福建省泉州五中九年级下学期第五次月考数学试卷-A4

这是一份福建省泉州五中九年级下学期第五次月考数学试卷-A4，共23页。试卷主要包含了下列说法错误的是等内容，欢迎下载使用。
1．负数的概念最早记载于我国古代著作《九章算术》．若零上20℃记作+20℃，则零下30℃应记作（ ）
A．﹣30℃B．﹣10℃C．+10℃D．+30℃
2．某校为了了解学生的视力情况，从全校3000名学生中，随机抽取了200名学生进行调查，在这次调查中（ ）
A．3000名学生是总体
B．抽取的200名学生是总体的一个样本
C．3000名是样本容量
D．抽取的200名学生视力是总体的一个样本
3．全国绿化委员会办公室发布的《2023年中国国土绿化状况公报》显示，2023年全国完成国土绿化任务超800万公顷，其中造林3998000公顷．将3998000用科学记数法表示应为（ ）
A．3.998×107B．3.998×106C．3998×103D．3.998×103
4．观察如图所示的某物体的三视图，请说出该物体的名称（ ）
A．三棱锥B．长方体C．三棱柱D．不能确定
5．下列说法错误的是（ ）
A．若a＝b，则a+c＝b+cB．若a＝b，则a﹣c＝b﹣c
C．若ac＝bc，则a＝bD．若ac=bc，则a＝b
6.在平面直角坐标系中，点A（a²+11，-2）在（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
7．已知矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，下列条件中能判定四边形ABCD是正方形的是（ ）
A．OA＝OCB．OA＝OBC．AB⊥BCD．OA⊥OB
8．若关于x的方程m−1x−1−xx−1=0有增根，则m的值是（ ）
A．3B．2C．1D．﹣1
9．甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2400米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离y（米）与甲出发的时间t（分）之间的关系如图所示，下列说法错误的是（ ）
A．乙用12分钟追上甲
B．乙追上甲后，再走1440米才到达
C．甲乙两人之间的最远距离是300米
D．甲到终点时，乙已经在终点处休息了6分钟
10．已知在平面直角坐标系中，抛物线C1：y＝ax2﹣4ax+k（a、k为常数，且a＞0）与y轴交点的纵坐标大于2，将抛物线C1向左平移1个单位长度得到抛物线C2，若点A（k﹣1，y1），B（k+1，y2）均在抛物线C2上，则下列结论正确的是（ ）
A．y1＞y2B．y1＝y2C．y1＜y2D．y1•y2＜0
二．填空题（共6小题，每小题4分，共24分）
11．单项式−3πxny5的系数是 ．
12．直线y＝﹣3x+2过点P（a，b），则3a+b+2023值为 ．
13．（13）﹣1+18−6sin45°= ．
14.今年冬天哈尔滨的冰雪旅游是继夏天的淄博烧烤之后的新旅游热点，南方游客纷纷打卡哈尔滨冰雪大世界．一位游客乘滑雪板沿坡度为t＝1：3的斜坡滑行30米，则他下降的高度为 米．
15．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，∠APC＝30°，点P是OA的中点，且AP＝2，则CD＝ ．
16．如图，点E为正方形ABCD对角线BD上一点，连接CE，延长CE交AB于点G，作EF⊥CE交AD于F（AF＞DF），连接FG，若BC＝6，GF＝5，则线段BE长为 ．
三．解答题（共9小题，共86分）
17．（8分）解方程组：2x−3y=53x−y=4
