福建省泉州市第六中学九年级上学期12月月考数学试题-A4

这是一份福建省泉州市第六中学九年级上学期12月月考数学试题-A4，共22页。试卷主要包含了下列函数一定是二次函数的是，对于二次函数y＝﹣2，已知A等内容，欢迎下载使用。
1．下列诗句所描述的事件中，是不可能事件的是（ ）
A．手可摘星辰B．黄河入海流
C．大漠孤烟直D．鱼戏莲叶东
2．下列函数一定是二次函数的是（ ）
A．y=x+13B．y＝3（x﹣1）2
C．y＝ax2+bx+cD．y＝2x+1
3．“泉州市明天降水的概率是15%”，对此消息下列说法中正确的是（ ）
A．泉州市明天将有15%的地区降水
B．泉州市明天将有15%的时间降水
C．泉州市明天降水的可能性较小
D．泉州市明天肯定不降水
4．把抛物线y＝2x2先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，所得抛物线的函数表达式为（ ）
A．y＝2（x+3）2+4B．y＝2（x+3）2﹣4
C．y＝2（x﹣3）2﹣4D．y＝2（x﹣3）2+4
5．国家决定对某药品价格分两次降价，若设平均每次降价的百分率为x，该药品原价为18元，降价后的价格为y元，则y与x的函数关系式为（ ）
A．y＝36（1﹣x）B．y＝36（1+x）
C．y＝18（1﹣x）2D．y＝18（1+x2）
6．对于二次函数y＝﹣2（x﹣3）2﹣1，下列说法正确的是（ ）
A．图象的开口向上
B．图象的对称轴是直线x＝﹣3
C．图象的顶点是（3，﹣1）
D．当x＞3时，y随x的增大而增大
7．根据下列表格中二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数值y的对应值，判断方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是（ ）
A．6＜x＜6.17B．6.17＜x＜6.18
C．6.18＜x＜6.19D．6.19＜x＜6.20
8．已知A（﹣1，y1），B（1，y2），C（4，y3）三点都在二次函数y＝2（x﹣1）2+k的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y3＜y1＜y2D．y2＜y1＜y1
9．在同一坐标系中一次函数y＝ax+b（a≠0）和二次函数y＝ax2+bx（a≠0）的图象可能为（ ）
A．B．
C．D．
10．关于x的一元二次方程ax2+bx+12=0有一个根是﹣1，若二次函数y＝ax2+bx+12的图象的顶点在第一象限，设t＝2a+b，则t的取值范围是（ ）
A．14＜t＜12B．−1＜t≤14C．−12≤t＜12D．−1＜t＜12
二．填空题（共6小题）
11．抛物线y＝﹣3（x﹣1）2﹣2的对称轴是直线 ．
12．请写出一个开口向上且顶点坐标为（0，1）的抛物线的解析式 ．
13．一个不透明的盒子里有形状、大小相同的黄球2个、红球3个，从盒子里任意摸出1个球，摸到红球的概率是 ．
14．下列二次函数①y=−2x2，②y=14x2，③y=x2的图象，开口大小从大到小排列是 .（填对应的序号）
15．已知二次函数y＝﹣（x﹣h）2+1（h为常数），当自变量x的值满足2≤x≤5时，与其对应的函数值y的最大值为﹣3，则h的值为 ．
16．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，下列结论：
①abc＞0；②b2＞4ac；③a（m2﹣1）+b（m﹣1）＜0（m≠1）；④关于x的方程|ax2+bx+c|＝1有四个根，且这四个根的和为8．其中正确的结论有 （请写出所有正确结论的序号）．
三．解答题（共9小题）
17．根据下列条件，分别求出相应的二次函数表达式．
（1）二次函数图象的顶点为（﹣1，3），图象经过（2，9）；
（2）二次函数图象经过（﹣3，0）、（1，0）、（0，﹣3）．
18．在一个不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的球．其中红球3个，白球5个，黑球若干个，若从中任意摸出一个白球的概率是 13．
