5.3 分式的乘除(第2课时） 课件-2025-2026学年浙教版（2024）数学七年级下册教学课件

第 1 页：封面页标题：5.3 分式的乘除（第 2 课时）—— 分式的除法副标题：浙教版七年级下册数学・分式运算的核心类型（2）配图：分数除法与分式除法转化对比图（左：\(\frac{2}{3}÷\frac{4}{5}=\frac{2}{3}×\frac{5}{4}\)；右：\(\frac{a}{b}÷\frac{c}{d}=\frac{a}{b}×\frac{d}{c}(b,c,d≠0)\)）、分式除法运算流程图（除法转乘法→因式分解→约分→相乘）底部信息：核心素养目标：转化思想、运算规范、逻辑推理、应用能力第 2 页：情境导入 —— 从 “分数除法” 到 “分式除法”旧知衔接（三重回顾）分数除法法则：除以一个数（不为 0）等于乘这个数的倒数（如\(\frac{3}{4}÷\frac{2}{5}=\frac{3}{4}×\frac{5}{2}=\frac{15}{8}\)）分式乘法法则：分子积作分子，分母积作分母，先约分再相乘（如\(\frac{x}{y}×\frac{z}{w}=\frac{xz}{yw}\)）倒数概念：若两个数的积为 1，则互为倒数（分式\(\frac{c}{d}\)的倒数为\(\frac{d}{c}\)，需满足\(c≠0\)，\(d≠0\)）情境案例（路程速度问题）问题：一辆自行车行驶\(\frac{x}{2}\)千米用了\(\frac{x-1}{3}\)小时（\(x>1\)），求自行车的平均速度（速度 = 路程 ÷ 时间，即\(\frac{x}{2}÷\frac{x-1}{3}\)）分析：这是分式与分式相除的问题，需将除法转化为熟悉的乘法运算。思考：分式除法是否可类比分数除法 “转除为乘”？如何计算\(\frac{x}{2}÷\frac{x-1}{3}\)？引出课题：分式的除法。第 3 页：新知讲解 1—— 分式除法法则的推导与归纳法则推导（类比分数 + 代数验证）分数除法示例：\(\frac{2}{3}÷\frac{5}{4}=\frac{2}{3}×\frac{4}{5}=\frac{8}{15}\)（除以\(\frac{5}{4}\)等于乘它的倒数\(\frac{4}{5}\)）分式除法类比：设分式\(\frac{A}{B}\)（\(B≠0\)）除以分式\(\frac{C}{D}\)（\(C≠0\)，\(D≠0\)），则\(\frac{A}{B}÷\frac{C}{D}=\frac{A}{B}×\frac{D}{C}\)（除以\(\frac{C}{D}\)等于乘它的倒数\(\frac{D}{C}\)）代数验证：设\(\frac{A}{B}÷\frac{C}{D}=k\)，则\(\frac{A}{B}=k×\frac{C}{D}\)，解得\(k=\frac{A}{B}×\frac{D}{C}\)，与法则结果一致，推导成立。法则归纳（文字 + 符号）文字表述：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘（即 “转除为乘，倒数相乘”）。符号表示：\(\frac{A}{B}÷\frac{C}{D}=\frac{A}{B}×\frac{D}{C}=\frac{AD}{BC}\)（其中\(B≠0\)，\(C≠0\)，\(D≠0\)，\(A\)、\(B\)、\(C\)、\(D\)为整式）关键前提：除式不能为 0（即\(\frac{C}{D}≠0\)，需满足\(C≠0\)且\(D≠0\)）；倒数需正确颠倒分子分母（如\(\frac{x+1}{x-2}\)的倒数是\(\frac{x-2}{x+1}\)，而非\(\frac{x+1}{x-2}\)）。第 4 页：新知讲解 2—— 分式除法的运算步骤与基础示例运算步骤（“一转二因式三约分四相乘五化简”）转除为乘：将除法算式转化为乘法算式，即把除式的分子分母颠倒，乘被除式；因式分解：对分子、分母中的多项式进行因式分解（平方差、完全平方、提取公因式）；找公因式约分：跨分式找分子与分母的公因式，逐一约去（减少计算量）；分子分母相乘：约分后分子相乘作新分子，分母相乘作新分母；化简验证：检查结果是否为最简分式，若不是，继续约分。基础示例（分类型讲解）类型 1：分子分母均为单项式的分式除法计算：\(\frac{6x^2y}{5z}÷\frac{3xy}{10z^2}\)解答：转除为乘：\(\frac{6x^2y}{5z}×\frac{10z^2}{3xy}\)（除式\(\frac{3xy}{10z^2}\)的倒数为\(\frac{10z^2}{3xy}\)）；因式分解：均为单项式，无需额外分解；约分：\(\frac{\cancel{6x^2y}^{2x}}{\cancel{5z}^1}×\frac{\cancel{10z^2}^{2z}}{\cancel{3xy}^1}=\frac{2x×2z}{1×1}=4xz\)；结果：\(4xz\)（最简整式，符合要求）。