18．（8分）先化简，再求值：[（x﹣y）2+（x﹣y）（x+y）]÷2x，其中x＝﹣3，y＝15．
19．（8分）如图，四边形AEFD是平行四边形，C是EF边上一点，点B在FE的延长线上，且CF＝BE．∠B=90°
求证：四边形ABCD是矩形；
20．（8分）央视一套《三餐四季》节目播出，主持人撒贝宁、王嘉宁和嘉宾刘玉栋、方志忠、顾中一等组成寻味团，探索莆田当地美食．其中有“莆田卤面”、“妈祖平安面”、“豆浆炒米粉”、“焖豆腐”．
（1）小湄想从以上这4道美食中随机选择1道品尝，则她选中“妈祖平安面”的概率为 ；
（2）新春来临，某商场举行美食节活动，拟从这4道美食中选择2道作为美食节经典菜肴，若用A、B、C、D分别表示“莆田卤面”、“妈祖平安面”、“豆浆炒米粉”、“焖豆腐”，请用画树状图或列表的方法求出恰好选中“莆田卤面”，“豆浆炒米粉”的概率．
21．（8分）请根据以下素材，完成下列问题：
（1）若按方案一购买，同学们需付款 元；若按方案二购买，同学们需付款 元；（用含x的式子表示）
（2）请通过计算说明同学们按照哪种方案购买更划算？
22．（10分）如图，在平面直角坐标系中放置一块45°角的三角板ABC，∠BAC＝90°，A，B两点分别落在x轴和y轴上，直线AB的解析式为y＝﹣2x+2，AB右侧有一条直线l∥AB且过AC的中点
（1）用尺规作出直线（保留作图痕迹，不写作法）．
（2）若直线l与BC边交于点D，双曲线y=kx经过点D，求出k的值．
23．(10分）某校项目式学习小组以“借助太阳光线测量大楼高度”开展主题活动，他们计划携带测量仪器、标杆、测角仪等工具，确定方法后先画出测量示意图，然后实地进行测量，并得到具体数据，从而计算大楼的高度．如图1是某一次（同一时刻）测量活动场景抽象出的平面几何图形，大楼抽象为线段AB，已知AB⊥CF，CD⊥CF，点F，B，E，C在一条直线上．下面是两组测量数据：
请你帮他们解决如下问题：
（1）请依据第一组的数据计算大楼的高度AB．（参考数据：sin79.7°≈1.0，cs79.7°≈0.2，tan79.7°≈5.5）
（2）请判断两组同学的最后结果是否一致，并说明理由．
（3）学习小组进一步计划去郊外进行测绘实践活动“测量山坡两侧点N与点M的高度差”，因山坡的遮挡，两点无法用眼睛直接观测到，于是他们先画出如图2所示的测绘图纸，在点M，N处分别竖直安置经纬仪PM和QN，且PM＝QN，用无人机辅助测得PG与水平线的夹角α1＝53°，QG与水平线的夹角α2＝27°，PG＝70米，QG＝90米．请你根据以上数据求点N与点M的高度差．
（参考数据：sin53°≈0.8，cs53°≈0.6，tan53°≈1.3，sin27°≈0.5，cs27°≈0.9，tan27°≈0.5）
24．（12分）【问题情境】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ACB＝α，点D在边BC上，将线段DB绕点D顺时针旋转得到线段DE（旋转角小于180°），连接BE，CE，以CE为底边在其上方作等腰三角形FEC，使∠FCE＝α，连接AF．
【特例感知】
（1）如图1，当α＝60°时，则AF与BE的数量关系为 ；
【尝试探究】（2）如图2，写出AF与BE的数量关系（用含α的三角函数表示），并说明理由；
【拓展应用】（3）如图4，当α＝30°，且点B，E，F三点共线时，若BC=47，BD=15BC，请直接写出AF的长．
25．（14分）已知抛物线：y＝ax2+bx+c（a＞0），交x轴于A、B、与y轴的交点C在负半轴．
（1）若A（﹣1，0），B（3，0），OB＝OC．
①求抛物线的解析式．
②若P（x1，y1）在对称轴右侧抛物线上，且△APC为锐角三角形，求x1的取值范围．