（1）求盒子中黑球的个数；
（2）求任意摸出一个球是黑球的概率；
（3）能否通过只改变盒子中白球的数量，使得任意摸出一个球是红球的概率为 14，若能，请写出如何调整白球数量；若不能，请说明理由．
19．某校为落实国家“双减”政策，丰富课后服务内容，为学生开设五类社团活动（要求每人必须参加且只参加一类活动）：A．音乐社团；B．体育社团；C．美术社团；D．文学社团；E．电脑编程社团．该校为了解学生对这五类社团活动的喜爱情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．
根据图中信息，解答下列问题：
（1）此次调查一共随机抽取了 名学生，补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）；
（2）扇形统计图中圆心角α＝ 度；
（3）现从“文学社团”里表现优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中随机选取两名参加演讲比赛，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲和乙两名同学的概率．
20．已知二次函数y＝﹣x2+2x．
（1）用配方法化为y＝a（x﹣h）2+k的形式；
（2）该二次函数图象的顶点坐标为 ；
（3）如图，用五点画图法在给出的坐标系中画出该二次函数的图象；
（4）根据图象，直接写出当﹣1＜x＜2时，y的取值范围．
21．如图①，一个可调节高度的喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线．图②是喷射出的水流在平面直角坐标系中的示意图，其中喷灌架置于点O处，喷水头的高度（喷水头距喷灌架底部的距离）设置的是1米，当喷射出的水流距离喷水头水平距离为8米时，达到最大高度5米．
（1）求水流运行轨迹的函数解析式；
（2）若在距喷灌架12米处有一棵3.5米高的果树，问：水流是否会碰到这棵果树？请通过计算说明．
22．如图，学校课外兴趣活动小组准备利用长为8m的墙AB和一段长为26m的篱笆围建一个矩形苗圃园．如果矩形苗圃园的一边由墙AB和一节篱笆BF构成，另三边由篱笆ACDF围成，设平行于墙一边CD长为x m．
（1）当苗圃园的面积为60m2时，求x的值．
（2）当x为何值时，所围苗圃园的面积最大？最大面积是多少？
23．第31届世界大学生夏季运动会定于2022年6月26日至7月7日在成都举办，这是继北京、深圳之后，中国大陆第三次举办世界大学生夏季运动会．某超市购进了一批以大运会为主题的纪念品进行销售，购进价为7元/个，为了调查这种纪念品的销路，该超市进行了试销售，得知该产品每天的销售量y（个）与每个的销售价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）该超市规定这种纪念品每个的售价不得低于8元，且不超过15元，设该超市每天销售这种纪念品能获得的利润为W元，当销售单价为多少元时，该超市可获得最大利润？最大利润是多少元？
24．如图，抛物线y＝﹣x2+mx与直线y＝x+b交于点A和点B，直线AB与y轴交于点C（0，﹣1）．
（1）求抛物线的解析式及顶点坐标．
（2）求点A的坐标，并结合图象直接写出关于x的不等式﹣x2+mx≤x+b的解集．
（3）若关于x的方程﹣x2+mx＝n在﹣1≤x≤1的范围内只有一个实数根或两个相等的实数根，直接写出n的取值范围．
25．已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴只有一个公共点．
（1）若抛物线过点P（0，1），求a+b的最小值；
（2）已知点P1（﹣2，1），P2（2，﹣1），P3（2，1）中恰有两点在抛物线上．
①求抛物线的解析式；
②设直线l：y＝kx+1与抛物线交于M，N两点，点A在直线y＝﹣1上，且∠MAN＝90°，过点A且与x轴垂直的直线分别交抛物线和l于点B，C．求证：△MAB与△MBC的面积相等．
