第三章第06讲 章节复习专题：图形的平移和旋转（6个知识点+9大常考题型）-2024-2025学年八年级数学下册同步学与练（北师大版） 含答案

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第06讲 章节复习专题：图形的平移和旋转目录TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc31559" 【考点一 生活中的平移及图形的平移】 PAGEREF _Toc31559 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc2143" 【考点二 利用平移的性质求解】 PAGEREF _Toc2143 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc20993" 【考点三 点在平面直角坐标系中的平移】 PAGEREF _Toc20993 \h 8 HYPERLINK \l "_Toc25038" 【考点四 中心对称图形的识别】 PAGEREF _Toc25038 \h 10 HYPERLINK \l "_Toc28152" 【考点五 求关于原点的对称点的坐标】 PAGEREF _Toc28152 \h 12 HYPERLINK \l "_Toc20917" 【考点六 旋转中心、旋转角】 PAGEREF _Toc20917 \h 13 HYPERLINK \l "_Toc7425" 【考点七 求某点旋转后的坐标】 PAGEREF _Toc7425 \h 17 HYPERLINK \l "_Toc27143" 【考点八 平面直角坐标系中平移和旋转作图】 PAGEREF _Toc27143 \h 21 HYPERLINK \l "_Toc32485" 【考点九 旋转的综合问题】 PAGEREF _Toc32485 \h 28知识点01 平移的概念和性质1.平移的概念：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离。注：平移=移动方向+移动距离2.平移的性质：（1）图形（形状、大小）不变，仅改变图形的位置（2）对应点间连线，这些线段长度相等，且对应直线平行（3）对应点的连线即为平移的路径（直线），包括方向和距离知识点02 平移作图平移作图步骤： = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①找出能代表图形的关键点; = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②将原图中某一关键点按要求平移后，与原来点连接起来; = 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③过其他点分别作线段，使它们与确定直线段平行且相等，即确定其他关键点平移后的位置; = 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④连接关键点，还原图形.知识点03 旋转的概念和性质（1）旋转的概念：把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一定角度的变换.点O叫作旋转中心；转动的角度叫作旋转角；图形上点P旋转后得到点P’，这两个点叫作对应点.（2）旋转三要素： = 1 \* GB3 ①旋转方向； = 2 \* GB3 ②旋转中心； = 3 \* GB3 ③旋转角度注：旋转中心可在任意位置.即可在旋转图形上，也可不在旋转图形上.（3）旋转的性质：一个图形和它经过旋转所得到的图形中，对应点到旋转中心的距离相等；两组对应点分别与旋转中心连线所成的角相等.知识点04 旋转作图旋转作图：在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键点沿指定的方向旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形.作图的步骤：（1）连接图形中的每一个关键点与旋转中心；（2）把连线按要求（顺时针或逆时针）绕旋转中心旋转一定的角度（旋转角）；（3）在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点；（4）连接所得到的各对应点.知识点05 中心对称（1）中心对称的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心．（2）中心对称是指两个图形的位置关系，涉及到两个图形，如图所示，△ABC与△A’B’C’关于点O对称.