（2）如图2，D在y轴上点C的下方，过D的直线DE、DF与抛物线y＝ax2+bx+c都只有唯一公共点E、F，EF交y轴于Q，EM∥x轴交y轴于N，交FM∥y轴交EM于M，求QNME．
一．选择题（共10小题）
1．负数的概念最早记载于我国古代著作《九章算术》．若零上20℃记作+20℃，则零下30℃应记作（ ）
A．﹣30℃B．﹣10℃C．+10℃D．+30℃
【解答】解：“正”和“负”相对，所以，若零上20℃记作+20℃，则零下30℃应记作﹣30℃．
故选：A．
2．某校为了了解学生的视力情况，从全校3000名学生中，随机抽取了200名学生进行调查，在这次调查中（ ）
A．3000名学生是总体
B．抽取的200名学生是总体的一个样本
C．3000名是样本容量
D．抽取的200名学生视力是总体的一个样本
【解答】解：A、3000名学生的视力情况是总体，而不是3000名学生是总体，此选项错误；
B、抽取的200名学生的视力情况是总体的一个样本，而不是200名学生是总体的一个样本，此选项错误；
C、样本容量是200，而不是3000，此选项错误；
D、抽取的200名学生视力是总体的一个样本，此选项正确．
故选：D．
3．全国绿化委员会办公室发布的《2023年中国国土绿化状况公报》显示，2023年全国完成国土绿化任务超800万公顷，其中造林3998000公顷．将3998000用科学记数法表示应为（ ）
A．3.998×107B．3.998×106C．3998×103D．3.998×103
【解答】解：3998000＝3.998×106．
故选：B．
4．观察如图所示的某物体的三视图，请说出该物体的名称（ ）
A．三棱锥B．长方体C．三棱柱D．不能确定
【解答】解：根据主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形可得：
该物体的名称为三棱柱．
故选：C．
5．下列说法错误的是（ ）
A．若a＝b，则a+c＝b+cB．若a＝b，则a﹣c＝b﹣c
C．若ac＝bc，则a＝bD．若ac=bc，则a＝b
【解答】解：A、两边都加c，结果不变，故A不符合题意；
B、两边都减C，结果不变，故C不符合题意；
C、c＝0时，则由ac＝bc，不能得到a＝b，故C符合题意；
D、两边都乘以c，结果不变，故D不符合题意；
故选：C．
6.在平面直角坐标系中，点A（a²+11，-2）在（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【解答】解：∵a²+11＞0，-2＜0
∴点A在第四象限
故选：D
7．已知矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，下列条件中能判定四边形ABCD是正方形的是（ ）
A．OA＝OCB．OA＝OBC．AB⊥BCD．OA⊥OB
【解答】解：∵矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，
∴OA＝OC＝OB＝OD，AB⊥BC，根据正方形的判定定理逐项判断如下：
A，OA＝OC，不能判定四边形ABCD是正方形；
B，OA＝OB，不能判定四边形ABCD是正方形；
C，AB⊥BC，不能判定四边形ABCD是正方形；
D，OA⊥OB，由对角线互相垂直的矩形为正方形，能判定四边形ABCD是正方形．
故选：D．
8．若关于x的方程m−1x−1−xx−1=0有增根，则m的值是（ ）
A．3B．2C．1D．﹣1
【解答】解：方程两边都乘（x﹣1），得
m﹣1﹣x＝0，
∵方程有增根，
∴最简公分母x﹣1＝0，即增根是x＝1，
把x＝1代入整式方程，得m＝2．
故选：B．