一．选择题（共10小题）
1．下列诗句所描述的事件中，是不可能事件的是（ ）
A．手可摘星辰B．黄河入海流
C．大漠孤烟直D．鱼戏莲叶东
【解答】解：A、手可摘星辰是不可能事件，符合题意；
B、黄河入海流是必然事件，不符合题意；
C、大漠孤烟直是随机事件，不符合题意；
D、鱼戏莲叶东是随机事件，不符合题意；
故选：A．
2．下列函数一定是二次函数的是（ ）
A．y=x+13B．y＝3（x﹣1）2
C．y＝ax2+bx+cD．y＝2x+1
【解答】解：根据二次函数的定义得：A、C、D不是二次函数，B是二次函数，
故选：B．
3．“泉州市明天降水的概率是15%”，对此消息下列说法中正确的是（ ）
A．泉州市明天将有15%的地区降水
B．泉州市明天将有15%的时间降水
C．泉州市明天降水的可能性较小
D．泉州市明天肯定不降水
【解答】解：“泉州市明天降水的概率是15%”表示泉州市明天降水的可能性较小．
故选：C．
4．把抛物线y＝2x2先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，所得抛物线的函数表达式为（ ）
A．y＝2（x+3）2+4B．y＝2（x+3）2﹣4
C．y＝2（x﹣3）2﹣4D．y＝2（x﹣3）2+4
【解答】解：把抛物线y＝2x2先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，所得抛物线的函数解析式为y＝2（x+3）2+4．
故选：A．
5．国家决定对某药品价格分两次降价，若设平均每次降价的百分率为x，该药品原价为18元，降价后的价格为y元，则y与x的函数关系式为（ ）
A．y＝36（1﹣x）B．y＝36（1+x）
C．y＝18（1﹣x）2D．y＝18（1+x2）
【解答】解：原价为18，
第一次降价后的价格是18×（1﹣x）；
第二次降价是在第一次降价后的价格的基础上降价的为：18×（1﹣x）×（1﹣x）＝18（1﹣x）2．
则函数解析式是：y＝18（1﹣x）2．
故选：C．
6．对于二次函数y＝﹣2（x﹣3）2﹣1，下列说法正确的是（ ）
A．图象的开口向上
B．图象的对称轴是直线x＝﹣3
C．图象的顶点是（3，﹣1）
D．当x＞3时，y随x的增大而增大
【解答】解：∵y＝﹣2（x﹣3）2﹣1，
∴a＝﹣2＜0，开口向下，顶点（3，﹣1），对称轴是直线x＝3，
当x＞3时，y随x的增大而减小．
故选：C．
7．根据下列表格中二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数值y的对应值，判断方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是（ ）
A．6＜x＜6.17B．6.17＜x＜6.18
C．6.18＜x＜6.19D．6.19＜x＜6.20
【解答】解：观察表格可知：当x＝6.18时，y＝﹣0.01；当x＝6.19时，y＝0.02，
∴方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是6.18＜x＜6.19．
故选：C．
8．已知A（﹣1，y1），B（1，y2），C（4，y3）三点都在二次函数y＝2（x﹣1）2+k的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y3＜y1＜y2D．y2＜y1＜y1
【解答】解：当x＝﹣1时，y1＝2×（﹣1﹣1）2+k＝8+k；
当x＝1时，y2＝2×（1﹣1）2+k＝k；
当x＝4时，y3＝2×（4﹣1）2+k＝18+k．
∵k＜8+k＜18+k，
∴y2＜y1＜y3．
故选：B．
9．在同一坐标系中一次函数y＝ax+b（a≠0）和二次函数y＝ax2+bx（a≠0）的图象可能为（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：A、由抛物线可知，a＜0，b＜0，由直线可知，a＞0，b＞0，故选项不符合题意；
B、由抛物线可知，a＜0，b＞0，由直线可知，a＜0，b＜0，故选项不符合题意；
