九师联盟2026届高三上学期12月联考（第4次质量检测）数学含解析（word版）

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求
1.若集合 ,则
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意得 ,所以 .
2.已知向量 ,若 ,则
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】A
【解析】因为 ,所以 ,解得 .
3.已知复数 满足 ,则 的虚部是
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】 ,所以 的虚部是 .
4.某校无人机兴趣小组在市无人机大赛后合影留念,2 名指导老师和 4 名组员排成一排照相留念,若 2 位 老师相邻，则不同的排法共有
A. 120 种 B. 360 种 C. 240 种 D. 720 种
【答案】C
【解析】先将 2 位老师看作一个整体与 4 名学生全排,有 种,2 位老师自身排有 种,所以 2 位老师相邻时不同的排法共有 种.
5.已知角 的顶点为原点 ,始边为 轴的非负半轴,终边经过点 ,则
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由角 的终边经过点 ，得 ，
所以 .
6.在 中,内角 的对边分别为 ,若 ,则 是
A. 等腰三角形 B. 直角三角形
C. 等腰三角形或直角三角形 D. 等腰直角三角形
【答案】C
【解析】由正弦定理与余弦定理,得 ,即 ,由正弦定理,得 ,所以 ,所以 或 ,即 或 ,所以 是等腰三角形或直角三角形.
7.在菱形 中, 为边 上的动点 (包括端点), 为 的中点,则 的取值范围为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】设 ,则 ,由 为 的中点,得 ，在菱形 中， ，所以 . ， ，所以 .
8.已知数列 满足 ,若对 ,则实数 的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为 ,所以 ,即 ,所以 时, ,所以 也满足上式,因此 ,所以 恒成立,即 ,因为 ,当且仅当 时等号成立,所以 ,解得 ,即 的取值范围是 .
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.在 中,若 ,则
A. B. C. D.
【答案】ABC
【解析】由 ，及正弦定理，得 ，故 正确；由 及三角形中大边对大角，得 ，故 正确；因为函数 在 上单调递减， ，所以 ，故 正确；令 ，满足 ，但 ，故 错误.
10.若公比为 的等比数列 的前 项积为 0,则
A. B.
C. 中 最小 D. 使 成立的最小正整数 的值是 4050
【答案】ABD
【解析】因为 ,所以 ,所以 ,因为 ,所以 , 即 ,故 A 正确; 由 可得 是递增数列,因为 ,所以 , 所以 ,故 B 正确; 当 时, ,当 时, ,所以当 时, 最小,故 C 错误; 因为 是正项递增数列,且 ,所以使 成立的最小正整数 的值是 正确.
11.踢毽子源于汉朝，盛行于六朝，某学校高三年级为了增强学生身体素质，缓解学生备考压力，开展踢毽子活动. 已知某踢毽子小组由 5 人组成(包含甲、乙)，每个人踢出的毽子都等可能地传给其他 4 人中的1人，假设第 1 次由甲踢出，每次踢出的毽子都能被接住. 记第 次踢出毽子后，毽子传到乙的概率为 ,前 次踢毽子的过程中,传到乙的次数为 ,则
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】由题意知 ,故 错误; ,故 B 正确; 由题意知第 次踢出毽子后,毽子没有传到乙的概率为 ,所以 ,故 正确; ,又 ,所以数列 是以 为首项, 为公比的等比数列,所以 ,即 . 故 D 正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12.已知等差数列 的公差不为 0，若 ，则 ________.
【答案】14
【解析】设等差数列 的公差为 ,由 ,得 ,解得 .
13.已知函数 的定义域为 ，若 ，则 _______.
【答案】 3
【解析】由 ,得 ,所以 的一个周期为 .
14.某正六棱柱外接球的表面积为 ，则该正六棱柱的体积的最大值为________.