（3）中心对称与轴对称的区别与联系：（4）中心对称的性质：中心对称是一种特殊的旋转变换，具有旋转的一切性质，成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分，成中心对称的两个图形是全等图形.（5）确定对称中心的方法：1.连接任意一组对称点，连线的中点就是对称中心；2.连接任意两组对称点，这两条线段的交点就是对称中心.（6）中心对称作图1.连接原图形的关键点与对称中心；2.延长所连接的线段，在延长线上分别找出关键点的对称点，使对称点到对称中心的距离和关键点到对称中心的距离相等；3.将对称点按照原图形的顺序依次连接即可得到原图形关于对称中心对称的图形.知识点06 中心对称图形（1）中心对称图形：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．（2）中心对称与中心对称图形的区别与联系：【考点一 生活中的平移及图形的平移】例题：（23-24七年级下·云南红河·期末）“写堂堂正正中国字，做堂堂正正中国人”，中国的汉字中有些也具有平移现象，下列汉字中可以看成由平移构成的是（    ）A．B．C．D．【答案】B【知识点】生活中的平移现象【分析】本题考查生活中的平移，根据平移的性质，进行判断即可．【详解】解：根据题意， 可得：“朋”可以通过平移得到．故选：B．【变式训练】1．（23-24七年级下·四川遂宁·期末）下列现象可以看作数学中的平移的是（　　）A．瓶装饮料在传送带上移动B．小朋友荡秋千C．骑自行车时的轮胎滚动D．“神舟”十八号宇宙飞船绕地球运动【答案】A【知识点】生活中的平移现象【分析】本题考查生活中的平移，根据平移的定义逐一进行判断即可．【详解】解：A、瓶装饮料在传送带上移动，是平移，符合题意；B、小朋友荡秋千不是平移，不符合题意；C、骑自行车时的轮胎滚动不是平移，不符合题意；D、“神舟”十八号宇宙飞船绕地球运动不是平移，不符合题意；故选A．2．（23-24七年级下·全国·阶段练习）在如图的四个汽车标志图案中，能用平移变换来分析其形成过程的图案是（    ）A．B． C．D．【答案】D【知识点】生活中的平移现象【分析】本题考查了图形的平移，解题的关键是掌握图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小．根据图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小．逐项判断即可．【详解】解：A、图案不能用“基本图案”平移变换来分析其形成过程，故此选项不符合题意；B、图案不能用“基本图案”平移变换来分析其形成过程，故此选项不符合题意；C、图案不能用“基本图案”平移变换来分析其形成过程，故此选项不符合题意；D、图案能用“基本图案”平移变换来分析其形成过程，故此选项符合题意；故选：D．3．（23-24七年级下·湖南益阳·期末）下列现象中属于平移的是（    ）A．火箭从点火开始垂直上升B．小朋友荡秋千C．凌云塔倒印在洞庭湖湖面上D．五星红旗迎风飘扬【答案】A【知识点】生活中的平移现象【分析】本题考查了平移定义，平移是指图形的平行移动，平移时图形中所有点移动的方向一致，并且移动的距离相等．根据平移的定义，对选项进行一一分析判断，即可解题．【详解】解：A、火箭从点火开始垂直上升是平移，符合题意；B、小朋友荡秋千是旋转，不符合题意；C、凌云塔倒印在洞庭湖湖面上是对称，不符合题意；D、五星红旗迎风飘扬不是平移，不符合题意；故选：A．【考点二 利用平移的性质求解】例题：（2025七年级下·全国·专题练习）如图，（）沿着射线平移至的位置，若，则图中阴影部分的面积为 ．【答案】【知识点】利用平移的性质求解【分析】本题考查平移的性质，根据平移的性质求出的长，的长，利用梯形的面积公式进行计算即可．【详解】解：∵平移，∴，∴，∵，∴，∴阴影部分的面积为；故答案为：．【变式训练】1．（24-25七年级上·全国·假期作业）如图，是由平移得到的，则点、、的对应点分别是 ，如果，，，那么 ， ， ．【答案】 30°/30度【知识点】利用平移的性质求解【分析】本题主要考查了平移的性质，根据平移的性质“平移前后对应边相等、对应角相等”解答即可．【详解】解：是由平移得到的，点、、的对应点分别是、、，∵，，，∴，，，故答案为：、、；；；．2．（2024七年级上·上海·专题练习）如图，△经过一次平移到△的位置，请回答下列问题：（1）点的对应点是点 ， ， ；（2）连接，那么平移的方向就是 的方向，平移的距离就是线段 的长度，可量出约为 cm；（3）连接、、，与线段相等的线段有 ．【答案】 点到点的方向 2 、【知识点】利用平移的性质求解【详解】本题考查了平移的性质，熟记平移性质是解题的关键，是基础题，难度不大．（1）根据平移前后的三角形的对应顶点填写；（2）根据平移的性质进行解答；（3）根据平移的性质，对应点的连线相等进行解答．