河南省九师联盟2026届高三上学期12月第四次质量检测数学试卷（Word版附解析）

这是一份河南省九师联盟2026届高三上学期12月第四次质量检测数学试卷（Word版附解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知向量，，若，则（ ）
A．B．C．4D．9
3．已知复数满足，则的虚部是（ ）
A．B．C．D．
4．某校无人机兴趣小组在市无人机大赛后合影留念，2名指导老师和4名组员排成一排照相留念，若2位老师相邻，则不同的排法共有（ ）
A．120种B．360种C．240种D．720种
5．已知角的顶点为原点，始边为轴的非负半轴，终边经过点，则（ ）
A．B．C．D．
6．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形
7．在菱形中，，，E为边上的动点（包括端点），F为的中点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
8．已知数列满足，，若对，，则实数t的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．在中，若，则（ ）
A．B．C．D．
10．若公比为的等比数列的前项积为，，，，则（ ）
A．B．
C．中最小D．使成立的最小正整数的值是4050
11．踢毽子源于汉朝，盛行于六朝，某学校高三年级为了增强学生身体素质，缓解学生备考压力，开展踢毽子活动.已知某踢毽子小组由5人组成（包含甲、乙），每个人踢出的毽子都等可能地传给其他4人中的1人，假设第1次由甲踢出，每次踢出的毽子都能被接住.记第次踢出毽子后，毽子传到乙的概率为，前次踢毽子的过程中，传到乙的次数为，则（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
12．已知等差数列的公差不为0，若，则 .
13．已知函数的定义域为，若，，则 .
14．某正六棱柱外接球的表面积为，则该正六棱柱的体积的最大值为 .
四、解答题
15．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
(1)证明：；
(2)若，，求的面积.
16．已知数列为等比数列，数列的前项和为，且，，.
(1)求和的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
17．如图，在四棱锥中，四边形是菱形，，是边长为2的正三角形，且.
(1)求证：平面平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值.
18．已知抛物线的焦点到其准线的距离为2.
(1)求C的方程；
(2)过点的直线l与C交于M，N两点，且，求l的方程；
(3)设C的焦点为是C上不同的三点，若，，求的值.
19．已知函数，，记的零点为.
(1)求；
(2)求数列中的最小项；
(3)证明：.
参考答案
1．B
【详解】，又，
所以.
故选：B
2．A
【详解】因为，
所以，
解得，
故选：A
3．D
【详解】，
故，故虚部为.
故选：D
4．C
【详解】先将2位老师看作一个整体和4名学生全排有，
2位老师自身有，
所以2位老师相邻，不同的排法共有，
故选：C
5．B
【详解】由角终边经过点，得，
所以，
故选：B
6．C
【详解】由和余弦定理，可得，
即，
由正弦定理得，
又因为中，，，
所以，即，
所以或，即或，
即是等腰三角形或直角三角形，
故选：C.
7．D
【详解】设，
则，
由为的中点，得，
在菱形中，，，
所以，，
所以，
故选：D
8．A
【详解】因为，
所以，
即，所以当时，
，所以，也满足，
所以，，
所以恒成立，
即，
因为，当且仅当时，等号成立，
所以，即，
所以实数t的取值范围是，
故选：A
9．ABC
【详解】由，结合正弦定理角化边可得：，故A对，
由，结合大边对大角可得，故B对，
因为函数在上单调递减，，所以，故C对，
令，满足，而，故D错，
故选：ABC
10．ABD
【详解】因为，所以，
所以，又，
所以，所以，A对，
由，，可知单调递增，
又，所以，
所以，B对，
当时，，当时，，
所以最小，故C错，
因为为正项递增数列，且，
所以使成立的最小正整数的值是4050，D对，
故选：ABD
11．BCD
【详解】由题意知，故A错；
由题意的可能取值为0,1，
，
所以，故B对，
由题意知第次踢出毽子后，毽子没有传到乙的概率为，
所以，故C对，
由，得到，
又，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，
即，故D对，
故选：BCD
12．14
【详解】设等差数列的公差为，
由得：，
解得：，
故答案为：14
13．3
【详解】，则，故，
所以的一个周期为4，所以，
又中，令得，
故，则.
故答案为：3
14．
【详解】正六棱柱外接球的球心是上下底面中心所连线段的中点，
设外接球的半径为，则，得，
设正六棱柱底面的边长为，侧棱长为，则底面正六边形的外接圆半径为，
由题意：，
所以正六棱柱的体积，
令，
所以，
令，得，
当时，，此时单调递增，
当时，，此时单调递减，
所以当时，取得最大值，
所以正六棱柱的体积的最大值为.
故答案为：
15．(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）由及正弦定理得，
所以，
又，所以，
即；
（2）因为，，，
所以，又，所以，
所以的面积.
16．(1)，
(2)
【详解】（1）设等比数列的公比为，
由，，得，即，
所以，
由，当时，，
所以，，
当时，，满足上式，
所以.
（2）由（1）得，
则，
两边同时乘以2，得，
两式作差得，
所以
17．(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）连接，因为四边形是菱形，，
所以为等边三角形，
所以，均是边长为2的正三角形，
取的中点，连接，则，
因为，所以，
所以平面，
所以平面，
又平面，
所以平面平面；
（2）由（1）知两两垂直，
所以以点为坐标原点，为轴建系，
则 ，
所以，
设为平面的法向量，
则，令得，
即，
设为平面的法向量，
则，令，得，
所以，
所以，
即平面与平面夹角的余弦值
18．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）抛物线的焦点坐标为，准线方程为，
所以焦点到其准线的距离为，
所以抛物线方程为；
（2）设，因为M，N两点在抛物线上，
所以，两式相减可得：，
即，
因为，所以点为M，N的中点，
所以，又，
所以，
所以直线得方程为，
即；
（3）

因为，
所以，
设，其中互不相等，
则，
由，
得：，又，所以，①
，又，所以，②
①②得：
，
即，
又，所以，
所以.
19．(1)1
(2)
(3)证明见解析
【详解】（1）当时，，定义域为，
在上恒成立，
所以在上单调递增，
又，所以有唯一零点1，
即；
（2）由的零点为，
得，
两式相减得：，
即，
令，则在上恒成立，
所以在上单调递增，
所以由，得到，
所以，所以数列是递增数列，
所以数列中的最小项是；
（3）令，则，
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
所以，当且仅当时，等号成立，即，
因为，所以,
所以，
所以，
所以
在中，令，得当且仅当时，等号成立，
当时，，
所以当且仅当时，，中等号成立，
所以，
所以，当且仅当时等号成立，
当时，在中，令，
得，
所以，
所以当时，
，
当时，成立，
所以，