9．甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2400米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离y（米）与甲出发的时间t（分）之间的关系如图所示，下列说法错误的是（ ）
A．乙用12分钟追上甲
B．乙追上甲后，再走1440米才到达
C．甲乙两人之间的最远距离是300米
D．甲到终点时，乙已经在终点处休息了6分钟
【解答】解：16﹣4＝12（分），
∴乙用12分钟追上甲，
∴A正确，不符合题意；
甲的速度为240÷4＝60（米/分），
乙追上甲时，二人离起点的距离为2400﹣60×16＝1440（米），
∴乙追上甲后，再走1440米才到达，
∴B正确，不符合题意；
乙的速度为60×16÷（16﹣4）＝80（米/分），
乙到达终点所用的时间为2400÷80＝30（分），
当乙到达终点时甲走的路程为60×（30+4）＝2040（米），
当乙到达终点时，甲、乙二人的距离最远，为2400﹣2040＝360（米），
∴C错误，符合题意；
∵当乙到达终点时甲走的路程为2040米，
∴甲还需要（2400﹣2040）÷60＝6（分）到达终点，
∴甲到终点时，乙已经在终点处休息了6分钟，
∴D正确，不符合题意．
故选：C．
10．已知在平面直角坐标系中，抛物线C1：y＝ax2﹣4ax+k（a、k为常数，且a＞0）与y轴交点的纵坐标大于2，将抛物线C1向左平移1个单位长度得到抛物线C2，若点A（k﹣1，y1），B（k+1，y2）均在抛物线C2上，则下列结论正确的是（ ）
A．y1＞y2B．y1＝y2C．y1＜y2D．y1•y2＜0
【解答】解：∵抛物线C1：y＝ax2﹣4ax+k（a、k为常数，且a＞0）与y轴交点的纵坐标大于2，
∴k＞2，
∵抛物线C1：y＝ax2﹣4ax+k＝a（x﹣2）2﹣4a+k
∴将抛物线C1向左平移1个单位长度得到抛物线C2，则抛物线C2：y＝a（x﹣1）2﹣4a+k，
∵a＞0，
∴抛物线C2的开口向上，对称轴为直线x＝1，
∵点A（k﹣1，y1），B（k+1，y2）均在抛物线C2：y＝a（x﹣1）2﹣4a+k上，且k−1+k+12=k＞2，
∴点A（k﹣1，y1）到对称轴的距离小于点B（k+1，y2）到对称轴的距离，
∴y1＜y2，
故选：C．
二．填空题（共6小题）
11．单项式−3πxny5的系数是 −3π5 ．
【解答】解：单项式−3πxny5的系数是−3π5，
故答案为：−3π5．
12．直线y＝﹣3x+2过点P（a，b），则3a+b+2023值为 2028 ．
【解答】解：将点P（a，b）代入，
得到：﹣3a+2＝b，
即：3a+b＝2，
∴3a+b+2023＝2+2023＝2025．
故答案为：2025．
13．计算：（13）﹣1+18−6sin45°．
【解答】解：原式＝3+32−6×22
＝3+32−32
＝3．
14.今年冬天哈尔滨的冰雪旅游是继夏天的淄博烧烤之后的新旅游热点，南方游客纷纷打卡哈尔滨冰雪大世界．一位游客乘滑雪板沿坡度为t＝1：3的斜坡滑行30米，则他下降的高度为 15 米．
【解答】解：设他下降的高度AC为x米，
∵斜坡的坡度为i＝1：3，
∴这位同学滑行的是水平距离BC为3x米，
由勾股定理得：AC2+BC2＝AB2，即x2+（3x）2＝302，
解得：x＝±15（负值舍去），
∴他下降的高度为15米，
故答案为：15．
15.如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，∠APC＝30°，点P是OA的中点，且AP＝2，则CD＝ 215 ．
【解答】解：如图，作OH⊥CD于H，连接OC，
∵OH⊥CD，
