8.3.2实数的性质及运算（课件）--2024新人教版七年级数学下册课件

买合苏迪古丽·买买提托克逊县第二中学159099548808.3.2 实数的性质及运算学习目标深入理解实数的基本性质，包括相反数、绝对值、倒数的特性及应用。熟练掌握实数的各种运算规则，能准确进行实数的加减、乘除、乘方和开方运算。学会运用实数的性质简化运算，解决含实数的综合问题。体会实数运算与有理数运算的联系，提升运算的准确性和灵活性。知识回顾实数的基本概念上节课我们学习了实数的概念，知道实数是有理数和无理数的统称。有理数是有限小数或无限循环小数，无理数是无限不循环小数。实数与数轴上的点一一对应，这为我们研究实数的性质和运算奠定了基础。实数的性质深化相反数的性质基本性质：实数 a 的相反数是 - a，即 a 与 - a 互为相反数。特殊性质：互为相反数的两个数的和为 0，即 a + (-a) = 0。例如，√3 + (-√3) = 0，π + (-π) = 0。0 的相反数是 0 本身，这是唯一的一个相反数等于自身的实数。相反数的相反数等于原数，即 -(-a) = a。例如，-(-√2) = √2。绝对值的性质定义回顾：当 a > 0 时，|a| = a；当 a = 0 时，|a| = 0；当 a < 0 时，|a| = -a。重要性质：非负性：任何实数的绝对值都是非负数，即 | a| ≥ 0。例如，|√5| = √5 ≥ 0，|-3| = 3 ≥ 0。若 | a| = |b|，则 a = b 或 a = -b。例如，|√2| = |-√2|，则√2 = -(-√2)。|a・b| = |a|・|b|；|a/b| = |a|/|b|（b≠0）。例如，|√3×2| = |√3|×|2| = 2√3，|√5/2| = |√5|/|2| = √5/2。倒数的性质基本性质：非零实数 a 的倒数是 1/a，即 a 与 1/a 互为倒数。特殊性质：互为倒数的两个数的积为 1，即 a・(1/a) = 1（a≠0）。例如，2×(1/2) = 1，√2×(1/√2) = 1（1/√2 可化简为√2/2，即√2×√2/2 = 2/2 = 1）。0 没有倒数，因为不存在一个数与 0 相乘等于 1。倒数的倒数等于原数，即 1/(1/a) = a（a≠0）。例如，1/(1/√3) = √3。负数的倒数是负数，正数的倒数是正数。例如，-3 的倒数是 - 1/3，√5 的倒数是 1/√5。实数的运算规则加减法运算同类二次根式合并：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式。同类二次根式可以合并，合并方法与合并同类项类似，即把系数相加减，被开方数和根指数不变。示例：2√3 + 3√3 = (2 + 3)√3 = 5√3；5√2 - 2√2 = (5 - 2)√2 = 3√2。非同类实数加减：非同类的实数相加或相减，直接写出结果，不能合并。示例：√2 + √3 不能合并，结果就是√2 + √3；2 + √5 结果就是 2 + √5。乘除法运算乘法运算：√a・√b = √(a・b)（a≥0，b≥0）。例如，√2・√3 = √(2×3) = √6；√4・√9 = √(4×9) = √36 = 6。(√a)² = a（a≥0）。例如，(√5)² = 5；(2√3)² = 2²×(√3)² = 4×3 = 12。除法运算：√a / √b = √(a/b)（a≥0，b>0）。例如，√6 / √2 = √(6/2) = √3；√(1/2) = √1 / √2 = 1/√2 = √2/2（分母有理化）。乘方运算实数的乘方运算与有理数的乘方运算规则相同，即求 n 个相同因数的积的运算。示例：(√2)³ = √2×√2×√2 = (√2×√2)×√2 = 2×√2 = 2√2；(π)² = π×π = π²。混合运算顺序先算乘方和开方；再算乘除；最后算加减；同级运算从左到右依次进行；有括号的先算括号里面的（先算小括号，再算中括号，最后算大括号）。实数运算的技巧与方法分母有理化把分母中的根号化去，叫做分母有理化。方法：分子和分母同时乘分母的有理化因式。例如，1/√2 = (1×√2)/(√2×√2) = √2/2；1/(√3 - √2) = [1×(√3 + √2)] / [(√3 - √2)(√3 + √2)] = (√3 + √2)/(3 - 2) = √3 + √2。利用运算律简化运算运用加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律可以简化运算过程。示例：(√2 + √3)×√2 = √2×√2 + √3×√2 = 2 + √6（乘法分配律）；(√5 + √3) + (2 - √3) = √5 + √3 + 2 - √3 = √5 + 2（加法结合律）。课堂例题例题 1计算下列各式：（1）3√2 + 5√2 - 2√2（2）√18 + √8 - √2解答步骤：（1）3√2 + 5√2 - 2√2 = (3 + 5 - 2)√2 = 6√2。