【答案】54
【解析】正六棱柱外接球的球心是上下底面中心所连线段的中点,设外接球半径为 ,则 ,所以 ,设正六棱柱底面的边长为 ,侧棱长为 ,则底面正六边形外接圆的半径为 ,且 ,所以正六棱柱的体积 ,令 ,则 ,令 ,得 ,所以当 时, 单调递增,当 时, 单调递减,所以当 时, 取得最大值 ,所以正六棱柱的体积的最大值为
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15.在 中,内角 的对边分别为 ,且 .
(1)证明: ；
(2)若 ， ，求 的面积 .
【解析】(1)证明:由 及正弦定理，得 ，
所以 ,
又 ,所以 ,
即 .
(2)解:因为 ，所以 ，
又 ,所以 .
所以 的面积 .
16.已知数列 为等比数列,数列 的前 项和为 ,且 .
(1)求 和 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 .
【解析】(1)设等比数列 的公比为 ,
由 ,得 ,解得 ,
所以 .
已知数列 的前 项和为 ,
当 时, ,
所以 ,
当 时, ,满足上式,所以 .
(2)由(1)，得 ，
则 ,
两边同时乘以 2,得 ,
两式作差,得
.
所以 .
17.如图，在四棱锥 中，四边形 是菱形， ， 是边长为 2 的正三角形， 且 .

(1)求证:平面 平面 ；
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值
【解析】
(1)证明:连接 ，因为四边形 是菱形， ，所以 为正三角形.
所以 与 均是边长为 2 的正三角形,
取 的中点 ,连接 ,则 .
因为 ,所以 .
因为 平面 ,所以 平面 ,
又 平面 ,所以平面 平面 .
(2)解:由(1)可知，直线 两两垂直，所以以点 为坐标原点， 所在直线分别为 轴, 轴, 轴建立如图所示的空间直角坐标系,
则 , ,
所以 .
设 为平面 的一个法向量,则
令 ,得 .
设 为平面 的一个法向量,则
令 ,得 .
所以 ,即平面 与平面 夹角的余弦值为 .
18.已知抛物线 的焦点到其准线的距离为 2 .
(1)求 的方程；
(2)过点 的直线 与 交于 两点，且 ，求 的方程；
(3)设 的焦点为 是 上不同的三点，若 ，求 的值.
【解析】(1)解:抛物线 的焦点为 ，准线方程为 .
因为焦点到准线的距离为 2,所以 ,解得 .
所以抛物线 的方程为
(2)解:设 ， ，因为 ， 在 上，所以
两式相减,得 ,即 .
因为 ,所以点 是 的中点,所以 ,
所以 ,即 ,
又 ,所以 .
所以直线 的方程为 ,即 .
(3)因为 ，所以 .
设 ,其中 互不相等,
则 ,
由 ,得 ,又 ,所以 ①,
由 ,得 ,又 ,所以 ②,
① ② ，得 ，
即 ,
又 ，所以 ，
所以 .
19.已知函数 ,记 的零点为 .
(1) 求 ；
(2)求数列 中的最小项；
(3)证明: .
【解析】(1)解:当 时， ，定义域为(0， ，
在 上恒成立,所以 在 上单调递增.
又 ,所以 有唯一零点 1,即 .
(2)解:由 的零点为 ，得 ，
两式相减,得 ,即 .
令 ,则 在 上恒成立,所以 在 上单调递增,
所以由 ,得 ,所以 ,所以数列 是递增数列.
所以数列 中的最小项是 .
(3)证明:令 ,则 ,
当 时, 单调递减; 当 时, 单调递增,
所以 ,当且仅当 时,等号成立,即 .
因为 ,所以 ,
所以 ,所以 ,
所以 .
在 中,令 ,得 ,当且仅当 时等号成立,
当 时, ,
所以当且仅当 时, 中等号成立,
所以 ,所以 ,当且仅当 时等号成立.
当 时,在 中,令 ,得 ,所以 ,
所以 时,
.
当 时, 成立,所以 .
综上所述,