∴HC＝HD，则CD＝2CH，
∵AP＝2，点P是OA的中点，
∴AP＝OP＝2，则OA＝OB＝4，
∴AB＝8，则OC＝4，
∵OH⊥CD，∠APC＝30°，则∠OPH＝30°，
∴OH=12OP=1，
在Rt△OHC中，
∵OC＝4，OH＝1，
∴CH=OC2−OH2=15，
∴CD=2CH=215．
故答案为：215．
16．如图，点E为正方形ABCD对角线BD上一点，连接CE，延长CE交AB于点G，作EF⊥CE交AD于F（AF＞DF），连接FG，若BC＝6，GF＝5，则线段BE长为 22 ．
【解答】解：如图，连接CF，延长AB到H，使得BH＝DF，连接CH，作EJ⊥AB于J，EK⊥BC于K．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠CDF＝∠DCB＝∠ABC＝∠CBH＝90°，CB＝CD，
∵DF＝BH，
∴△CDF≌△CBH（SAS），
∴∠DCF＝∠BCH，CF＝CH，
∴∠FCH＝∠DCB＝90°，
∵EF⊥CG，
∴∠CEF＝∠CDF＝90°，
∴C，D，F，E四点共圆，
∴∠ECF＝∠EDF＝45°，
∴∠GCF＝∠GCH＝45°，
∵CF＝CH，CG＝CG，
∴△GCF≌△GCH（SAS），
∴FG＝GH＝5，设BG＝x，则DF＝5﹣x，
在Rt△AGF中，∵AG2+AF2＝FG2，
∴（6﹣x）2+（x+1）2＝52，
解得x＝2（舍弃）或3，
BG＝3，
∵∠EBJ＝∠EBK＝45°，EJ⊥AB，EK⊥BC，
∴EJ＝EK，设EJ＝EK＝m，
∴S△CBG=12•BG•BC=12•BG•EJ+12•BC•EK，
∴3×6＝3m+6m，
∴m＝2，
∵BE=BK2+EK2=22+22=22，
故答案为22．
三．解答题（共9小题）
17．解方程组：2x−3y=53x−y=4
【解答】解：2x−3y=5①3x−y=4②，
②×3﹣①，得7x＝7，
解得x＝1，
把x＝1代入②，得3﹣y＝4，
∴y＝﹣1，
∴方程组的解为x=1y=−1；
18．先化简，再求值：[（x﹣y）2+（x﹣y）（x+y）]÷2x，其中x＝﹣3，y＝15．
【解答】解：原式＝（x2﹣2xy+y2+x2﹣y2）÷2x
＝（2x2﹣2xy）÷2x
＝x﹣y，
当x＝﹣3，y＝15时，
原式＝3﹣15＝﹣18．
19．如图，四边形AEFD是平行四边形，C是EF边上一点，点B在FE的延长线上，且CF＝BE．∠B=90°
求证：四边形ABCD是矩形；
【解答】（1）证明：∵四边形AEFD是平行四边形，
∴AD∥BC，AE＝DF，AD=EF
∵CF＝BE，
∴BC=AD，
∴四边形ABCD是平行四边形；
∵∠B=90°
∴四边形ABCD是矩形；
20．央视一套《三餐四季》节目播出，主持人撒贝宁、王嘉宁和嘉宾刘玉栋、方志忠、顾中一等组成寻味团，探索莆田当地美食．其中有“莆田卤面”、“妈祖平安面”、“豆浆炒米粉”、“焖豆腐”．
（1）小湄想从以上这4道美食中随机选择1道品尝，则她选中“妈祖平安面”的概率为 14 ；
（2）新春来临，某商场举行美食节活动，拟从这4道美食中选择2道作为美食节经典菜肴，若用A、B、C、D分别表示“莆田卤面”、“妈祖平安面”、“豆浆炒米粉”、“焖豆腐”，请用画树状图或列表的方法求出恰好选中“莆田卤面”，“豆浆炒米粉”的概率．
【解答】解：（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中她选中“妈祖平安面”的结果有1种，
∴她选中“妈祖平安面”的概率为14．
故答案为：14．
（2）列表如下：
共有12种等可能的结果，其中恰好选中“莆田卤面”，“豆浆炒米粉”的结果有：（A，C），（C，A），共2种，
