2026年北师大八年级数学下册 1.3 直角三角形第1课时 直角三角形的性质与判定（课件）

1.3 直角三角形第一章 三角形的证明 第1课时 直角三角形的性质与判定 直角三角形的两个锐角互余.这节课我们一起来证明直角三角形的判定与性质.问题：前面我们探究过直角三角形的哪些性质？ 在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.直角三角形的性质与判定问题：直角三角形的两锐角互余，为什么？根据三角形的内角和定理，即可得到“直角三角形的两锐角互余”.如果一个三角形中有两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形吗？如图，在△ABC中，∠A +∠B = 90°，那么 △ABC 是直角三角形吗？ 在△ABC 中，因为∠A +∠B +∠C = 180°， 又∠A +∠B = 90°，所以∠C = 90°. 于是△ABC 是直角三角形.勾股定理及其逆定理勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方. 即 a2 + b2 = c2. 证法1 毕达哥拉斯证法∴ a2 + b2 + 2ab = c2 + 2ab，∴ a2 +b2 = c2.证明：∵ S大正方形 = (a + b)2 = a2 + b2 + 2ab，c∵ c 2 = 4× ab + ( b - a ) 2 c 2 = 2ab + b 2 - 2ab + a 2 ，c 2 = a 2 + b 2，∴ a 2 + b 2 = c 2.大正方形的面积可以表示为 ；也可以表示为　　 　　 ．c 2 4× ab + ( b - a ) 2 证法2 赵爽弦图ca ca cb aabbb如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．勾股定理反过来，怎么叙述呢？这个命题是真命题吗？为什么？已知：如图，在 △ABC 中，AC 2 + BC 2 = AB 2.求证：△ABC 是直角三角形．例1 证明此命题：分析：构造一个直角三角形与 △ABC 全等，你能自 己写出证明过程吗？证明：作 Rt△DEF，使∠E = 90°，DE = AC，FE = BC，则 DE 2 + EF 2 = DF 2 (勾股定理).∵ AC 2 + BC 2 = AB 2 (已知)，DE = AC，FE = BC (作图)，∴ AB 2 = DF 2.∴ AB = DF.∴△ABC≌△DFE (SSS).∴∠C =∠E = 90°.∴△ABC 是直角三角形．┏勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．定理：如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．定理：如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．下面两个定理的条件和结论有什么关系？一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件．互逆命题与互逆定理观察上面三组命题，你发现了什么?如果两个角是对顶角，那么它们相等；如果两个角相等，那么它们是对顶角.说出下列命题的条件和结论：如果 a＝b，那么 a²＝b²；如果 a²＝b²， 那么 a＝b.一个三角形中相等的边所对的角相等；一个三角形中相等的角所对的边相等. 在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题. 其中一个命题称为另一个命题的逆命题.上面每两个命题的条件和结论恰好互换了位置. 你能写出命题“如果两个有理数相等，那么它们的平方相等”的逆命题吗? 它们都是真命题吗?逆命题：如果两个有理数的平方相等，那么这两个有理数相等.举特例：原命题：2 = 2，22 = 22；逆命题：(2)2 = (-2)2，2 ≠ -2此原命题是真命题；逆命题是假命题. 原命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题。如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理。 例如，本节学习的第一个定理和第二个定理就是一对互逆定理，第三个定理和第四个定理也是一对互逆定理。你还能举出一些互逆定理的例子吗？直角三角形角的性质边的性质互逆命题与互逆定理互逆命题互逆定理一个定理的逆命题也是定理，这两个定理叫作互逆定理第一个命题的条件是第二个命题的结论；第一个命题的结论是第二个命题的条件.1. 如图是一张直角三角形的纸片，两直角边 AC ＝ 6 cm，BC＝8 cm，现将 △ABC 折叠，使点 B 与点 A 重合，折痕为 DE，则 BE 的长为 ( )A. 4 cm B. 5 cm C. 6 cm D. 10 cm【解析】Rt△ABC 中，AB 2 = AC 2 + BC 2 = 100，∴ AB = 10 cm. BE = AB = 5 cm.B2. 在你学过的定理中，有哪些定理的逆命题是真命题？ 试举出几个例子说明.(1) 同旁内角互补，两直线平行.逆命题：两直线平行，同旁内角互补.真(2) 有两个角相等的三角形是等腰三角形. 逆命题：如果一个三角形是等腰三角形， 那么它有两个角相等.真