN上限速60千米小时，为了检测车辆是否超速，在公路MN旁设立了观测点C，从观测点C测得一小车从点A到达点B行驶了5秒，已知∠CBN＝60°，BC＝200米，AC=1006米．
（1）请求出观测点C到公路MN的距离；
（2）此车超速了吗？请说明理由．（参考数据：2≈1.41，3≈1.73）
【解答】解：（1）过点C作CH⊥MN于H，
在Rt△BCH中，
∵∠CBN＝60°，
∴∠BCH＝30°．
∵BC＝200米
∴BH=12BC=100米，
∴CH=BC2−BH2=1003米，
即观测点C到公路MN的距离为1003米．
（2）∵AC=1006米，∠CHA＝90°，
∴AH=CA2−CH2=1003米，
∴AB=AH−BH=1003−100≈73（米），
∴车速为73÷5=735（米/秒），
∵60千米/小时=503米秒，735＜503，
∴此车没有超速．
23．【项目式学习】
【项目主题】自动旋转式洒水喷头灌溉蔬菜
【项目背景】寻找生活中的数学，九（1）班分四个小组，开展数学项目式实践活动，获取所有数据共享，对蔬菜喷水管建立数学模型．菜地装有1个自动旋转式洒水喷头灌溉蔬菜，如图1所示，观察喷头可顺、逆时针往返喷洒．
【项目素材】
素材一：甲小组在图2中建立合适的直角坐标系，喷水口中心O有一喷水管OA，从A点向外喷水，喷出的水柱最外层的形状为抛物线，以水平方向为x轴，点O为原点建立平面直角坐标系，点A（喷水口）在y轴上，x轴上的点D为水柱的最外落水点．
素材二：乙小组测得种植农民的身高为1.75米，他常常往返于菜地之间．
素材三：丙小组了解到需要给蔬菜大鹏里拉一层塑料薄膜用来保温保湿，以便蔬菜更好地生长．
【项目任务】
任务一：丁小组测量得喷水口中心点O到水柱的最外落水点D水平距离为7.6米，其中喷出的水的最高点正好经过一个直立木杆EF的顶部F处，木杆高EF＝4米，距离喷水口OE＝3.6米，求出水柱所在抛物线的函数解析式．
任务二：乙小组发现这位农民在与喷水口水平距离是P米时，不会被水淋到，求P的取值范围．
任务三：丙小组测量发现薄膜所在平面和地面的夹角是45°，截面如图3，求薄膜与地面接触点与喷水口的水平距离是多少米时，喷出的水与薄膜的距离至少是10厘米？（精确到0.1米）
【解答】解：任务一、∵最高点F（3.6，4），
设水柱所在抛物线的函数解析式为：y＝a（x﹣3.6）2+4（a≠0）．
由题意得：抛物线经过点D的坐标为（7.6，0）．
∴a（7.6﹣3.6）2+4＝0．
解得a=−14，
∴水柱所在抛物线的函数解析式为：y=−14（x﹣3.6）2+4；
任务二、当y＝1.75时，−14（x﹣3.6）2+4＝1.75．
解得：x1＝0.6，x2＝6.6．
∴0.6＜p＜6.6．
任务三、
薄膜所在平面可看成是一条直线MN．
∵薄膜所在平面和地面的夹角是45°，
∴薄膜所在平面的直线解析式为：y＝﹣x+b．
当薄膜所在直线与水柱所在抛物线相切时，
y=−x+by=−14(x−3.6)2+4，
∴x2﹣11.2x+（4b﹣3.04）＝0．
∵只有一个交点，
∴（﹣11.2）2﹣4×（4b﹣3.04）＝0．
∴b＝8.6．
∴y＝﹣x+8.6．
∴直线与x轴的交点为（8.6，0）．
过点MF⊥MN于点M，且MF＝0.1m，过点F作M′N′∥MN，交x轴于点M′．
∴∠MFM′＝90°．
由题意得：∠MM′F＝45°，
∴MM′=MFsin45°≈0.1414（米）．
∴OM′＝8.6+0.1414≈8.7（米）
答：薄膜与地面接触点与喷水口的水平距离为8.7米．
24．（1）如图1，PQ是⊙O的直径，直线l是⊙O的切线，Q为切点．A，B是直线l上两点（不与点Q重合，且在直径PQ的两侧），连结PA，PB分别交于⊙O点C，点D．连结DQ．求证：△PCD∽△PBA．