【解答】解：（1）观察图形可知，点与点是对应点，与是对应角，与是对应边；故答案为：，，；（2）根据对应点的连线就是平移的方向，线段的长度等于平移的距离，故答案为：点到点的方向，，2；（3）对应点的连线都等于平移的距离，相等，故答案为：、．3．（23-24七年级下·四川宜宾·期末）已知在直角三角形中，，将此直角三角形沿射线方向平移，到达直角三角形的位置（如图所示），其中点落在边的中点处，此时边与边相交于点D，如果，，那么四边形的面积 ．【答案】72【知识点】利用平移的性质求解【分析】此题主要考查了图形的平移，根据平移的性质和点是的中点求出，，再由求出，利用即可求出四边形的面积．熟练掌握平移的性质是解题的关键．【详解】解：由平移的性质可知，，∵点是的中点，∴，∵，∴，，∵，∴，∴四边形的面积，故答案为：．4．（23-24七年级下·辽宁盘锦·期末）如图，将直角三角形沿斜边的方向平移到三角形的位置，交于点G，，三角形的面积为4，下列结论：①；②；③三角形平移的距离是4；④；⑤四边形的面积与四边形的面积的和为40．其中正确的结论是 ．【答案】①②④⑤【知识点】利用平移的性质求解【分析】本题考查三角形的面积，平移变换等知识，解题的关键是理解题意，掌握平移变换的性质，属于中考常考题型．利用平移变换的性质一一判断即可．【详解】解：直角三角形沿斜边的方向平移到三角形的位置，，，，，，故①正确，由平移的性质可得，，故②正确，平移的距离是线段的长，，平移的距离大于4，故③错误，，，，，，故④正确，四边形的面积，由平移的性质可得四边形的面积与四边形的面积相等，四边形的面积与四边形的面积的和为40．故⑤正确，故答案为：①②④⑤【考点三 点在平面直角坐标系中的平移】例题：（2024·辽宁大连·模拟预测）把点先向左平移5个单位，再向上平移4个单位，得到点B的坐标是 ．【答案】【知识点】求点沿x轴、y轴平移后的坐标【分析】本题考查点的平移规律；用到的知识点为：点的平移，左右平移只改变点的横坐标，左减右加；上下平移只改变点的纵坐标，上加下减．让点的横坐标减5，纵坐标加4即可得到平移后点的坐标．【详解】解：将点向左平移5个单位，再向上平移4个单位得到点，则点的坐标为，即，故答案为：．【变式训练】1．（23-24九年级下·江苏连云港·阶段练习）点A向下平移2个单位，再向左平移2个单位到点，则点A的坐标为 ．【答案】【知识点】求点沿x轴、y轴平移后的坐标【分析】本题考查了平移与坐标，设，根据平移可得，结合题意即可求解．【详解】解：设，根据平移可得，∵，∴，∴，∴，故答案为：．2．（2024·山东淄博·中考真题）如图，已知，两点的坐标分别为，，将线段平移得到线段．若点的对应点是，则点的对应点的坐标是 ．【答案】【知识点】坐标与图形、由平移方式确定点的坐标【分析】此题主要考查了点的平移规律与图形的平移，关键是掌握平移规律，左右移，纵不变，横减加，上下移，横不变，纵加减．根据平移的性质，结合已知点，的坐标，知点的横坐标加上了1，纵坐标加1，则的坐标的变化规律与点相同，即可得到答案．【详解】解：平移后对应点C的坐标为，点的横坐标加上了4，纵坐标加1，，点坐标为，即，故答案为：．3．（23-24七年级下·四川广安·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，将三角形平移至三角形，点是三角形内一点，经平移后得到三角形内对应点，若点的坐标为，则点A的坐标为 【答案】【知识点】已知图形的平移，求点的坐标【分析】本题考查的是坐标与图形变换，根据题意得出关于的方程是解题的关键．先根据点坐标的变化得出平移的方向和距离，进而可得出结论．【详解】∵点是三角形内一点，经平移后得到三角形内对应点设解得，故答案为：．4．（23-24九年级上·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标为．将沿x轴向右平移后得到，点B的对应点在直线上，则点A与其对应点之间的距离为 ．【答案】12【知识点】求一次函数自变量或函数值、已知图形的平移，求点的坐标【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征以及坐标与图形变化﹣平移，先利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出点的坐标，结合点B的坐标，可得出点B与其对应点之间的距离，结合平移的性质，即可得出点A与其对应点之间的距离．【详解】当时，，解得：，∴点的坐标为.∵点B的坐标为，∴点B与其对应点之间的距离为12.∵沿x轴向右平移后得到，∴点A与其对应点之间的距离为12．故答案为：12．【考点四 中心对称图形的识别】例题：（2025·广东·模拟预测）下列图案是轴对称图形但不是中心对称图形的是（   ）A．B．C．D．【答案】C【知识点】轴对称图形的识别、中心对称图形的识别【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的概念是解题的关键．