类型 2：含多项式的分式除法（分子或分母为多项式）计算：\(\frac{x^2-9}{x+2}÷\frac{x-3}{x+2}\)解答：转除为乘：\(\frac{x^2-9}{x+2}×\frac{x+2}{x-3}\)（除式\(\frac{x-3}{x+2}\)的倒数为\(\frac{x+2}{x-3}\)）；因式分解：\(x^2-9=(x+3)(x-3)\)；约分：\(\frac{(x+3)\cancel{(x-3)}}{\cancel{x+2}}×\frac{\cancel{x+2}}{\cancel{x-3}}=x+3\)；结果：\(x+3\)（\(x≠-2\)、\(x≠3\)，确保原分式有意义）。第 5 页：新知讲解 3—— 分式除法的进阶示例与符号处理进阶示例 1：含负号的分式除法计算：\(\frac{-4a^2}{3b}÷\frac{-2a}{9b^2}\)解答：转除为乘：\(\frac{-4a^2}{3b}×\frac{9b^2}{-2a}\)（除式倒数为\(\frac{9b^2}{-2a}\)，或先处理符号：\(\frac{4a^2}{3b}×\frac{9b^2}{2a}\)，负负得正）；约分：\(\frac{\cancel{4a^2}^{2a}}{\cancel{3b}^1}×\frac{\cancel{9b^2}^{3b}}{\cancel{2a}^1}=\frac{2a×3b}{1×1}=6ab\)；结果：\(6ab\)（符号为正，无需额外标注）。进阶示例 2：分式除法与乘法混合运算计算：\(\frac{x}{x-1}÷\frac{x^2}{x^2-1}×\frac{1}{x+1}\)解答：统一转除为乘：\(\frac{x}{x-1}×\frac{x^2-1}{x^2}×\frac{1}{x+1}\)（除式\(\frac{x^2}{x^2-1}\)的倒数为\(\frac{x^2-1}{x^2}\)）；因式分解：\(x^2-1=(x+1)(x-1)\)；约分：\(\frac{\cancel{x}^1}{\cancel{x-1}^1}×\frac{(x+1)\cancel{(x-1)}}{\cancel{x^2}^x}×\frac{1}{\cancel{x+1}^1}=\frac{1×1×1}{1×x×1}=\frac{1}{x}\)；结果：\(\frac{1}{x}\)（\(x≠0\)、\(x≠±1\)，符合分母不为 0 的条件）。符号处理技巧统一符号时机：可在 “转除为乘” 前处理负号（如\(\frac{-a}{b}=-\frac{a}{b}\)），也可在转乘后根据负号个数判断结果符号（偶数为正，奇数为负）；多项式负号处理：若除式分子为负首项多项式（如\(\frac{2-x}{x+3}\)），颠倒后为\(\frac{x+3}{2-x}=-\frac{x+3}{x-2}\)，避免遗漏负号。第 6 页：新知讲解 4—— 常见易错点与辨析易错点 1：除式倒数颠倒错误错误示例：\(\frac{x}{y}÷\frac{a}{b}=\frac{x}{y}×\frac{a}{b}\)（未颠倒除式分子分母，应为\(\frac{x}{y}×\frac{b}{a}\)）正确示例：先明确除式 “\(\frac{a}{b}\)”，倒数为 “\(\frac{b}{a}\)”，再相乘，即\(\frac{x}{y}×\frac{b}{a}=\frac{xb}{ya}\)。易错点 2：忽略除式不为 0 的条件错误示例：计算\(\frac{x}{x-2}÷\frac{x+1}{x-2}\)时，仅标注\(x≠2\)，忽略\(x+1≠0\)（除式\(\frac{x+1}{x-2}≠0\)需\(x+1≠0\)）正确示例：结果为\(\frac{x}{x+1}\)，需标注\(x≠2\)、\(x≠-1\)、\(x≠0\)（覆盖所有使原分式无意义的取值）。易错点 3：混合运算顺序错误错误示例：\(\frac{x}{x-1}÷\frac{x}{x+1}×\frac{x+1}{x}=\frac{x}{x-1}÷\frac{x(x+1)}{x(x+1)}=\frac{x}{x-1}÷1=\frac{x}{x-1}\)（错误先算后两项乘法，应从左到右依次运算）正确示例：从左到右转除为乘：\(\frac{x}{x-1}×\frac{x+1}{x}×\frac{x+1}{x}=\frac{(x+1)^2}{x(x-1)}\)。