福建省泉州市泉州实验中学九年级上学期月考（4）数学试题（解析版）-A4

这是一份福建省泉州市泉州实验中学九年级上学期月考（4）数学试题（解析版）-A4，共26页。试卷主要包含了 若函数是二次函数，则， 如图，在中，，，则等内容，欢迎下载使用。
1. 若函数是二次函数，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次函数的定义，即可求解．
详解】解：根据题意得，
解得，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，熟练掌握形如（a，b，c是常数，）的函数，叫做二次函数是解题的关键．
2. 将抛物线y=3x2向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线为（ ）
A. y=3（x+2）2﹣1B. y=3（x﹣2）2+1C. y=3（x﹣2）2﹣1D. y=3（x+2）2+1
【答案】A
【解析】
【详解】函数图象的平移法则为：左加右减，上加下减；根据这个平移法则，抛物线y=3x2向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线为y=3（x+2）2﹣1.故选A.
考点：二次函数图象的平移法则.
3. 如图，在中，，，则（ ）
A. B. 2C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据勾股定理，可得AB与BC的关系，根据正弦函数的定义，可得答案．
【详解】∵∠C=90°，
∴，
∴，
，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，先利用勾股定理得出AB与AC的关系，再利用正弦函数的定义．
4. “杂交水稻之父”袁隆平培育的超级杂交稻在全世界推广种植．某种植户为了考察所种植的杂交水稻苗的长势，从稻田中随机抽取7株水稻苗，测得苗高（单位：cm）分别是：23，24，23，25，26，23，25．则这组数据的中位数是（ ）
A. 23B. 24C. 25D. 24.5
【答案】B
【解析】
【分析】根据中位数的定义进行解答即可．
【详解】解：将这组数据从小到大排列，23，23，23，24， 25，25，26．
处在中间位置的一个数是24，因此中位数是24，
即：中位数是24，
故选：B．
【点睛】本题考查中位数，掌握中位数的定义是正确解答的前提．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
5. 如图是二次函数和一次函数的图像，观察图像写出时，的取值范围（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据利用函数图像解不等式的方法，将不等式转化为函数图像的关系求解即可得到答案．
【详解】解：从图像上看出，二次函数和一次函数图像的两个交点坐标分别为，
∴当时，是指一次函数图像在二次函数图像上方部分对应的的取值范围，则有，
故选：C．
【点睛】本题考查利用函数图像解不等式，熟练掌握等式转化为函数图像的关系方法是解决问题的关键．
6. 如图，抛物线与轴只有一个公共点A（1，0），与轴交于点B（0，2），虚线为其对称轴，若将抛物线向下平移两个单位长度得抛物线，则图中两个阴影部分的面积和为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】连接AB，OM，根据二次函数图像的对称性把阴影图形的面积转化为平行四边形ABOM面积求解即可．
【详解】设平移后的抛物线与对称轴所在的直线交于点M，连接AB，OM．
由题意可知，AM=OB，
∵
∴OA=1，OB=AM=2，
∵抛物线是轴对称图形，
∴图中两个阴影部分的面积和即为四边形ABOM的面积，
∵，，
∴四边形ABOM为平行四边形，
∴．
故选：B．
【点睛】此题考查了二次函数图像的对称性和阴影面积的求法，解题的关键是根据二次函数图像的对称性转化阴影图形的面积．
7. 在同一平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b和二次函数y=ax2+bx的图象可能为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先由二次函数y=ax2+bx图象得到字母系数的正负，再与一次函数y=ax+b的图象相比较看是否一致．
【详解】解：A、由抛物线可知，a＞0，x=﹣＞0，得b＜0，由直线可知，a＞0，b＜0，正确；
B、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＜0，错误；
C、由抛物线可知，a＜0，x=﹣＞0，得b＞0，由直线可知，a＜0，b＜0，错误；
D、由抛物线可知，a＜0，由直线可知，a＞0，错误．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质和一次函数的性质，做题时要注意数形结合思想的运用，同学们加强训练即可掌握，属于基础题．
8. 下表是几组二次函数的自变量x与函数值y的对应值
那么方程的一个解x的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用二次函数和一元二次方程的关系求解即可．