（2）将图1中的直线l沿着QO方向平移，l与OQ交于点M，如图2．结论△PCD∽△PBA是否仍成立？若成立，请证明；若不成立，说明理由．
（3）在（1）的条件下，连结QC，得如图3，当tan∠CPD＝2，PAPB=52时，求QDQC的值．
【解答】解：（1）∵PD=PD，
∴∠PCD＝∠PQD，
∵直线l是⊙O的切线，
∴∠PQB＝90°，
∴∠PQD+∠BQD＝90°，
∵PQ是⊙O的直径，
∴∠PDQ＝∠BDQ＝90°，
∴∠BQD+∠QBD＝90°，
∴∠QBD＝∠PQD＝∠PCD，
∵∠CPD＝∠BPA，
∴△PCD∽△PBA；
（2）△PCD∽△PBA成立．
由平移得，平移前后的l平行，
∴图2中的∠ABD等于图1中的∠QBD，
∴∠ABD＝∠PCD，
∵∠CPD＝∠BPA，
∴△PCD∽△PAB；
（3）如图，做DM⊥PC于M，延长CQ、PD交于点N，
∵tan∠CPD＝2，
∴MD：PM＝2：1，
设PM为单位1，
∴DM＝2，PD=12+22=5，
∵△PCD∽△PAB，
∴PD：PC＝PA：PB=5：2，
∴PC＝2，
∴MC＝1，
∴MD垂直平分PC，
∴DC＝DP，
∴∠PQD＝∠PCD＝∠CPD，
∴tan∠PQD＝2，
∴PD：DQ＝2：1，
∴CQ=52，
∵∠DQN＝∠CPD，
∴∠DQN＝∠PQD，
∵PQ为直径，
∴∠QDP＝∠QDN＝90°，
∵QD＝QD，
∴△PQD≌△NQD（ASA），
∴PQ＝NQ，
∵tan∠CPD＝2，
∴NC：PC＝2：1，
∴CN＝4，
∴PQ＝QN＝4﹣CQ，
在Rt△PQC中，PC2+CQ2＝PQ2，即22+CQ2＝（4﹣CQ）2，
∴CQ=32，
∴QDQC=5232=53．
25．如图，以AB为直径的⊙D与抛物线y＝ax2+bx+c交于点A、B、C，与y轴交于点E，点A、C的坐标分别是（﹣3，0）、（0，﹣3），过点B作y轴的垂线垂足为F（0，﹣4）．
（1）求线段CE的长；
（2）求抛物线的函数表达式；
（3）抛物线对称轴上是否存在点P，使⊙P与直线AB和x轴都相切？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
【解答】解：（1）过点D作OF的垂线，垂足为H，
∵BF⊥y轴，
∴BF∥DH∥AO，
∴OHHF=ADDB=1，
∵OF＝4，
∴OH＝2，
∵OC＝3，
∴CH＝OC﹣OH＝1，
∵DH⊥EC，
∴CE＝2CH＝2；
（2）连接AC、BC，
∵OA＝OC，∠AOC＝90°，
∴∠ACO＝45°，
∵AB是⊙D的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BFC＝45°，
∴BF＝CF＝FO﹣CO＝1，
∴点B的坐标是（﹣1，﹣4），
将A （﹣3，0）、B （﹣1，﹣4）、C （0，﹣3）代入得
9a−3b+c=0a−b+c=−4c=−3，
∴a=1b=2c=−3，
∴y＝x2+2x﹣3；
（3）存在点P，使⊙P与直线AB和x轴都相切，理由如下：
∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，
设存在点P（﹣1，m），
∴BP＝m+4，
过点P作x轴的垂线，垂足为G，PN＝PG＝|m|，
∵AG＝2，BG＝4，
∴AB=25，
∵⊙P与直线AB和x轴都相切，
∴sin∠ABP=PNBP=AGAB，即|m|m+4=225，
∴m=±5+1，
∴存在点P(−1，5+1)或(−1，−5+1)．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
B
B
B
D
C
C
A
B
C