∴恰好选中“莆田卤面”，“豆浆炒米粉”的概率为212=16．
21．请根据以下素材，完成下列问题：
（1）若按方案一购买，同学们需付款 90x 元；若按方案二购买，同学们需付款 85x+45 元；（用含x的式子表示）
（2）请通过计算说明同学们按照哪种方案购买更划算？
【解答】解：（1）100×0.9x＝90x（元），
若按方案一购买，同学们需付款元；
100×3+0.85×100（x﹣3）＝85x+45（元），
若按方案二购买，同学们需付款（85x+45）元．
故答案为：90x，（85x+45）；
（2）根据题意，得
90x＞85x+45，解得x＞9．
90x＝85x+45，解得x＝9．
90x＜85x+45，解得x＜9．
∴当3＜x＜9时，同学们按照方案一购买更划算；当x＝9时，同学们按照方案一和方案二购买费用一样；当x＞9时，同学们按照方案二购买更划算．
22．如图，在平面直角坐标系中放置一块45°角的三角板ABC，∠BAC＝90°，A，B两点分别落在x轴和y轴上，直线AB的解析式为y＝﹣2x+2，AB右侧有一条直线l∥AB且过AC的中点
（1）用尺规作出直线（保留作图痕迹，不写作法）．
（2）若直线l与BC边交于点D，双曲线y=kx经过点D，求出k的值．
【解答】解：作线段AC的垂直平分线即可，如图示：
（2）如图，作CF⊥x轴，垂足为F，
在△ABO和△CAF中，
∠AOB=∠CFA∠OAB=∠FCAAB=AC，
∴△ABO≌△CAF（AAS），
∴OA＝CF＝1，OB＝AF＝2，
∴C（3，1），
根据（2）作图可知，直线l∥AB，
∴点D为线段BC的中点，
∴xD=0+32=32，yD=2+12=32，
∴D（32，32），
∵点D（32，32）在双曲线y=kx图象上，
∴k=32×32=94．
23．某校项目式学习小组以“借助太阳光线测量大楼高度”开展主题活动，他们计划携带测量仪器、标杆、测角仪等工具，确定方法后先画出测量示意图，然后实地进行测量，并得到具体数据，从而计算大楼的高度．如图1是某一次（同一时刻）测量活动场景抽象出的平面几何图形，大楼抽象为线段AB，已知AB⊥CF，CD⊥CF，点F，B，E，C在一条直线上．下面是两组测量数据：
请你帮他们解决如下问题：
（1）请依据第一组的数据计算大楼的高度AB．（参考数据：sin79.7°≈1.0，cs79.7°≈0.2，tan79.7°≈5.5）
（2）请判断两组同学的最后结果是否一致，并说明理由．
（3）学习小组进一步计划去郊外进行测绘实践活动“测量山坡两侧点N与点M的高度差”，因山坡的遮挡，两点无法用眼睛直接观测到，于是他们先画出如图2所示的测绘图纸，在点M，N处分别竖直安置经纬仪PM和QN，且PM＝QN，用无人机辅助测得PG与水平线的夹角α1＝53°，QG与水平线的夹角α2＝27°，PG＝70米，QG＝90米．请你根据以上数据求点N与点M的高度差．
（参考数据：sin53°≈0.8，cs53°≈0.6，tan53°≈1.3，sin27°≈0.5，cs27°≈0.9，tan27°≈0.5）
【解答】解：（1）如图1所示，过点D作DG⊥AB于点G，
又∵AB⊥CF，CD⊥CF，
∴四边形CDGB是矩形，
∴BG＝CD＝2m，GD＝BC＝6m，
在Rt△AGD中，AG＝GD•tan∠ADG＝6×5.5＝33m，
∴AB＝AG+BG＝33+2＝35m；
（2）两组同学的最后结果一致，理由如下，
根据第二组数据计算：依题意，△ABF∽△DCE，
∴ABDC=BFCE，
∴AB2=24.51.4，
解得：AB＝35
（3）如图2，过点G作GH⊥l于点H，过点P作PE⊥GH于点E，过点Q作QF⊥GH于点F，
在Rt△PGE中，GE＝PG•sinα1＝70×sin53°≈56（米），
