福建省泉州第五中学九年级上学期月考数学试题（5）（解析版）-A4

这是一份福建省泉州第五中学九年级上学期月考数学试题（5）（解析版）-A4，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（单项选择，每小题4分，共40分，在答题卡上相应题目的答题区域内作答）
1. 点到轴的距离是（ ）
A. 3B. 5C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据点到y轴的距离是横坐标的绝对值，即可解答．
【详解】解：点到轴的距离是，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了点到坐标轴的距离，解题的关键是掌握点到y轴距离等于横坐标的绝对值，点到x轴距离等于纵坐标的绝对值．
2. 如果，那么下列比例式中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了比例的性质，利用比例的性质对各选项进行判断．
【详解】解：∵，
∴，故选项A错误；
，故选项B错误，选项D正确；
不存在，故选项C错误；．
故选：D．
3. 如图所示，每个小正方形的边长均为1，则下列A、B、C、D四个图中的3三角形（阴影部分）与相似的是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据相似三角形的判定，易得出的三边的边长，故只需分别求出各选项中三角形的边长，分析两三角形对应边是否成比例即可．
【详解】解：∵小正方形的边长为1，
∴在中，，
A．三边各为：3，，与中的三边不能对应成比例，故两三角形不相似；
B．三边各为：1，，与中的三边不能对应成比例，故两三角形不相似；
C．三边各为：1，，与中的三边对应成比例，故两三角形相似；
D．三边各为：2，，与中的三边不能对应成比例，故两三角形不相似．
故选：C．
4. 如图，是的直径，，若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了弧与圆心角的关系，根据，得出，即可得出答案．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
故选：C．
5. 对抛物线y=－x2＋2x－3而言，下列结论正确的是（ ）
A. 与x轴有两个交点B. 开口向上
C. 与y轴交点坐标是(0，3)D. 顶点坐标是(1，-2)
【答案】D
【解析】
【分析】根据判别式的符号，可判断图象与x轴的交点情况，根据二次项系数可判断开口方向，令函数式中x=0，可求图象与y轴的交点坐标，利用配方法可求图象的顶点坐标．
【详解】解：A、∵△=22-4×（-1）×（-3）=-8＜0，抛物线与x轴无交点，本选项错误；
B、∵二次项系数-1＜0，抛物线开口向下，本选项错误；
C、当x=0时，y=-3，抛物线与y轴交点坐标为（0，-3），本选项错误；
D、∵y=-x2+2x-3=-（x-1）2-2，∴抛物线顶点坐标为（1，-2），本选项正确．
故选D．
6. 如图，已知D、E分别是中、边上的点，且，的周长2，则的周长为（ ）
A. 4B. 6C. 8D. 18
【答案】B
【解析】
【分析】由，可证，得出周长的比等于相似比，即可得出答案．
详解】解：，
，，
，
，
，
的周长2，
的周长为6．
故选B．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形周长的比等于相似比是解题的关键．
7. 在中，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据三角函数求出，利用勾股定理求出，再根据公式求出答案．
【详解】解：∵在中，，，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】此题考查了三角形函数的应用，勾股定理，熟记角的三角函数值的计算公式是解题的关键．
8. 如图，在中，，点D为边中点，连接，已知，，则的值为（ ）
A. B. C. D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】由余弦函数求得，根据直角三角形斜边中线的性质求得，推出，据此求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，点D为边中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了解直角三角形，直角三角形斜边中线的性质勾股定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
9. 如图，为圆O一条弦，交于N，交劣弧于点D，在圆上取一点C，连接交于M，连接，若，M平分，且，则（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由圆周角定理得到，则是等边三角形，得到，求出的长，再求出的长，由勾股定理求出的长即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∵，
∴，
∴，
∵M平分，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】此题考查了圆周角定理、勾股定理、等边三角形的判定和性质等知识，得到是等边三角形是解题的关键．
10. 抛物线与x轴的一个交点为，若，则实数的取值范围是( )
A. B. 或
C. D. 或
【答案】B
【解析】
【分析】根据抛物线有交点，则有实数根，得出或，分类讨论，分别求得当和x=1时的范围，即可求解．
【详解】解：∵抛物线与x轴有交点，
∴有实数根，
∴
即
解得：或，
当时，如图所示，

