【数学】河南省九师联盟2024-2025学年高二上学期11月质量检测试卷（解析版）

这是一份【数学】河南省九师联盟2024-2025学年高二上学期11月质量检测试卷（解析版），共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 直线的倾斜角为（ ）
A. 0B. C. D.
【答案】B
【解析】直线垂直于轴，所以其倾斜角为. 故选：B
2. 双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】双曲线的渐近线方程是，即. 故选：A.
3. 过点且在两坐标轴上截距相等的直线的方程是（ ）
A. B.
C. 或D. 或
【答案】C
【解析】当直线过原点时，其方程是，符合题意;
当直线不过原点时，设直线方程为，代入，
可得：，解得：，所以方程是. 故选：C.
4. “”是“方程表示双曲线”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】方程表示双曲线，则，
解得或，
所以“”是“方程表示双曲线”的充分不必要条件. 故选：A.
5. 已知，若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为，且，
所以，解得. 故选：C.
6. 已知，若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由题意，表示焦点在轴上的椭圆的上半部分，且左顶点为，
当直线经过点时，，当直线与椭圆相切时，
由，得，
所以，解得（负根舍去），当直线与半椭圆有两个交点时，
根据图象，的取值范围为.故选：A.
7. 已知是椭圆的一个焦点，是的上顶点，BF的延长线交于点，若，则的离心率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
不妨设是椭圆的左焦点，是的右焦点，的焦距为2c，连接，
则，又，所以.
在中，由余弦定理得，
所以，即，所以. 故选：D.
8. 已知圆，过轴上的点作直线与圆交于A，B两点，若存在直线使得，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
结合图像易知对于给定的点，当直线过圆心时，最大，最小，此时有最大值，又，所以，所以，即，解得. 故选：B.
二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 平行六面体的底面ABCD是正方形， ，则下列说法正确的是（ ）
A.
B.
C. 四边形的面积为
D. 若，则点在平面内
【答案】ACD
【解析】
因为，所以
，
，故A正确;
因为，故B错误；
因为，
所以，四边形为矩形，其面积，故C正确；
因为，由于，所以四点共面，
即在平面内，故D正确.
故选：ACD.
10. 已知抛物线的焦点为，准线为，经过的直线与交于A，B两点（A在第一象限），D（0,1），E为上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A. 满足为直角三角形的点有且仅有2个
B. 过点且与有且仅有一个公共点的直线恰有3条
C. 若在直线上的射影为，则
D. 若直线的倾斜角为，则
【答案】BCD
【解析】对于A，显然满足的点恰有1个，又以DF为直径的圆与抛物线在第一象限有1个交点，当时，，所以满足为直角三角形的点恰有3个，故A错误；
对于B，当直线斜率不存在时，直线方程为，与抛物线只有一个公共点；
当直线斜率存在时，设直线方程为，联立消得，
当时，方程为，此时直线与抛物线只有一个交点；
当时，则，解得.
综上所述，过点与有且仅有一个公共点的直线有3条，故B正确;
对于C，如图所示，抛物线的焦点为
，当且仅当在线段DF上时取等号，故C正确；
对于D，因为，直线的倾斜角为，则直线的方程为，
联立得，解得，
所以，则，故D正确. 故选：BCD.
11. 关于曲线，下列说法正确的是（ ）
A. 曲线关于直线对称
B. 曲线围成的区域面积小于2
C. 曲线上的点到轴、轴的距离之积的最大值是
D. 曲线上的点到轴、轴的距离之和的最大值是
【答案】ABC
【解析】对于方程，以代替，同时以代替方程不变，所以曲线关于对称，故A正确；
对于B，设分别为与图象上第一象限内的点，，则，所以在的下方，
所以曲线围成的面积小于围成的面积，围成的面积为，故B正确；
对于C，因为，等号仅当时成立，
所以曲线上的点到轴、轴的距离之积，故C正确;
对于D，因为，所以，
等号仅当时成立，所以曲线上的点到轴、轴的距离之和的最小值为，故D错误. 故选:ABC.
三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知空间向量是实数，则的最小值是___________.
【答案】3
【解析】因为，
所以，
所以当时，取最小值，且最小值为3. 故答案为：3
13. 如图是正在施工建设的济新黄河三峡大桥鸟瞰图，该桥是世界首座独塔地锚式回转缆悬索桥，大桥主跨长约500米，主塔的高约100米.缆悬索是以为顶点并开口向上的抛物线的一部分，则主塔顶端点到抛物线的焦点的距离为_________米.