在Rt△QGF中，sinα2=GFQG，
∴GF＝QG•sinα2＝90×sin27°≈45.0（米），
∴GE﹣GF≈56﹣45.0＝11（米）．
答：点N与点M的高度差为11米．
24．【问题情境】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ACB＝α，点D在边BC上，将线段DB绕点D顺时针旋转得到线段DE（旋转角小于180°），连接BE，CE，以CE为底边在其上方作等腰三角形FEC，使∠FCE＝α，连接AF．
【特例感知】
（1）如图1，当α＝60°时，则AF与BE的数量关系为 AF＝BE ；
【尝试探究】（2）如图2，写出AF与BE的数量关系（用含α的三角函数表示），并说明理由；
【拓展应用】（3）如图4，当α＝30°，且点B，E，F三点共线时，若BC=47，BD=15BC，请直接写出AF的长．
【解答】解：（1）∵α＝60°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC，
∵△FCE为等腰三角形，∠FCE＝60°，
∴△FEC是等边三角形，
∴CE＝CF，
∵∠BCE+∠ACE＝∠ACF+∠ACE＝60°，
∴∠BCE＝∠ACF，
在△BCE与△ACF中，
BC=AC∠BCE=∠ACFCE=CF，
∴△BCE≌△ACF（SAS），
∴AF＝BE，
故答案为：AF＝BE；
（2）BE＝2csαAF；理由如下：
如图2，过点A作AH⊥BC于点H，
∵AB＝AC，∠ACB＝α，
∴∠ABC＝∠ACB＝α，
∴∠BAC＝180°﹣2α．
∵△FEC是以CE为底边的等腰三角形，∠FCE＝α，
∴∠FEC＝∠FCE＝α，∠ACB＝∠FCE＝α．
∴∠EFC＝180°﹣2α．
∴∠BAC＝∠EFC．
∴△ABC∽△FEC．
∴BCEC=ACFC．
∴BCAC=ECFC．
∵∠ACB＝∠FCE＝α，
∴∠BCE＝∠ACF．
∴△BCE∽△ACF．
∴BEAF=BCAC．
∵AB＝AC，H为BC的中点，
∴BC＝2CH．
在Rt△AHC中，∠AHC＝90°，
∴cs∠ACH=csα=CHAC．
∴BEAF=2CHAC=2csα．
∴BE＝2csαAF．
（3）AF=433．理由如下：
如图3，过点D作DM⊥BF于点M，过点C作CH⊥BF，交BF延长线于点H，
∴∠BMD＝∠H＝90°．
∴DM∥CH．
∵线段DB绕点D顺时针旋转得到线段DE，
∴DB＝DE．
∴BM＝EM．
∵△FEC是以CE为底边的等腰三角形，∠FCE＝30°，
∴FE＝FC，∠FEC＝∠FCE＝30°．
∴∠HFC＝∠FEC+∠FCE＝60°．
∴∠HCF＝180°﹣∠H﹣∠HFC＝30°．
∴FC＝2FH．
∵FE＝FC，
∴FE＝2FH．
设BM＝x，则BE＝2x，
∵DM∥CH，
∴BMBH=BDBC=15，
∴BH＝5BM＝5x．
∴EH＝BH﹣BE＝3x．
∵FE＝2FH，
∴FE＝FC＝2x，FH＝x．
∴HC=FC2−FH2=3x．
在Rt△BHC中，∠BHC＝90°，BC=47，
∴BH2+CH2＝BC2．
∴(5x)2+(3x)2=(47)2，解得x＝2．
∴BE＝2x＝4．
∵BE＝2csαAF，
∴AF=33BE=433．
25．已知抛物线：y＝ax2+bx+c（a＞0），交x轴于A、B、与y轴的交点C在负半轴．
（1）若A（﹣1，0），B（3，0），OB＝OC．
①求抛物线的解析式．
②若P（x1，y1）在对称轴右侧抛物线上，且△APC为锐角三角形，求x1的取值范围．
（2）如图2，D在y轴上点C的下方，过D的直线DE、DF与抛物线y＝ax2+bx+c都只有唯一公共点E、F，EF交y轴于Q，EM∥x轴交y轴于N，交FM∥y轴交EM于M，求QNME．