【详解】、是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；、是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项符合题意；、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；故选：．【变式训练】1．（24-25九年级上·浙江台州·期中）下列图案不是中心对称图形的是（   ）A．B．C．D．【答案】D【知识点】中心对称图形的识别【分析】本题主要考查了中心对称图形的识别．在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．这个旋转点，就叫做中心对称点．【详解】解：选项A、B、C均能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形，选项D能不找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形，故选：D．2．（24-25七年级下·全国·单元测试）（新素材）围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史．下列由黑白棋子摆成的图案是中心对称图形的是（   ）A．B．C．D．【答案】A【知识点】中心对称图形的识别【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可．【详解】解：A．是中心对称图形，故A符合题意；B．不是中心对称图形，故B不符合题意；C．不是中心对称图形，故C不符合题意；D．不是中心对称图形，故D不符合题意．故选：A．3．（24-25九年级上·黑龙江大庆·期末）在年巴黎奥运会上，中国体育代表队获得40金、银和铜共枚奖牌，创造了中国参加境外奥运会的最佳战绩．以下是巴黎奥运会部分项目的图标，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ）A．B．C．D．【答案】C【知识点】轴对称图形的识别、中心对称图形的识别【分析】本题考查了中心对称和轴对称，中心对称是指把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，根据定义作答即可【详解】A、该图形是轴对称图形但不是中心对称图形，不符合要求；B、该图形是轴对称图形但不是中心对称图形，不符合要求；C、该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，符合要求；D、该图形是轴对称图形但不是中心对称图形，不符合要求；故选：C．【考点五 求关于原点的对称点的坐标】例题：（24-25九年级上·北京密云·期末）在平面直角坐标系中，点关于原点O的对称点的坐标为 ．【答案】【知识点】求关于原点对称的点的坐标【分析】此题考查了关于原点对称的点，熟练掌握关于原点对称的点的横，纵坐标均互为相反数是解题的关键．根据关于原点对称的点的横，纵坐标均互为相反数即可求解．【详解】解：点关于原点的对称点坐标为，故答案为：．【变式训练】1．（24-25九年级上·山东临沂·期中）在平面直角坐标系中，若点与点关于原点对称，则m的值是 ．【答案】1【知识点】求关于原点对称的点的坐标【分析】本题考查了平面直角坐标系中的中心对称变换，根据关于原点对称的两点，横坐标和纵坐标都互为相反数求解即可．【详解】解：∵点与点关于原点对称，∴．故答案为：1．2．（24-25九年级上·云南昆明·期中）在平面直角坐标系中，已知点与点关于原点对称，则的值为 ．【答案】【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、求关于原点对称的点的坐标【分析】本题考查关于原点对称的点的坐标特点，根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得、的值，进而可得答案．解题的关键是掌握：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点关于原点的对称点是．也考查了求代数式的值．【详解】解：∵点与关于原点对称，∴，，∴，∴的值为．故答案为：．3．（24-25九年级上·广东广州·期中）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点为．则 .【答案】1【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、求关于原点对称的点的坐标【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标，代数式求值，掌握关于原点对称的点的坐标横纵坐标互为相反数是解题关键．