【详解】解：观察表格，可知：当时 ，
当时，，
∴方程的一个近似根在和之间．
故选：B．
【点睛】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根，弄清表格中的数据是解本题的关键．
9. 如图1是某石拱桥，每个拱形都是相同形状的抛物线，且抛物线的顶点与水面距离都相同．在其中一个桥洞中，水面宽度为12米，如图2，拱顶距离水面4米，并建立平面直角坐标系．若水位上涨2米，则每个拱桥内水面的宽度是（ ）

A. 4米B. 米C. 6米D. 米
【答案】B
【解析】
【分析】先求出抛物线的解析式为，再令求得或，再结合题意即可解答．
【详解】解：根据题意知，抛物线与x轴的交点为，其顶点坐标为，
设解析式为，
将点代入可得：，解得：，
则抛物线解析式为，
令可得：，解得：或，
所以水位上涨2米，则每个拱桥内水面的宽度是（米）．
故选B．
【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，将实际问题转换为二次函数问题是解答本题的关键．
10. 如图是二次函数图象的一部分，其对称轴为，且过点．下列说法：①；②；③；④；其中说法正确的是（ ）
A. ①②B. ②③C. ①②④D. ②③④
【答案】C
【解析】
【详解】试题分析：函数开口向上，则a＞0,对称轴在y轴左边，则b＞0，图象与y轴交于负半轴，则c＜0，则abc＜0，则①正确；图象的对称轴为直线x=－1，即－=－1，则2a=b，即2a－b=0，则②正确；当x=2时，y＞0，即4a+2b+c＞0，则③错误；根据图象的对称性可得函数与x轴的另一个交点为(1,0)，即a+b+c=0，根据②可得：b=2a，则a+2a+c=0，即3a+c=0，则④正确.
考点：二次函数的性质
二 ．填空题（每题4分，共24分）
11. 已知二次函数的图象有最高点，那么a 的取值范围是 ________ ．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数的图象有最高点，则图象的开口方向向下，即可求解．
【详解】解：二次函数的图象有最高点，
，
，
故答案为：．
12. 抛物线的对称轴是直线，则______．
【答案】2
【解析】
【分析】根据抛物线的对称轴公式即可求解．
【详解】解：∵的对称轴是直线，，
∴，
解得．
故答案为：2．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，掌握抛物线的对称轴是直线是解题的关键．
13. 已知抛物线与x轴的一个交点为， 则代数式的值为 ________．
【答案】2023
【解析】
【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，求代数式的值，先将点代入抛物线的关系式，再整理得出答案．
【详解】∵抛物线与x轴一个交点，
∴，
即，
∴，
所以．
故答案为：2023．
14. 一组数据1，，a的唯一众数为1，则这组数据的平均数是 _______________．
【答案】
【解析】
【分析】根据众数为1，确定，根据平均数定义得解答即可．
本题考查了众数，平均数，熟练掌握定义是解题的关键．
【详解】解：众数为1，确定，根据平均数定义得
故答案为：．
15. 为了在校运会中取得更好的成绩，小丁积极训练，在某次试投中铅球所经过的路线是如图所示的抛物线的一部分．已知铅球出手处距离地面的高度是米，当铅球运行的水平距离为米时，达到最大高度米的处，则小丁此次投掷的成绩是_____米．
【答案】7
【解析】
【分析】建立坐标系，如图所示：根据顶点为（2,2），过点（0,1.68）求得抛物线解析式，转化为抛物线与x轴的交点问题即一元二次方程问题求解即可．
【详解】解：建立坐标系，如图所示：
由题意得：，点为抛物线的顶点，
设抛物线的解析式为，
把代入得：
，
解得，
,
令，得
解得（舍），
小丁此次投掷的成绩是米．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，根据题意自主建立坐标系，把生活问题转化为二次函数的数学模型求解是解题的关键．
16. 在平面直角坐标系中，点P和点Q 在抛物线上，若，则m的取值范围是__________________．
【答案】或
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象与性质，掌握二次函数图象与性质，并能够熟练运用数形结合是解题的关键．分两种情况：当对称轴在y轴右侧时，当对称轴在y轴左侧时，结合二次函数图象的特性分别进行解答即可．
【详解】解：∵当时，，
抛物线与y轴的交点为0,1，
当时，则，即，
或，
∴与0,1关于对称轴对称，
当对称轴在y轴右侧时，，此时，
∵，
∴，
解得；
当对称轴在y轴左侧时，，
当P、Q两点都在对称轴的右侧，y的值随x值增大而增大，此时，不符合题意；
当P、Q两点都在对称轴的两侧，点P关于的对称点的横坐标值为，
∵，
∴，
解得；
∴综上，m的取值范围是或．
故答案为：或．
三．解答题（共9小题，共86分）
17. 计算：．
【答案】2
【解析】
【分析】按顺序分别进行零指数幂运算、代入特殊角的三角函数值、化简绝对值、进行负整数指数幂的运算，然后再按运算顺序进行计算即可.