C、由抛物线可知，a＞0，b＜0，由直线可知，a＞0，b＜0，故选项符合题意；
D、由抛物线可知，a＞0，b＞0，由直线可知，a＞0，b＜0，故选项不符合题意．
故选：C．
10．关于x的一元二次方程ax2+bx+12=0有一个根是﹣1，若二次函数y＝ax2+bx+12的图象的顶点在第一象限，设t＝2a+b，则t的取值范围是（ ）
A．14＜t＜12B．−1＜t≤14C．−12≤t＜12D．−1＜t＜12
【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2+bx+12=0有一个根是﹣1，
∴二次函数y＝ax2+bx+12的图象过点（﹣1，0），
∴a﹣b+12=0，
∴b＝a+12，
而t＝2a+b，
∴t＝2a+a+12=3a+12，
∵二次函数y＝ax2+bx+12的图象的顶点在第一象限，
∴a＜0，Δ＝b2﹣4ac＝a2+14+a﹣2a＝（a−12）2≥0，−b2a＞0，
∴b＞0，
∴a+12＞0，
∴a＞−12，
∴−12＜a＜0，
∴﹣1＜3a+12＜12，
∴﹣1＜t＜12，
故选：D．
二．填空题（共6小题）
11．抛物线y＝﹣3（x﹣1）2﹣2的对称轴是直线 x＝1 ．
【解答】解：∵y＝﹣3（x﹣1）2﹣2，
∴此函数的对称轴就是直线x＝1．
故答案为：x＝1．
12．请写出一个开口向上且顶点坐标为（0，1）的抛物线的解析式 y＝2x2+1（答案不唯一） ．
【解答】解：设抛物线的表达式为：y＝ax2+1．
由开口向上，知a＞0，
故a为任意大于0的实数，如令a＝2，
则抛物线的解析式为y＝2x2+1．
故答案为：y＝2x2+1（答案不唯一）．
13．一个不透明的盒子里有形状、大小相同的黄球2个、红球3个，从盒子里任意摸出1个球，摸到红球的概率是 35 ．
【解答】解：盒子里面有黄球2个、红球3个，一共5个，
从盒子里任意摸到1个红球的概率是35．
故答案为：35．
14．下列二次函数①y=−2x2，②y=14x2，③y=x2的图象，开口大小从大到小排列是 ②③① .（填对应的序号）
【解答】解：∵|﹣2|＞|1|＞|14|，二次项系数的绝对值越大，抛物线开口越小，
∴开口大小从大到小排列是②③①，
故答案为：②③①．
15．已知二次函数y＝﹣（x﹣h）2+1（h为常数），当自变量x的值满足2≤x≤5时，与其对应的函数值y的最大值为﹣3，则h的值为 0或7 ．
【解答】解：∵函数图象开口方向向下，
∴当x＜h时，y随x增大而增大，当x＞h时，y随x增大而减小，
∴①若h＜2≤x≤5，当x＝2时，y取最大值﹣3，
可得：﹣3＝﹣（2﹣h）2+1，
解得h＝0或4（舍去），
②若2≤x≤5＜h，当x＝5时，y取最大值﹣3，
可得：﹣3＝﹣（5﹣h）2+1，
解得h＝7或3（舍去），
∵2≤h≤5时，y的最大值为1，
∴不符合题意，
综上，h的值为0或7，
故答案为：0或7．
16．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，下列结论：
①abc＞0；②b2＞4ac；③a（m2﹣1）+b（m﹣1）＜0（m≠1）；④关于x的方程|ax2+bx+c|＝1有四个根，且这四个根的和为8．其中正确的结论有 ②③ （请写出所有正确结论的序号）．
【解答】解：①∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，开口向下，对称轴为x＝1，
∴a＜0，−b2a=1，
∴b＝﹣2a，
∴b＞0，
∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象与y轴的交点在正半轴，
∴c＞0，
∴abc＜0，
故结论①错误，不符合题意；
②二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴有两个不同的交点，
当y＝0时，ax2+bx+c＝0有两个不同的实数根，
∴b2﹣4ac＞0，
即：b2＞4ac，
故结论②正确，符合题意；