依题意，当时，，
解得：，
当时，，解得，
即，
当时，
当时，，
解得：
∴

综上所述，或，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
二、填空题（每小题4分，共24分，在答题卡上相应题目的答题区域内作答）
11 计算：___________．
【答案】
【解析】
【分析】可利用30°特殊直角三角形三边关系并结合余弦三角函数定义求解本题．
【详解】30°直角三角形三边比例关系为，．
故本题答案为．
【点睛】本题考查余弦三角函数，熟练记忆其定义即可，对于特殊角度三角形函数值，可背诵下来提升解题速度．
12. 如图，在中，，点D是AB的中点，，，则______．
【答案】6
【解析】
【分析】利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得AB的长，再直接利用勾股定理得出BC的长．
【详解】解：∵点D是斜边AB的中点，，
∴AB=2CD=10．
∵，AC=8，
∴BC===6，
故答案为：6．
【点睛】此题主要考查了勾股定理以及直角三角形的性质，正确掌握直角三角形的性质是解题关键．
13. 抛物线经过点，，则__________．
【答案】2
【解析】
【分析】根据点、的坐标可得点、关于对称轴对称，从而得到对称轴为直线，由此即可得到答案．
【详解】解：点，，
点、关于对称轴对称，
对称轴为直线，
，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，根据点、的坐标可得点、关于对称轴对称，是解此题的关键．
14. 如图，是的直径，弦，垂足为E，连接，若，则弦的长为_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查垂径定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键．由题意易得，根据勾股定理可求的长，然后问题可求解．
【详解】解：连接，
∵是的直径，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
15. 如图，一个小球由地面沿着坡度为的坡面向上前进了，则此时小球水平方向前进的距离是_______．

【答案】
【解析】
【分析】如图，过作于，由，设，，可得，（负值舍去），可得，从而可得答案．
【详解】解：如图，过作于，

∵，．
∴，
∴设，，
由勾股定理得，，即，（负值舍去）
∴，
解得，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，能从实际问题中整理出直角三角形是解答本题的关键．
16. 如图，在中，，，点D为边上一动点（不与点B、C重合），垂直交于点E，垂足为点H，连接并延长交于点F，下面结论：①若是边上的中线，则；②若平分，则；③若，则；④的最小值为. 正确的是_____________.
【答案】①②③
【解析】
【分析】根据勾股定理求出，根据三角形面积公式求出，据此判断①符合题意；过点作交于点，根据题意推出是的中位线，则，根据直角三角形的性质及平行线的性质推出，，，根据相似三角形的性质即可判断②符合题意；当时，设，则，，过点作交的延长线于点，结合题意及直角三角形的性质利用推出，根据全等三角形的性质得到，根据，判断，进而推出，根据相似三角形的性质即可判断③符合题意；根据当最短时，点为的中点，求解即可判断④不符合题意
【详解】解：是边上的中线，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
故①正确，符合题意；
如图，过点作交的延长线于点，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
故②正确，符合题意；
当时，设，则，
，
过点作交的延长线于点，
，
，
垂直，
，
，
又，，
，
，
，
，
，
，
，
故③正确，符合题意；
，
点在以为直径的圆上，
当最短时，点为的中点，
，
，
的最小值为，
故④错误，不符合题意；
故答案为：①②③
【点睛】此题是三角形综合题，考查了勾股定理、三角形面积公式、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角形中位线的判定与性质等知识，熟练掌握勾股定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质并作出合理的辅助线是解题的关键．
三、解答题（共86分，在答题卡上相应题目的答题区域内作答）
17. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】根据零次幂及特殊三角函数值可进行求解．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题主要考查零次幂及特殊三角函数值，熟练掌握各个运算是解题的关键．
18. 如图，在中，，E是边AC上一点，且，过点A作BE的垂线，交BE的延长线于点D，求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】先根据等腰三角形的性质得∠C=∠BEC，又由对顶角相等可证得∠AED=∠C，再由∠D=∠ABC=90°，即可得出结论．
【详解】证明：∵
∴∠C=∠BEC，
∵∠BEC=∠AED，
∴∠AED=∠C，
∵AD⊥BD，
∴∠D=90°，
∵，
∴∠D=∠ABC，
∴．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，相似三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的性质和相似三角形的判定定理是解题的关键．
19. 已知O是坐标原点，A、B的坐标分别为，．
（1）以原点O为位似中心，位似比为，在y轴的左侧，画出放大后的图形；
（2）直接写出点的坐标；若点在线段上，点D对应点的坐标为 ．
【答案】（1）见解析 （2），
【解析】
【分析】本题考查了位似变换，正确掌握位似比与坐标的关系是解题的关键．
（1）根据位似图形的性质得出、，再顺次连接即可；
（2）利用（1）中位似比得出对应点坐标关系即可．
【小问1详解】
解：如图所示：
；
【小问2详解】
解：由图可得：，
点在线段上，点D对应点的坐标为．
20. 已知：如图，矩形的对角线，相交于点O，，.
（1） ；
（2）过O作于点E，连结，记，求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、正切的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）先证明是等边三角形，得出，即可得解；
（2）先由勾股定理求出，再由等腰三角形的性质得出，最后再由正切的定义计算即可得出答案．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
∵四边形为矩形，
∴，，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：由勾股定理得：，
∵，，
∴，
∴．
21. 长沙电视塔位于岳麓山顶峰，其功能集广播电视信号发射与旅游观光于一身．某校数学社团的同学对长沙电视塔的高度进行了测量，如图，他们在A处仰望塔顶，测得仰角为，再往塔的方向前进至B处，测得仰角为．（参考数据：）
（1）求证：；
（2）若学生的身高忽略不计，求该塔的高度？（结果精确到）
【答案】（1）见解析；
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意易得：，即可证得是等腰三角形，
（2）然后利用三角函数，求得答案．
【小问1详解】
证明：根据题意得：，
∴，
∴，
∴，
【小问2详解】
∵，，
∴，
【点睛】此题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题．注意证得是等腰三角形，利用特殊角的三角函数值求解是关键．
22. 如图，AB为的直径，内接于，，CD交AB于点E．