第 7 页：例题解析 —— 实际应用与综合练习例题 1（行程问题应用）问题：承接情境案例，自行车行驶\(\frac{x}{2}\)千米用了\(\frac{x-1}{3}\)小时（\(x>1\)），若另一辆电动车的速度是自行车的\(\frac{2x}{x+1}\)倍，求电动车的速度（用最简分式表示）。解答：先求自行车速度：\(\frac{x}{2}÷\frac{x-1}{3}=\frac{x}{2}×\frac{3}{x-1}=\frac{3x}{2(x-1)}\)；再求电动车速度：\(\frac{3x}{2(x-1)}×\frac{2x}{x+1}=\frac{3x×2x}{2(x-1)(x+1)}=\frac{3x^2}{(x-1)(x+1)}\)；化简：\(\frac{3x^2}{x^2-1}\)（\(x>1\)，确保分母不为 0）；答：电动车的速度为\(\frac{3x^2}{x^2-1}\)千米 / 小时。例题 2（代数求值应用）问题：先化简，再求值：\(\frac{x^2-4}{x^2+4x+4}÷\frac{x-2}{x+2}\)，其中\(x=3\)。解答：化简过程：转除为乘：\(\frac{x^2-4}{x^2+4x+4}×\frac{x+2}{x-2}\)；因式分解：\(x^2-4=(x+2)(x-2)\)，\(x^2+4x+4=(x+2)^2\)；约分：\(\frac{(x+2)\cancel{(x-2)}}{(x+2)^2}×\frac{x+2}{\cancel{x-2}}=1\)；代入求值：无论\(x\)取何值（符合条件），结果均为 1，故当\(x=3\)时，值为 1；提醒：化简后若结果为常数，可直接得出值，无需重复代入。第 8 页：课堂练习 —— 分层巩固基础题（必做）计算下列分式除法：(1) \(\frac{5a}{6b}÷\frac{10a^2}{9b^2}=\)；(2) \(\frac{x^2-1}{x}÷\frac{x+1}{x^2}=\)；(3) \(\frac{-3x^2y}{4z}÷\frac{-6xy^2}{8z^2}=\)____下列计算正确的是（ ）A. \(\frac{x}{y}÷\frac{x}{z}=\frac{y}{z}\) B. \(\frac{x^2-4}{x}÷\frac{x+2}{x}=\frac{x-2}{x}\) C. \(\frac{a}{b}÷\frac{c}{d}=\frac{ad}{bc}\)（\(b,c,d≠0\)） D. \(\frac{x+1}{x-1}÷\frac{x-1}{x+1}=1\)提升题（选做）计算：\(\frac{x^2-2x+1}{x^2-9}÷\frac{x-1}{x+3}×\frac{x-3}{x+1}\)（提示：先因式分解完全平方和平方差）已知\(\frac{a}{b}=\frac{2}{3}\)，求\(\frac{a^2-b^2}{ab}÷\frac{a-b}{a}\)的值（提示：先化简分式，再代入比例关系）第 9 页：课堂小结与作业布置知识梳理（表格总结）内容关键要点分式除法法则转除为乘（乘除式倒数），再按分式乘法法则运算运算步骤转除为乘→因式分解→约分→相乘→化简符号处理负号个数定正负，多项式负首项先提负号混合运算规则从左到右依次运算，统一转为乘法后再约分常见易错点倒数颠倒错误、忽略分母不为 0、混合运算顺序错误作业布置教材习题 5.3 第 1（2）（4）（6）、3 题（基础巩固，规范书写转除为乘与约分步骤）提升题（选做）：教材习题 5.3 第 5 题（分式乘除混合运算与代数求值）实践任务：编一道分式除法的实际应用题（如浓度计算、工作量分配），按 “列算式→转乘→化简→验证意义” 的步骤完成解答第 10 页：结束页标语：“分式除法不难办，转除为乘是关键；除式倒数要颠倒，再按乘法来计算”学习提示：下节课将学习 “分式的加减法”，需提前回顾 “最简公分母” 的概念（类比分数加减法的 “最小公倍数”），为通分运算铺垫** 配图2024浙教版数学七年级下册授课教师： . 班 级： . 时 间： .  典例3 下列计算正确的是( ) 典例3 下列计算正确的是( )C 1. 下列计算正确的是( n 为整数)(　D　)D B A C         C8. 彤彤做错了下列计算题中的一道题，你认为她做错的题是(　D　)D  81　 【点拨】   (2)若 a 满足 a2－ a ＝0，求 A 的值.【解】∵ a2－ a ＝ a ( a －1)＝0，∴ a ＝0或 a ＝1.∴要使得 A 有意义，∴ a ＋2≠0， a2－2 a ＋1＝( a －1)2≠0， a －1≠0.∴ a ≠－2且 a ≠1.∴ a ＝0.将 a ＝0代入 a －2，得 A ＝ a －2＝0－2＝－2.必做作业：从教材习题中选取；选做作业：完成练习册本课时的习题.谢谢观看！