根据关于原点对称，得到，，再代入计算乘方即可．【详解】解：点关于原点对称的点为，，，，故答案为：1．【考点六 旋转中心、旋转角】例题：（24-25九年级上·湖北·阶段练习）如图，在正三角形网格中，将绕某个点旋转，得到，则下列四个点中能作为旋转中心的是（   ）A．点AB．点BC．点CD．点D【答案】C【知识点】找旋转中心、旋转角、对应点【分析】本题考查了旋转中心，熟练掌握旋转中心的定义，学会构造旋转对应点连线的垂直平分线找出旋转中心是解题的关键．连接、，分别作和的垂直平分线，则交点即为旋转中心．【详解】解：将绕某个点旋转，得到，则与为对应点，则与为对应点，连接、，分别作和的垂直平分线，如图所示交于点C，故点C为旋转中心．故选：C．【变式训练】1．（24-25九年级上·广东广州·期中）如图，已知点，，，，连接，，将线段绕着某一点旋转一定角度，使其与线段重合（点A与点C重合，点B与点D重合），则这个旋转中心的坐标为（　　）A．B．C．D．【答案】D【知识点】找旋转中心、旋转角、对应点、求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标【分析】本题考查坐标与图形变化-旋转，画出平面直角坐标系，作出新的，的垂直平分线的交点P，点P即为旋转中心．【详解】解：平面直角坐标系如图所示，旋转中心是P点，，故选：D．2．（23-24八年级下·陕西榆林·期中）如图，是由绕点旋转得到的，，，则旋转角的度数是（    ）A．B．C．D．【答案】A【知识点】三角形内角和定理的应用、找旋转中心、旋转角、对应点【分析】本题主要考查了求旋转角，三角形内角和定理，先根据三角形内角和定理求出，再结合图形可知，旋转角即为的度数，据此可得答案．【详解】解：∵，，∴，∵是由绕点旋转得到的，∴旋转角的度数是，故选：A．3．（23-24九年级上·河南新乡·期中）是由绕点C旋转得到的，且点D落在边上，则下列判断错误的是（　　）  A．旋转中心是点CB． C． D．点D是中点【答案】D【知识点】找旋转中心、旋转角、对应点、根据旋转的性质说明线段或角相等【分析】此题主要考查了旋转的性质．根据旋转的性质即可求解．【详解】解：∵是由绕点C旋转得到的，且点D落在边上，∴旋转中心是点C，，，点D不一定的中点，∴A、B、C结论正确．故选：D．4．（22-23九年级上·广东汕头·期中）如图，在平面直角坐标系中的位置，且，将其绕点P顺时针旋转得到，则点P的坐标是 ，旋转角是 度.  【答案】 90【知识点】找旋转中心、旋转角、对应点、求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标【分析】根据旋转性质，对应点的连线的垂直平分线的交点即为旋转中心，据此可求解．【详解】解：如图，点为旋转中心，旋转角，  故答案为：，90．【点睛】本题考查坐标与图形变换-旋转，解答的关键是熟知对应点连线的垂直平分线的交点即为旋转中心．【考点七 求某点旋转后的坐标】例题：（2024·湖南长沙·模拟预测）在平面直角坐标系中，点的坐标为，将点绕原点顺时针旋转90°，得到点，则点的坐标为 ．【答案】【知识点】全等三角形综合问题、根据旋转的性质求解、求绕原点旋转90度的点的坐标【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的旋转，全等三角形的判定和性质，掌握旋转的性质，全等三角形的判定和性质，平面直角坐标系中点的特点是解题的关键．根据旋转作图，可证，可得，由此即可求解．【详解】解：根据题意，作图如下，过点作轴于点，过点作轴于点，∵，∴，∵点绕点顺时针旋转90°得，∴，，根据平面直角坐标系的特点可得，轴垂直于轴，∴，∴，且，∴，∴，∴，故答案为： ．【变式训练】1．（23-24九年级下·吉林·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点，，以点B为中心，把线段顺时针旋转得到线段，则点C的坐标为 ．  【答案】【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据旋转的性质求解、求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标【分析】本题考查了旋转的性质、三角形全等的判定与性质、坐标与图形，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．过点作轴于点，先证出，再根据全等三角形的性质可得，由此即可得．【详解】解：如图，过点作轴于点，  ，，，由旋转的性质可知，，，∵轴，，，在和中，，，，，则点的坐标为，故答案为：．2．（22-23九年级下·内蒙古赤峰·阶段练习）如图，将绕原点逆时针旋转到的位置，若轴，，，，则点的坐标为 ．  