【详解】
=
=．
【点睛】本题考查了实数的运算，涉及了0次幂、负指数幂、特殊角的三角函数值等，熟练掌握相关的运算法则是解题的关键.
18. 已知二次函数的图象经过两点，
（1）求二次函数解析式．
（2）判断点是否在这个二次函数图象上，并说明理由．
【答案】（1）
（2）在二次函数的图象上
【解析】
【分析】（1）根据点、的坐标，利用待定系数法即可求出该二次函数的解析式；
（2）将代入二次函数解析式中求出值，结合二次函数图象上点的坐标特征即可得出结论．
【小问1详解】
解：将、代入中，
得：，解得：，
该二次函数的解析式为．
【小问2详解】
当时，，
点在这个二次函数的图象上．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数图象上点的坐标特征，根据点的坐标特征利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键．
19. 已知二次函数y＝－（m＋2）x＋2m－1
（1）求证：不论m取何值，该函数图象与x轴总有两个公共点；
（2）若该函数的图象与y轴交于点（0，3），求当0＜x＜5时，求y的取值范围．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）令 则 计算判别式即可得出结论．
（2）根据题意求得抛物线的对称轴，进而根据自变量的取值范围求得最小值与最大值即可求解．
【小问1详解】
解：令 则



＞0
方程总有两个不相等的实数根，即抛物线与轴总有两个交点；
【小问2详解】
函数的图象与y轴交于点（0，3）．


抛物线的解析式为：

抛物线的开口向上，当时，函数y的最小值为
当时，
当时，
当0＜x＜5时，y的取值范围为：．
【点睛】本题考查了二次函数图象与坐标轴交点问题，待定系数法求解析式，求二次函数的最值，掌握二次函数的性质是解题的关键．
20. 某校为助力我市旅发大会，特组织七年级各班的合唱比赛，决定在七年级各班中选取合唱成绩最好的班级参加这次演出，其中两个班的各项得分如下表：
（1）请计算两个班这三项的平均得分，根据平均得分比较哪个班成绩更好？
（2）如果将服装、音准、创新三项得分按1：7：2的比例确定各班的最终成绩，通过计算比较哪个班成绩更好？
【答案】（1）一班平均得分为84分，二班平均得分为83分，一班成绩更好
（2）二班成绩更好
【解析】
【分析】（1）根据平均数的定义求出对应班级的平均数，然后比较即可得到结论；
（2）根据加权平均数的定义求出对应班级的最终成绩，然后比较即可得到结论．
【小问1详解】
解：一班的平均得分为：分，
二班的平均得分为：分，
∵，
∴根据平均得分比较可知一班成绩更好；
【小问2详解】
解：一班的最终成绩为：分，
二班的最终成绩为：分，
∵，
∴根据最终成绩比较可知二班成绩更好．
【点睛】本题主要考查了求算术平均数和加权平均数，正确计算是解题的关键．
21. 如图，在坡顶A处的同一水平面上有一座古塔，数学兴趣小组的同学在斜坡底P处测得该塔的塔顶B的仰角为，然后他们沿着坡度为的斜坡攀行了26米到达点A，在坡顶A处又测得该塔的塔顶B的仰角为．
（1）求坡顶A到地面的距离；
（2）计算古塔的高度（结果精确到1米）．（参考数据：，，）
【答案】（1）米
（2）约19米
【解析】
【分析】（1）过点A作于H，根据斜坡的坡度为，得出，设，则，，求出k值即可求解；
（2）延长交于D，根据，可得，从而得出四边形是矩形，再根据，得出，利用中，即可求解．
【小问1详解】
解：过点A作于H，如图所示：
∵斜坡的坡度为，
∴，
设，则，
则，
，解得：，
，
坡顶A到地面的距离为米．
【小问2详解】
解：延长交于D，如图所示：
，，
，
∴，
四边形是矩形，，，
，
∴为等腰直角三角形，
，
设，则，
，
在中，，
即，解得：，
古塔的高度约19米．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用、勾股定理、锐角三角函数、坡角与坡度、矩形的判定及性质，解题的关键根据题意作出辅助线，构造直角三角形，利用锐角三角函数求解．