③二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象开口向下，对称轴为x＝1，
∴当x＝1时，y＝ax2+bx+c有最大值a+b+c，
∵当x＝m（m≠1）时，y＝am2+bm+c，
∴am2+bm+c＜a+b+c，
即：a（m2﹣1）+b（m﹣1）＜0（m≠1），
故结论③正确，符合题意；
④∵|ax2+bx+c|＝1，
∴ax2+bx+c＝1或ax2+bx+c＝﹣1，
∵ax2+bx+c＝1的两根为二次函数图象与y＝1图象的两交点的横坐标，
∴设两根为x1，x2，
∵二次函数的对称轴为x＝1，
∴x1+x22=1，
∴x1+x2＝2，
同理，设ax2+bx+c＝﹣1的两根为x3，x4，
∴x3+x42=1，
∴x3+x4＝2，
∴x1+x2+x3+x4＝4，
故结论④错误，不符合题意，
综上所述，正确的结论为②③，
故答案为：②③．
三．解答题（共9小题）
17．根据下列条件，分别求出相应的二次函数表达式．
（1）二次函数图象的顶点为（﹣1，3），图象经过（2，9）；
（2）二次函数图象经过（﹣3，0）、（1，0）、（0，﹣3）．
【解答】解：（1）设函数表达式为y＝a（x+1）2+3，其中a≠0．
由图象经过（2，9），得9＝a（2+1）2+3．
解得a=23．
∴该二次函数表达式为y=23(x+1)2+3或y=23x2+43x+113．
（2）设函数表达式为y＝a（x+3）（x﹣1），其中a≠0．
由图象经过（0，﹣3），得﹣3＝﹣3a．
解得a＝1．
∴y＝（x+3）（x﹣1）＝x2+2x﹣3．
∴所求二次函数表达式为y＝x2+2x﹣3．
18．在一个不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的球．其中红球3个，白球5个，黑球若干个，若从中任意摸出一个白球的概率是 13．
（1）求盒子中黑球的个数；
（2）求任意摸出一个球是黑球的概率；
（3）能否通过只改变盒子中白球的数量，使得任意摸出一个球是红球的概率为 14，若能，请写出如何调整白球数量；若不能，请说明理由．
【解答】解：（1）∵红球3个，白球5个，黑球若干个，从中任意摸出一个白球的概率是13，
∴5÷13=15，
故盒子中黑球的个数为：15﹣3﹣5＝7；
（2）任意摸出一个球是黑球的概率为：715；
（3）能；
∵任意摸出一个球是红球的概率为14，
∴可以将盒子中的白球拿出3个（方法不唯一）．
19．某校为落实国家“双减”政策，丰富课后服务内容，为学生开设五类社团活动（要求每人必须参加且只参加一类活动）：A．音乐社团；B．体育社团；C．美术社团；D．文学社团；E．电脑编程社团．该校为了解学生对这五类社团活动的喜爱情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．
根据图中信息，解答下列问题：
（1）此次调查一共随机抽取了 200 名学生，补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）；
（2）扇形统计图中圆心角α＝ 54 度；
（3）现从“文学社团”里表现优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中随机选取两名参加演讲比赛，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲和乙两名同学的概率．
【解答】解：（1）此次调查一共随机抽取的学生人数为：50÷25%＝200（名），
∴C的人数为：200﹣30﹣50﹣70﹣20＝30（名），
故答案为：200，
补全条形统计图如下：
（2）扇形统计图中圆心角α＝360°×30200=54°，
故答案为：54；
（3）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中恰好选中甲和乙两名同学的结果有2种，
∴恰好选中甲和乙两名同学的概率为212=16．
20．已知二次函数y＝﹣x2+2x．