【解答】解：（1）①∵B（3，0），OB＝OC，
∴点C（0，﹣3），
将A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3），代入y＝ax2+bx+c（a＞0），
得：0=a−b+c0=9a+3b+cc=−3，
解得：a=1b=−2c=−3，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
②如图：
∵A（﹣1，0），P(x1，x12−2x1−3)，C（0，﹣3），
∴AC2＝12+32＝10，
AP2=(x1+1)2+(x12−2x1−3)2，
CP2=x12+(x12−2x1)2，
当∠PAC＝90°时，CP2﹣AP2＝AC2，
∴[x12+(x12−2x1)2]−[(x1+1)2+(x12−2x1−3)2]=10，
整理得：6x12−14x1−20=0，
解得：x1＝﹣1（与点A重合，舍去）或x1=103；
当∠PCA＝90°时，AP2﹣CP2＝AC2，
∴[（x+1）2+（x12−2x﹣3）2]﹣[x12+（x12−2x）2]＝10，
整理得：6x12−14x1=0，
解得：x1＝0（与点C重合，舍去）或x1=73，
∴△APC为锐角三角形，x1的取值范围73＜x1＜103；
（2）设D点坐标为（0，m），E（e，ae2+be+c），F（f，af2+bf+c），
∵D点在C点下方，
∴m＜c，
直线DE的解析式为y=ae2+be+c−mex+m，
直线DF的解析式为y=af2+bf+c−mfx+m，
直线EF的解析式为y＝（ae﹣af+b）x+aef+c，
∵直线DE与抛物线y＝ax2+bx+c有唯一交点，
∴ax2+bx+c=ae2+be+c−mex中Δ＝0，
∴Δ＝（ae+c−me）2﹣4a（c﹣m）＝0，
∵直线DF与抛物线y＝ax2+bx+c有唯一交点，
∴ax2+bx+c=af2+bf+c−mfx+m中Δ＝0，
∴Δ＝（af+c−mf）2﹣4a（c﹣m）＝0，
∴（ae+c−me）2＝（ae+c−me）2，
∴aef＝c﹣m或e+f＝0，
∵ef＜0，a＞0，c﹣m＞0，
∴e+f＝0，
∴直线EF的解析式为y＝bx+ae2+c，
∴Q（0，ae2+c），
∵ME＝﹣2e，NQ＝be，
∴QNME=−b2．
如何选择购买方案？
素材一
抖音直播带货成为当下网络销售的主要渠道之一，某服装直播带货平台针对某款防晒衣开展促销活动，该款防晒衣售价为100元．
小明和几位同学都喜欢这款防晒衣，打算一起购买x件，且x＞3．
素材二
该服装直播带货平台开展促销活动时，向顾客提供了两种优惠方案：
方案一：所购防晒衣一律打九折；
方案二：所购防晒衣超出三件的，则超出三件以上的部分打八五折．
第一组
第二组
①标杆DC＝2.0m；
②标杆底部到楼底部的距离BC＝6.0m；
③从D点看A点的仰角为79.7°．
①标杆DC＝2.0m；
②标杆的影长CE＝1.4m；
③大楼的影长BF＝24.5m．
A
B
C
D
A
（A，B）
（A，C）
（A，D）
B
（B，A）
（B，C）
（B，D）
C
（C，A）
（C，B）
（C，D）
D
（D，A）
（D，B）
（D，C）
如何选择购买方案？
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第一组
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②标杆底部到楼底部的距离BC＝6.0m；
③从D点看A点的仰角为79.7°．
①标杆DC＝2.0m；
②标杆的影长CE＝1.4m；
③大楼的影长BF＝24.5m．