【答案】725
【解析】以为坐标原点，过且与主塔AB平行的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则，设抛物线的方程为，则100，解得，所以抛物线的准线方程为.故答案为：725
14. 设直线与圆交于A，B两点，对于任意的实数，在轴上存在定点，使得的平分线在轴上，则的值为______.
【答案】3
【解析】设，由题得，即，
整理得，又，
所以，整理得，
由联立得，
所以，代入①并整理得，
此式对任意的都成立，所以. 故答案为：3
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知点，直线方程为.
（1）证明：无论取何值，直线必过第三象限；
（2）若点A，B到直线的距离相等，求的值.
（1）证明：直线的方程为，即，所以直线过定点，因为位于第三象限，所以无论取何值，直线必过第三象限.
（2）解：法一：由点到直线的距离公式知：，
即，所以或，解得或.
法二：若点A、B到直线l的距离相等，则直线或直线l经过线段AB的中点，
当时，，解得，
线段AB中点坐标为，即，
当直线经过线段AB的中点时，，解得，
综上，或.
16. 已知抛物线与圆相交于、两点，且.
（1）求抛物线的方程;
（2）若直线与相交于、两点，是的焦点，求的周长.
解：（1）因为，根据圆与抛物线的对称性，不妨设，
因为点在圆上，所以，解得（负值舍去），
所以的方程是.
（2）由消去并整理得，设Mx1,y1、Nx2,y2，
则，由韦达定理可得，，
所以，
，
所以的周长为.

17. 设，圆的圆心在轴的正半轴上，且过中的三个点.
（1）求圆的方程；
（2）若圆上存在两个不同的点，使得成立，求实数的取值范围.
解：（1）若圆经过A，C，则圆心必在AC的垂直平分线上，不符合圆在轴正半轴；根据题意得圆只能过点A，B，D三点，
因为，所以的中点为，两点的斜率为，
利用互相垂直的两直线斜率之积为，可知两点的中垂线斜率为，
所以由点斜率式可得线段AB的垂直平分线的方程为，
整理得：
又因为，所以的中点为，两点的斜率不存在，
所以线段AD的垂直平分线的方程为 联立方程组解得
所以圆心为，即圆心到点的距离为半径，即半径为2，
所以圆的方程为
（2）设存在点，因为，
所以有，
化简得，所以，
且满足这个方程的点可以理解为一个圆上的点 ，而点又在圆上且有两个点，
所以这两个圆应该是相交，
此两圆的圆心分别为和，所以圆心距为，
而两圆的半径分别为和2，则有，
解得.
18. 已知是椭圆上的一点，是的一个焦点，为坐标原点.
（1）求的方程;
（2）是上的四个点，与相交于点.
①若分别为与轴的正半轴的交点，求直线的斜率;
②若直线的斜率为，求面积的最大值，并求出此时直线的方程.
解：（1）因为是椭圆上的一点，所以，即，
又，又，所以， 故的方程为
（2）①若A，B分别为椭圆与x，y轴的正半轴的交点，则，
则直线的方程是，即，
代入椭圆的方程，消去并整理得，解得或，
因为，所以，则，即，
直线的方程是，即，
代入椭圆的方程，消去并整理得，解得或，
因为，所以，则，即， 所以.
②因为直线AB的斜率为，所以可设直线AB的方程为，
代入消去并整理得，设Ax1,y1,Bx2,y2，则，
又点到直线AB的距离，
所以的面积，
等号仅当，即时成立，
显然满足，所以面积的最大值是1.
此时，直线AB的方程是，即或
19. 在平面直角坐标系xOy中，若在曲线的方程中，以且代替得到曲线的方程，则称是由曲线通过关于原点的“伸缩变换”得到的曲线，称为伸缩比.
（1）若不过原点的直线通过关于原点的“伸缩变换”得到的曲线是，证明:是与平行的直线;
（2）已知伸缩比时，曲线通过关于原点的“伸缩变换”得到的曲线是，且与轴有A，B两个交点（在的左侧），过点且斜率为的直线与在轴的右侧有，两个交点.
①求的取值范围;
②若直线的斜率分别为，证明：为定值.
（1）证明：设不过原点的直线的方程是都是常数，且a，b不同时为，则曲线的方程是，且，即，因为都是常数，且a，b不同时为，
所以曲线是一条直线，且与直线平行
（2）①解：伸缩比时，曲线通过关于原点的“伸缩变换”得到的曲线是，所以曲线的方程是，即.
与轴的两个交点A，B的坐标分别是，因为直线点，斜率为，所以直线的方程为，代入，
消去并整理得， 设，
则，，
因为与在轴的右侧有两个交点，所以，且，
解得或，所以的取值范围是.
②证明:由①知或，所以，
， ，
所以为定值.