【答案】【知识点】用勾股定理解三角形、根据旋转的性质求解、求绕原点旋转一定角度的点的坐标【分析】作轴于，由，，得出，由旋转性质可知：，则，最后通过勾股定理求出即可．【详解】如图，作轴于，  ∵，∴∵，∴，∴，由旋转性质可知：，，∴，∴，在中，由勾股定理得：，∴，∴点的坐标为，故答案为：．【点睛】此题考查了坐标与图形变化——旋转，解题的关键是理解图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．3．（22-23九年级上·广西河池·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为和．月牙①绕点顺时针旋转得到月牙②，则点A的对应点的坐标为 ．【答案】【知识点】求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标【分析】由旋转得出点的横坐标与点B的横坐标相同，,即可得点的纵坐标．【详解】连接，∵月牙①绕点顺时针旋转得到月牙②，点A，B的坐标分别为 (−4，0) 和 (4，0)，∴，，∴点的坐标为．故答案为：【点睛】本题考查坐标与图形及旋转的性质，数形结合思想的应用是关键．【考点八 平面直角坐标系中平移和旋转作图】例题：（24-25九年级上·山东德州·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，．  (1)画出；(2)画出关于原点对称的；(3)画出绕原点O顺时针旋转后的．【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)见解析．【知识点】坐标系中描点、画旋转图形、按图形的变换要求画出另一个图形【分析】本题考查了坐标系中的作图——旋转变换，熟练掌握坐标系中的旋转变换，根据题意准确画出图形是解题的关键．（1）依据点A、B、C的坐标，画出即可；（2）依据中心对称的性质，即可画出关于原点对称的；（3）依据旋转的性质，即可画出绕原点O顺时针旋转后的．【详解】（1）解：如图，即为所求；  （2）如图，即为所求；（3）如图，即为所求．【变式训练】1．（24-25八年级下·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，B−2,1，．(1)的面积是______；(2)若经过平移后得到，点的坐标为，则点的坐标为______；(3)将绕着点按顺时针方向旋转得到，画出，并写出点的坐标．【答案】(1)3(2)(3)图见解析，点的坐标为【知识点】已知图形的平移，求点的坐标、画旋转图形、利用网格求三角形面积【分析】本题考查了作图旋转变换和平移，根据旋转的性质，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．（1）依据三角形面积计算公式利用割补法即可得出的面积；（2）依据平移的规律，即可得到点的坐标；（3）依据旋转的性质，即可得到绕着点O按顺时针方向旋转得到的，即可得出点C的对称点的坐标．【详解】（1）解：的面积是，故答案为：3；（2）解：因为点经过平移后的对应点为的坐标为，所以点经过平移后的对应点为的坐标为，故答案为：；（3）解：如图所示：点的坐标．2．（24-25九年级上·辽宁鞍山·期中）如图，是经过平移后得到的图形．（其中点的对应点分别是）(1)分别观察点A和点，点B和点，点C和点的坐标之间的关系．若内任意一点E的坐标为，点E经过这种平移后得到点F，根据你的发现，点F的坐标为 ；(2)将绕点O逆时针旋转，得到，点，，分别是点的对应点，请画出，并写出点的坐标： ．【答案】(1)(2)见解析，【知识点】平移(作图)、由平移方式确定点的坐标、画旋转图形、求绕原点旋转90度的点的坐标【分析】本题主要考查平面直角坐标系中图形的变化，掌握图形平移的性质，旋转的性质作图是解题的关键．（1）根据图形平移的性质进行求解；（2）根据旋转的性质作图，根据坐标与图形的特点写出的坐标；【详解】（1）解：观察图形的变化发现：平移后的三角形的三个点的横坐标加，纵坐标不变，∴点F的坐标为：，故答案为：；（2）解：如图，即为所求；点的坐标为，故答案为：．3．（24-25九年级上·辽宁大连·阶段练习）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，的顶点均在格点上，以点O为原点建立平面直角坐标系．(1)将沿y轴向下平移4个单位得到，画出；(2)将绕原点O逆时针旋转得到，画出；(3)可由绕着点P旋转得到，点P的坐标是______．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)【知识点】平移(作图)、画旋转图形、求绕原点旋转90度的点的坐标【分析】（1）根据平移规律，确定变换后的坐标，画图即可．