（1）求的度数；
（2）若点E为中点，，求的长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，勾股定理，解题的关键是掌握同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角为直角，等腰三角形三线合一，直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
（1）连接，根据AB为的直径，得出，再根据圆周角定理得出，最后根据直角三角形两锐角互余，即可求解；
（2）连接，易得，设，则，根据勾股定理可得，列出方程求解，即可求解．
【小问1详解】
解：连接，
∵AB为的直径，
∴，
∵，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
设，
∵点E为中点，
∴，
在中，根据勾股定理可得：，
即，
解得：，
∴，
∴．

23. 如图，在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园，其中，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏．若设AD的长度为x米，矩形菜园面积为S平方米．
（1）写出S与x的关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）若，所围成的矩形菜园的面积为450平方米，求所利用旧墙AD的长；
（3）求矩形菜园面积的最大值．
【答案】（1）
（2）
（3）当时，矩形菜园面积的最大值为平方米，当时，最大值为1250平方米．
【解析】
【分析】（1）根据题意得出，然后求面积即可；
（2）利用（1）中结论，直接代入求解即可；
（3）将（1）中结果化为顶点式，然后分两种情况分析即可．
小问1详解】
解：设．则，
∴；
【小问2详解】
由（1）得，
则
解得，（舍去），
∴AD的长为；
【小问3详解】
①当时，由（1）得，
∵，
∴时，S的最大值为1250．
②当时，则，S随的增大而增大，
当时，的最大值为；
综上所述，当时，矩形菜园面积的最大值为平方米，当时，最大值为1250平方米．
【点睛】题目主要考查二次函数的应用，理解题意，列出函数关系式进行分类讨论是解题关键．
24. 已知矩形ABCD，点E、F分别在AD、DC边上运动，连接BF、CE，记BF、CE交于点P.
（1）如图1，若，，于P，
①求证：；
②求线段长度；
（2）如图2，若，，求.
【答案】（1）①见详解②
（2）
【解析】
【分析】（1）①根据矩形的性质可得：，，，，结合四边形内角和可证得，②因为，所以得出，即可求得答案；
（2）根据已知条件可证得，得出，进而得出，利用，即可得出答案．
本题是矩形综合题，考查了矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等，添加辅助线构造相似三角形是解题关键．
【小问1详解】
解：① 四边形是矩形，
，，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
②∵，
，
，
；
【小问2详解】
四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，其顶点为．直线与抛物线相交于，两点（点在点的左侧）．

（1）求抛物线的函数表达式和点的坐标；
（2）当线段被抛物线的对称轴分成长度比为的两部分时，求的值；
（3）连接，，试探究的大小是否为定值．若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
【答案】（1），
（2）或
（3）定值，，理由见详解
【解析】
【分析】（1）将、代入解析式即可求解；
（2）可求直线过定点，设，则有，，可求或，①当时，过作交于，过作交于，可求，从而可求，求得，接可求解；②当时，由①同理可求，即可求解；
（3）分别过、作轴的平行线交过作轴的平行线于、，可求，从而可得，从而可求，可得，由和可证，从而可得，即可求证．
【小问1详解】
解：由题意得
，
解得：，
，
当时，
，
，
故抛物线的函数表达式为，的坐标为．
【小问2详解】
解：由得
，
当时，，
直线过定点，
设，，
则有，，
线段被抛物线的对称轴分成长度比为的两部分，
或，
①当时，
如图，过作交于，过作交于，

，
，
，
或，
或，
，
整理得：，
解得：或，
此时，
（舍去），
故，
当时，，
，
当时，
解得：；
②当时，如图，

由①同理可求，
当时，，
，
当时，，
解得：；
综上所述：的值为或．
【小问3详解】
解：定值，；
理由：如图，分别过、作轴的平行线交过作轴的平行线于、，

，
，
由（2）得：，
整理得：，
，
，
，
，
，
在中，
，
在中，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，待定系数法求二次函数解析式，一般角的三角函数，直线与抛物线交点问题，平行线分线段成比例定理，一元二次方程根与系数的关系等，用辅助未知数的式子表示相关点坐标和相关线段的长度是解题的关键．