22. 如图，在正方形中 ，E为边的点，P 为对角线上的一点，连接交于点F，连接
（1）如图①，若点E 为边的中点，， 求的长；
（2）如图②，若， 求证：．
【答案】（1）
（2）见解析
【解析】
【分析】（1）作，根据正方形的性质得，，再证明，可得，设，则，再根据勾股定理可得答案；
（2），先根据正方形的性质证明，可得，，即可得出，再根据等边对等角得，即可得，然后根据，可得是等腰直角三角形，即，，接下来证明，即可得出答案．
【小问1详解】
解：过点F作于点G，
∵四边形是正方形，是对角线，
∴，，
∴．
∵点E是的中点，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
设，则，根据勾股定理，得
，
解得．
∵，
∴，
∴．
根据勾股定理，得；
小问2详解】
∵四边形是正方形，
∴，，．
∵，
∴，
∴，．
∵，
∴，，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
根据勾股定理，得．
∵，
∴，
∴，
即，
所以．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，勾股定理，等边对等角，证明两个三角形相似是解题的关键．
23. 某景区旅游商店以元的价格采购一款旅游食品加工后出售，销售价格不低于元，不高于元，经市场调查发现每天的销售量与销售价格（元）之间的函数关系如图所示．

（1）求关于的函数表达式：
（2）当销售价格定为多少时，该商店销售这款食品每天获得的销售利润最大？最大销售利润是多少？【销售利润=（销售价格一采购价格）×销售量】
【答案】（1）
（2）销售价格为元时，利润最大为
【解析】
【分析】（1）分时，当时，分别待定系数法求解析式即可求解；
（2）设利润为，根据题意当时，得出，当时，，
进而根据分时，当时，分别求得最大值，即可求解．
【小问1详解】
当时，设关于的函数表达式为，将点代入得，
∴
解得：
∴，
当时，设关于的函数表达式为，将点代入得，
解得：
∴，
【小问2详解】
设利润为
当时，
∵在范围内，随着的增大而增大，
当时，取得最大值为；
当时，
∴当时，w取得最大值为
，
当销售价格为元时，利润最大为．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键．
24. 已知抛物线y = mx2 -(1- 4 m)x + c过点(1，a)，(- 1，a)，(0，- 1)．
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知过原点的直线与该抛物线交于A，B两点（点A在点B右侧），该抛物线的顶点为C，连接AC，BC，点D在点A，C之间的抛物线上运动（不与点A，C重合）．
①当点A的横坐标是4时，若△ABC的面积与△ABD的面积相等，求点D的坐标；
②若直线OD与抛物线的另一交点为E，点F在射线ED上，且点F的纵坐标为- 2，求证： = ．
【答案】（1）
（2）①，②见解析
【解析】
【分析】（1）把(0，−1)代入解析式中得c的值，再由(1，a)，(- 1，a)关于抛物线的对称轴对称且关于y轴对称，可知抛物线的对称轴为y轴，即1−4m=0，从而可求得m，最后得到解析式；
（2）①过点D作y轴的平行线交AB于点H；由点A在抛物线上及点A的横坐标可求得点A的坐标，从而求得直线AB的解析式，联立直线解析式与二次函数解析式，可求得点B的坐标，从而可求得△ABC的面积；设点D的坐标为，则可得点H的坐标，从而求得DH的长，由，即可求得n的值，从而求得点D的坐标；
②由题意知，点D在第四象限，设OD的解析式为y=kx，，，联立OD的解析式与二次函数解析式，可得关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系可得及的值，从而可得及的值，可得；过点E作y轴的平行线交x轴于点G，过点D、F作x轴的平行线交EG于点N、M，则由平行线分线段成比例定理可得：，，由可证结论成立．