（2）根据逆时针旋转的要求求出对应坐标，画图即可．（3）根据旋转中心是对应线段垂直平分线的交点，解答即可．本题考查了坐标的平移，旋转，熟练掌握相应的知识是解题的关键．【详解】（1）解：根据题意，得，向下平移4个单位后，得到新坐标为，画图如下：则即为所求．（2）解：根据题意，得，绕原点O逆时针旋转得到，新坐标分别为．画图如下：则即为所求．（3）解：根据旋转作图，得绕逆时针旋转得到， 故答案为：．4．（24-25九年级上·天津北辰·期中）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为个单位的正方形，建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上，点的坐标为．(1)画出关于轴对称的；(2)画出将绕原点按顺时针旋转90°所得的；(3)与成中心对称图形吗？若成中心对称图形，写出对称中心的坐标．【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)与是中心对称图形，对称中心为．【知识点】坐标与图形变化——轴对称、求绕原点旋转90度的点的坐标【分析】本题主要考查作轴对称图形、中心对称和作旋转图形，掌握关于轴对称的点的特点和对称中心的求法是解题的关键．作点关于轴的对称点，作点关于轴的对称点，因为点在轴上，所以点关于轴的对称点还是点，连接、、，即可得所要求的三角形；分别画出点、、绕原点顺时针旋转90°得到的点、、，连接点、、，得到即为所求；把和的对应点连接起来交于一点，这个交点就是对称中心，从图中写出对称中心的坐标．【详解】（1）解：如下图所示，作点关于轴的对称点，作点关于轴的对称点，点在轴上，点关于轴的对称点还是点，连接点、、，得到即为所求；（2）解：如下图所示，分别画出点、、绕原点顺时针旋转90°得到的点、、，连接点、、，得到即为所求；（3）解：由图可知，与是中心对称图形，对称中心为．【考点九 旋转的综合问题】例题：（2024·云南昆明·一模）如图，在等腰直角中，点D在上，将绕顶点B沿顺时针方向旋转90°得到(1)求的度数；(2)若求BD的长．【答案】(1)90°(2)【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、根据旋转的性质求解【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，本题中利用全等三角形得出线段和角相等是解题的关键．（1）根据旋转的性质结合等腰直角三角形的性质得到，计算即可；（2）由（1）知，，得到，，利用勾股定理求出，再证明是等腰直角三角形，利用勾股定理即可解答．【详解】（1）解：是由旋转得到的，为等腰直角三角形，∴，，，；（2）解：∵，由（1）知，，∴，，，在中，，∵，∴是等腰直角三角形，∴，∴（负值舍去）．【变式训练】1．（24-25九年级上·全国·期末）在等边中，将扇形按图1摆放，使扇形的半径，分别与，重合，，，固定等边不动，让扇形绕点O逆时针旋转（即图2旋转方式），线段，也随之变化，设旋转角为．发现：（1）当时，旋转角 度；（2）线段与的数量关系是 ；应用：（3）当三点共线时，求的长．【答案】（1）60或240；（2），理由见解析；（3） 或【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、根据旋转的性质求解【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、图形的旋转等知识，正确分情况讨论是解题关键．（1）如图（见解析），分和两种情况，根据等边三角形和平行线的性质求解即可得；（2）分四种情况：，，和，利用三角形全等的判定与性质、线段和差即可得出答案；（3）分两种情况，如图（见解析），先根据等边三角形的判定与性质、勾股定理求出和的长，再根据线段和差求解即可得．【详解】解：（1）∵是等边三角形，∴，，如图1所示：当时，此时，即旋转角为；当时，此时，即旋转角为；综上所述，为60度或240度，答案为：60或240．（2），理由如下：如图2，当时，由题意可得：，，，在和中，，∴，∴；如图3，当时，∵，，∴，∴；如图4，当时，由题意可得：，，，在和中，，∴，∴；如图5，当时，∵，，∴，∴；综上，，故答案为：．（3）①如图6中，当共线时，作于．∵，∴是等边三角形，∴，∴，，∴，∴；②如图7中，当共线时，作于，同理可得：，∴，综上所述，当三点共线时，的长为 或．2．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）已知：点D为等边内的一个动点，将绕点A逆时针旋转得到．(1)如图1，连接、．求证：；(2)如图2，连接，若B、D、E三点共线，求的度数；(3)如图3，点D在的高上运动，连接，若，则的最小值为________．