（1）用配方法化为y＝a（x﹣h）2+k的形式；
（2）该二次函数图象的顶点坐标为 （1，1） ；
（3）如图，用五点画图法在给出的坐标系中画出该二次函数的图象；
（4）根据图象，直接写出当﹣1＜x＜2时，y的取值范围．
【解答】解：（1）y＝﹣x2+2x＝﹣（x﹣1）2+1；
（2）由（1）得：该函数图象的顶点坐标为（1，1）；
故答案为：（1，1）
（3）解：列表如下：
画出该二次函数的图象如下：
（4）根据图象，当﹣1＜x＜2时，y的取值范围为﹣3＜y≤1．
21．如图①，一个可调节高度的喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线．图②是喷射出的水流在平面直角坐标系中的示意图，其中喷灌架置于点O处，喷水头的高度（喷水头距喷灌架底部的距离）设置的是1米，当喷射出的水流距离喷水头水平距离为8米时，达到最大高度5米．
（1）求水流运行轨迹的函数解析式；
（2）若在距喷灌架12米处有一棵3.5米高的果树，问：水流是否会碰到这棵果树？请通过计算说明．
【解答】解：（1）由题可知：抛物线的顶点为（8，5），
设水流形成的抛物线为y＝a（x﹣8）2+5，
将点（0，1）代入可得a=−116，
∴抛物线为：y=−116（x﹣8）2+5．
（2）不能，理由如下：
当x＝12时，y=−116（12﹣8）2+5＝4＞3.5，
∴水流不能碰到这棵果树．
22．如图，学校课外兴趣活动小组准备利用长为8m的墙AB和一段长为26m的篱笆围建一个矩形苗圃园．如果矩形苗圃园的一边由墙AB和一节篱笆BF构成，另三边由篱笆ACDF围成，设平行于墙一边CD长为x m．
（1）当苗圃园的面积为60m2时，求x的值．
（2）当x为何值时，所围苗圃园的面积最大？最大面积是多少？
【解答】解：（1）∵篱笆的总长为26m，平行于墙一边CD长为x m，
∴垂直于墙一边CA长为26+8−2x2=（17﹣x）m，
根据题意得，（17﹣x）x＝60，
整理得x2﹣17x+60＝0，
解得x1＝5（不符合题意，舍去），x2＝12，
答：x的值为12；
（2）设苗圃园的面积为S m2，
S＝（17﹣x）x＝﹣x2+17x，
当x＝8.5m时，S最大＝72.25m2，
答：当x的值为8.5m时，所围苗圃园的面积最大，最大面积是72.25m2．
23．第31届世界大学生夏季运动会定于2022年6月26日至7月7日在成都举办，这是继北京、深圳之后，中国大陆第三次举办世界大学生夏季运动会．某超市购进了一批以大运会为主题的纪念品进行销售，购进价为7元/个，为了调查这种纪念品的销路，该超市进行了试销售，得知该产品每天的销售量y（个）与每个的销售价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）该超市规定这种纪念品每个的售价不得低于8元，且不超过15元，设该超市每天销售这种纪念品能获得的利润为W元，当销售单价为多少元时，该超市可获得最大利润？最大利润是多少元？
【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，将（10，30），（20，10）代入得：
10k+b=3020k+b=10，
解得k=−2b=50，
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣2x+50；
（2）根据题意知：W＝（x﹣7）（﹣2x+50）＝﹣2x2+64x﹣350＝﹣2（x﹣16）2+162，
∵﹣2＜0，对称轴为直线x＝16，
∴8≤x≤15时，W随x的增大而增大，
∴x＝15时，W取最大值，最大值为﹣2×（15﹣16）2+162＝160（元），
答：当销售单价为15元时，该超市可获得最大利润，最大利润是160元．
24．如图，抛物线y＝﹣x2+mx与直线y＝x+b交于点A和点B，直线AB与y轴交于点C（0，﹣1）．
（1）求抛物线的解析式及顶点坐标．
（2）求点A的坐标，并结合图象直接写出关于x的不等式﹣x2+mx≤x+b的解集．