【小问1详解】
把(0，−1)代入解析式中，得c＝−1
∵(1，a)，(- 1，a)关于抛物线的对称轴对称，且又关于y轴对称
∴抛物线的对称轴为y轴，即1−4m=0
∴
故所求函数解析式为
【小问2详解】
过点D作y轴的平行线交AB于点H，如图
∵点A在抛物线上，点A的横坐标4
∴
∴点A的坐标为(4，3)
设直线AB的解析式为y=ax，把点A坐标代入得：
即直线AB解析式为
联立与二次函数，即
消去y，得
解得（舍去）
∴
即点B的坐标
∵OC=1
设点D的坐标为，则可得点H的坐标为
∴
∵
∴
即
∴DH=1
即
解得n=3，n=0(舍去)
当n=3时，
∴点D的坐标为
②由题意知，点D在第四象限，点E在第二象限
设OD的解析式为y=kx，，，则
联立
消去y得关于x的一元二次方程
由题意知，是此一元二次方程两个实数根
由根与系数的关系可得：，
∴，
∴
即
过点E作y轴的平行线交x轴于点G，过点D、F作x轴的平行线交EG于点N、M，如图
则DN∥FM∥OG
∴，
∵ ，
∴
即
∴ =
【点睛】本题是二次函数的综合，考查了待定系数法求二次函数解析式，解一元二次方程及二元方程组，一元二次方程根与系数的关系，平行线分线段成比例定理，割补法求图形面积等知识，这里尽管设了D、E的坐标，但没有求出其坐标，这是一种设而不求的重要方法，本题有较大的运算量，对运算能力提出了较高的要求．
25. 如图，在等边中 ，于点D，E为线段上一动点（不与A，D 重合），连接，， 将绕点C顺时针旋转得到线段， 连接．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，连接交于点G， 连接， 若点H是中点，连接、， 求证：D、G、H 三 点在同一直线上；
（3）如图3，连接交于点G， 连接，， 将沿所在直线翻折至所在平面 内，得到，将沿所在直线翻折至所在平面内，得到，连接，．
①若，直接写出最小值；
②求证：
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）①；②见解析
【解析】
【分析】（1）根据等边三角形性质，旋转的性质，证明，得到．
（2）过点F作，交的延长线于点N，交于点Q，利用三角形全等的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的中位线定理解答即可．
（３）①延长二线交于点R，利用折叠的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，垂线段最短解答即可；
②仿照①，利用正切函数解答即可．
【小问1详解】
证明：∵是等边三角形，
∴，，
∴,
∵，
∴，
∴．
【小问2详解】
证明：过点F作，交的延长线于点N，交于点Q，
∵等边中 ，，
∴，，
∴直线是线段的垂直平分线，
∵E为线段上一动点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点F在线段的垂直平分线上，
∵，
∴点B在线段的垂直平分线上，
∴直线是线段的垂直平分线，
∵直线与线段交点为G，
∴，，
∴；
∴是的中位线，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点是中点，
∵点H是中点，
∴点与点H重合．
∴D、G、H 三 点在同一直线上．
【小问3详解】
解：①延长二线交于点R，
∵等边中 ，，
∴，，，
根据折叠的性质，得，
∴，
根据（2）证明和折叠的性质，得，
∴，
∴是等边三角形，
根据（2）证明和折叠的性质，得，
，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∵直线是线段的垂直平分线，
∴，
∴，
∴，
∴，
根据折叠的性质，得，
∴，
过点G作于点T，
∴，
当最小时，取得最小值，
根据垂线段最短，得当时，最小，
此时
∵，
∴，
∴．
②解：根据前面的证明，得，
∴．
x
1
y
服装（分）
音准（分）
创新（分）
七年级（一）班
90
77
85
七年级（二）班
74
95
80