(4)如图4，若，，，求的度数．【答案】(1)见解析(2)(3)2(4)【知识点】全等三角形综合问题、等边三角形的判定和性质、根据旋转的性质求解【分析】（1）根据题意得，再证明，即可得结论；（2）由（1）知，可得，，即可求出；（3）连接，证得，从而得出点E的运动轨迹，当垂直于该直线时，最小进而求得最小值．（4）将绕点A逆时针旋转到，连接，由得得到是等边三角形，由，得到，即可求出；本题考查几何变换综合应用，涉及等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，旋转的性质，垂线段最短等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．【详解】（1）证明：∵是等边三角形，∴，                   ∵绕点A逆时针旋转得到，∴，∴，∴，即，                           在和中，∴， ∴；（2）由（1）知∴，∵∴是等边三角形，                   ∴，∵B、D、E三点共线，∴，∴，            ∴∵∴；（3）解：连接，由（1）知，∴，∵是等边三角形，∴，∵，∴ ∴，∴，∴点E在过点C且与垂直的直线上运动，∴当垂直于该直线时，最小图中点，  ∵，∴，∴的最小值为2，故答案为：2；（4）解：将绕点A逆时针旋转到，连接．∴∴∵∴是等边三角形，∴． ∵，∴，∴，                 ∴，∴．3．（24-25九年级上·全国·期末）如图1，在中，，点D，E分别在边上，且，连接．现将绕点A顺时针方向旋转，旋转角为，如图2，连接．(1)当时，求证：；(2)如图3，当时，延长交于点，求证：垂直平分；(3)在旋转过程中，求的面积的最大值，并写出此时旋转角的度数．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)，【知识点】二次根式的混合运算、线段垂直平分线的判定、用勾股定理解三角形、根据旋转的性质求解【分析】（1）由旋转可知：，再利用 “SAS”证得即可得到结论；（2）同理（1）可得，推出，计算得出，利用等腰三角形“三线合一”的性质即可得到结论；（3）观察图形，当点在线段的垂直平分线上时，的面积取得最大值，利用等腰直角三角形的性质结合三角形面积公式即可求解．【详解】（1）证明：由旋转可知：，在和中，，∴，∴；（2）证明：同理（1）可得，，∴，∵，且，∴，∴，∴，∵，，，∴，，∴，∵，∴CF是线段BD的垂直平分线；（3）解： 过D点作，过A点作，如图2：∵， ∴，，∴，∴，∵中，边的长是定值，则边上的高取最大值时的面积有最大值，∴当点与点重合时，即在线段的垂直平分线上，的面积取得最大值，如图4中：∴，即旋转角．∴的面积的最大值为：，【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．4．（24-25八年级上·山东东营·期中）等腰中，，．    (1)如图1，，是等腰斜边上两动点，且，将绕点逆时针旋转后，得到，连接．①求证：．②当，时，求的长；(2)如图2，点是等腰斜边所在直线上的一动点，连接，将线段以点A为旋转中心，顺时针旋转后得到等腰，当，时，求的长．【答案】(1)①证明见解析；②(2)或【知识点】全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、根据旋转的性质求解【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、用勾股定理解三角形，旋转的性质等知识点．分类讨论的数学思想是解决本题的重要思路．（1）①利用全等三角形的判定定理即可求证；②证，进而在中利用勾股定理即可求解；（2）分情况讨论点在线段，点在线段的延长线上，可证是直角三角形，，进而求解．【详解】（1）证明：如图1中，  由旋转可知，，，，，，，，在和中，，．解：如图1中，设，则．，，，，，，，在中，∵，，∴，解得，∴．（2）解：当点在线段上时，如图2中所示，连接，  ∵，∴，，，，，，，，，；当点在线段的延长线上，如图3中所示，连接，  ∵，，∴，同法可证是直角三角形，，，，．综上所述，DE的长为或．区别中心对称轴对称有一个对称中心有一条对称轴图形绕对称中心旋转180°图形沿对称轴翻折旋转后与另一个图形重合翻折后与另一个图形重合联系都是两个图形之间的关系，并且变换前后的两个图形全等中心对称中心对称图形区别针对两个图形针对一个图形两个图形位置上的关系具有某种性质的一个图形对称点在两个图形上对称点在一个图形上对称中心在两个图形之间对称中心在图形上或图形内部联系如果将中心对称的两个图形看成一个整体（一个图形），那么这个图形就是中心对称图形；如果把中心对称图形对称的部分看成是两个图形，那么它们又关于中心对称．