（2）先化简二次根式：√18 = 3√2，√8 = 2√2。则√18 + √8 - √2 = 3√2 + 2√2 - √2 = (3 + 2 - 1)√2 = 4√2。例题 2计算：（1）√3×√6÷√2（2）(2√3 + √2)(2√3 - √2)解答步骤：（1）√3×√6÷√2 = √(3×6)÷√2 = √18÷√2 = √(18/2) = √9 = 3。（2）利用平方差公式 (a + b)(a - b) = a² - b²：(2√3 + √2)(2√3 - √2) = (2√3)² - (√2)² = 12 - 2 = 10。例题 3化简：（1）1/√5（2）√(1/3) + √27解答步骤：（1）1/√5 = (1×√5)/(√5×√5) = √5/5。（2）√(1/3) = √3/3，√27 = 3√3。则√(1/3) + √27 = √3/3 + 3√3 = √3/3 + 9√3/3 = 10√3/3。课堂练习练习 1计算：（1）4√5 - 2√5 + 3√5（2）√20 - √5 + √(1/5)练习 2计算：（1）√6×√3÷√2（2）(√5 + 1)²练习 3化简：（1）2/√6（2）√(2/3) - √(3/2)课堂小结实数的性质：相反数之和为 0，绝对值非负，倒数之积为 1。实数运算包括加减、乘除、乘方和开方，同类二次根式可合并。运算技巧：分母有理化可简化除法运算，运算律能简化混合运算。运算顺序：先乘方开方，再乘除，最后加减，有括号先算括号内。课后作业课本 Pxx 页习题 8.3 第 x、x 题。计算：（1）5√3 + 2√3 - 7√3（2）√12 + √27 - √48（3）√2×√10÷√5（4）(√3 - √2)²化简：（1）3/√3（2）√(1/2) + √8思考：如何快速判断几个二次根式是否为同类二次根式？有理数中的几个重要概念：思考：无理数也有相反数吗？如果有怎么表示？有绝对值吗？如果有怎么表示？有倒数吗？如果有又该怎么表示？①相反数：只有符号不同的两个数互为相反数；②绝对值：数轴上表示数 a 的点到原点的距离叫作数 a 的绝对值，用 | a | 来表示.③倒数：如果两个数的积是1，那么这两个数互为倒数. ππ0π填一填：0根据填空的内容，你能得出什么结论? (3) －5 的倒数为_____. 要点归纳1. 若 a 是一个实数，则实数 a 的相反数为－a.2. 一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是 0.一个实数的绝对值就是它在数轴上的对应点与原点的距离. 典例精析   典例精析   1. 分别求出下列各数(式)的相反数和绝对值：    练一练思考：根据实数的性质试着完成下列各题，并猜想有理数中学过的运算法则及运算律对实数是否适用?填空：设 a，b，c 是任意实数，则（1）a + b = （加法交换律）；（2）(a + b) + c = （加法结合律）；（3）a + 0 = 0 + a = ；（4）a + (-a) = (-a) + a = ；（5）ab = （乘法交换律）；（6）(ab)c = （乘法结合律）；b + aa + (b + c)a0baa(bc)（7） 1 · a = a · 1 = ；a （8）a(b + c) = （乘法对于加法的分配律）， (b + c)a = （乘法对于加法的分配律）；（9）实数的减法运算规定为 a - b = a + ；（10）对于每一个非零实数 a，存在一个实数 b，满 足 a · b = b · a = 1，我们把 b 叫作 a 的＿＿＿；（11）实数的除法运算（除数 b≠0），规定为 a÷b = a · ；（12）实数有一条重要性质：如果 a≠0，b≠0， 那么 ab＿＿0.ab + acba + ca(-b)倒数≠ 实数之间不仅可以进行加、减、乘、除(除数不为0)、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用.要点归纳实数的运算顺序：(1) 先算乘方、开方；(2) 再算乘除，最后算加减；(3) 如果遇到括号，先进行括号里的运算.例2 计算下列各式的值：       典例精析练一练         ＝－3＋8＝5.例3 计算(结果保留小数点后两位)：  典例精析 4. 计算 (结果保留小数点后两位)：练一练例4 如图，小明将一个小正方形 ABCD 和一个大正方形 CEFG 拼在了一起，其中小正方形的面积为 2 dm²，大正方形的面积为 3 dm²，请问这两个正方形的边长之和是多少? (结果保留两位小数)  B 2. 下列各组数中互为相反数的是( )B  B  返回 C  返回    3（答案不唯一） 返回7.比较下列各组数的大小：      返回      返回9.计算：         返回10. 下列运算错误的是( )C  C  返回   返回      返回有理数无理数实数数轴相反数因为 a 与 b 互为相反数，所以 a + b = 0绝对值数与点的对应0-a阿木提江·塔西吐木尔托克逊县第一中学13899326086