（3）若关于x的方程﹣x2+mx＝n在﹣1≤x≤1的范围内只有一个实数根或两个相等的实数根，直接写出n的取值范围．
【解答】解：（1）将点C（0，﹣1）代入y＝x+b，
∴b＝﹣1，
∴y＝x﹣1．
当y＝0时，x﹣1＝0，
解得x＝1，
∴点B（1，0），
∵B点在抛物线上，
∴将点B（1，0）代入y＝﹣x2+mx，得﹣12+m＝0，
∴m＝1，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x，
∵y=−x2+x=−(x−12)2+14，
∴顶点坐标为(12，14)；
（2）∵A点是直线y＝x﹣1与抛物线y＝﹣x2+x的交点在第三象限，
∴y=−x2+xy=x−1，
∴﹣x2+x＝x﹣1，
解得x＝1（不符合题意，舍去）或x＝﹣1，
∴x＝﹣1，
∴y＝﹣1﹣1＝﹣2，
∴点A的坐标为（﹣1，﹣2），
∵不等式﹣x2+mx≤x+b的解集，在图象上可看作抛物线在直线下方的部分所对应的x的范围，
∴观察图象，得不等式﹣x2+mx≤x+b的解集为x≤﹣1或x≥1；
（3）方程﹣x2+mx＝n在﹣1≤x≤1的范围内只有一个实数根，可以理解为抛物线y＝﹣x2+x与直线y＝n在﹣1≤x≤1的范围内只有一个交点，
如图，当﹣2≤n＜0时，直线y＝n与抛物线y＝﹣x2+x始终有一个交点；
当直线y＝n经过抛物线顶点时，直线y＝n与抛物线y＝﹣x2+x有一个交点，
∴n的取值范围为﹣2≤n＜0或n=14．
25．已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴只有一个公共点．
（1）若抛物线过点P（0，1），求a+b的最小值；
（2）已知点P1（﹣2，1），P2（2，﹣1），P3（2，1）中恰有两点在抛物线上．
①求抛物线的解析式；
②设直线l：y＝kx+1与抛物线交于M，N两点，点A在直线y＝﹣1上，且∠MAN＝90°，过点A且与x轴垂直的直线分别交抛物线和l于点B，C．求证：△MAB与△MBC的面积相等．
【解答】解：（1）把P（0，1）代入解析式得：c＝1，
∴y＝ax2+bx+1，
又∵抛物线与x轴只有一个公共点，
∴Δ＝b2﹣4a＝0，即a=b24，
∴a+b=14b2+b=14(b+2)2−1，
当b＝﹣2时，a+b有最小值为﹣1；
（2）①∵抛物线与x轴只有一个公共点，
∴抛物线上的顶点在x轴上，
∴抛物线上的点为P1，P3，
又∵P1，P3关于y轴对称，
∴顶点为原点（0，0），
设解析式为y＝ax2，
代入点P1得：y=14x2，
②证明：
联立直线l和抛物线得：
y=14x2y=kx+1，
即：x2﹣4kx﹣4＝0，
设M（x1，kx1+1），N（x2，kx2+1），
由韦达定理得：x1+x2＝4k，x1x2＝﹣4，
设线段MN的中点为T，设A的坐标为（m，﹣1），
则T的坐标为（2k，2k2+1），
∴AT2＝（2k﹣m）2+（2k2+2）2，
由题意得：MN2=(x1−x2)2+(kx1−kx2)2=16(k4+2k2+1)，
∵△MAN是直角三角形，且MN是斜边，
∴12MN=AT，即：14MN2=AT2，
∴14×16（k4+2k2+1）＝（2k﹣m）2+（2k2+2）2，
解得m＝2k，
∴A（2k，﹣1），
∴B（2k，k2），
∴C（2k，2k2+1），
∵2k2+1+(−1)2=k2，
∴B是AC的中点，
∴AB＝BC，
又∵△MAB与△MBC的高都是点M到直线AC的距离，
∴△MAB与△MBC的高相等，
∴△MAB与△MBC的面积相等．
x
6.17
6.18
6.19
6.20
y＝ax2+bx+c
﹣0.05
﹣0.01
0.02
0.04
x
﹣1
0
1
2
3
y





题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
B
C
A
C
C
C
B
C
D
x
6.17
6.18
6.19
6.20
y＝ax2+bx+c
﹣0.05
﹣0.01
0.02
0.04
x
﹣1
0
1
2
3
y
﹣3
0
1
0
﹣3
x
﹣1
0
1
2
3
y
﹣3
0
1
0
﹣3