5.2.2加减消元法（教学课件）2025-2026学年八年级数学上册北师大版（2024）

5.2.2 加减消元法除了代入消元法，加减消元法也是解二元一次方程组的重要方法。当方程组中两个方程的某个未知数的系数相反或相等时，通过将两个方程相加或相减，可以直接消去这个未知数，从而将二元一次方程组转化为一元一次方程。这种方法操作简便，尤其适用于系数较为整齐的方程组。本节将学习加减消元法的基本原理、解题步骤，并通过实例掌握这一方法。一、加减消元法的基本原理加减消元法的核心思想仍然是 “消元”，其基本思路是：当二元一次方程组中两个方程的某个未知数的系数互为相反数时，将两个方程相加，消去这个未知数；当某个未知数的系数相等时，将两个方程相减，消去这个未知数，从而得到一个一元一次方程，解这个一元一次方程后，再将求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程，求出另一个未知数的值。例如，对于方程组\(\begin{cases}2x + y = 5 \\ 3x - y = 10\end{cases}\)，两个方程中\(y\)的系数分别为 1 和 - 1，互为相反数，将两个方程相加可消去\(y\)；对于方程组\(\begin{cases}5x + 2y = 12 \\ 5x - 3y = 2\end{cases}\)，两个方程中\(x\)的系数都是 5，相等，将两个方程相减可消去\(x\)。二、用加减消元法解二元一次方程组的步骤用加减消元法解二元一次方程组通常遵循以下步骤：（一）观察系数观察方程组中两个方程的未知数的系数，确定要消去的未知数，判断该未知数的系数是否相等或互为相反数。（二）调整系数（若需要）如果要消去的未知数的系数既不相等也不互为相反数，根据等式的基本性质，给两个方程分别乘以适当的数，使该未知数的系数变为相等或互为相反数。（三）加减消元将两个方程相加或相减，消去一个未知数，得到一个关于另一个未知数的一元一次方程。（四）求解一元一次方程解这个一元一次方程，求出一个未知数的值。（五）回代求解将求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程，求出另一个未知数的值。（六）写出方程组的解用大括号将两个未知数的值联立起来，表示方程组的解。（七）检验（可选）将求得的解代入原方程组的两个方程中，验证左右两边是否相等，确保解的正确性。三、实例解析（一）系数互为相反数或相等的情况例 1：解方程组\(\begin{cases}2x + y = 5 \\ 3x - y = 10\end{cases}\)。解：观察系数：两个方程中\(y\)的系数分别为 1 和 - 1，互为相反数，可消去\(y\)。加减消元：将两个方程相加：\((2x + y) + (3x - y) = 5 + 10\)合并同类项：\(5x = 15\)求解一元一次方程：\(x = 3\)回代求解：将\(x = 3\)代入第一个方程\(2x + y = 5\)中，得：\(2×3 + y = 5 \Rightarrow 6 + y = 5 \Rightarrow y = -1\)写出方程组的解：\(\begin{cases}x = 3 \\ y = -1\end{cases}\)检验：将\(x = 3\)，\(y = -1\)代入原方程组：第一个方程：左边\(= 2×3 + (-1) = 5\)，右边\(= 5\)，左边 = 右边；第二个方程：左边\(= 3×3 - (-1) = 10\)，右边\(= 10\)，左边 = 右边。因此，解是正确的。例 2：解方程组\(\begin{cases}5x + 2y = 12 \\ 5x - 3y = 2\end{cases}\)。解：观察系数：两个方程中\(x\)的系数都是 5，相等，可消去\(x\)。加减消元：用第一个方程减去第二个方程：\((5x + 2y) - (5x - 3y) = 12 - 2\)去括号、合并同类项：\(5y = 10\)求解一元一次方程：\(y = 2\)回代求解：将\(y = 2\)代入第一个方程\(5x + 2y = 12\)中，得：\(5x + 2×2 = 12 \Rightarrow 5x + 4 = 12 \Rightarrow 5x = 8 \Rightarrow x = \frac{8}{5}\)写出方程组的解：\(\begin{cases}x = \frac{8}{5} \\ y = 2\end{cases}\)（二）需要调整系数的情况例 3：解方程组\(\begin{cases}3x + 4y = 16 \\ 5x - 6y = 33\end{cases}\)。解：观察系数：\(x\)的系数分别为 3 和 5，\(y\)的系数分别为 4 和 - 6，既不相等也不互为相反数。选择消去\(y\)，需将\(y\)的系数调整为相等或互为相反数。调整系数：给第一个方程乘以 3，第二个方程乘以 2，使\(y\)的系数都变为 12 和 - 12：第一个方程 ×3：\(9x + 12y = 48\) （1）第二个方程 ×2：\(10x - 12y = 66\) （2）加减消元：将（1）和（2）相加：\((9x + 12y) + (10x - 12y) = 48 + 66\)合并同类项：\(19x = 114\)求解一元一次方程：\(x = 6\)回代求解：将\(x = 6\)代入第一个原方程\(3x + 4y = 16\)中，得：\(3×6 + 4y = 16 \Rightarrow 18 + 4y = 16 \Rightarrow 4y = -2 \Rightarrow y = -\frac{1}{2}\)写出方程组的解：\(\begin{cases}x = 6 \\ y = -\frac{1}{2}\end{cases}\)例 4：解方程组\(\begin{cases}2x + 3y = 1 \\ 3x - 2y = 8\end{cases}\)。解：观察系数：选择消去\(x\)，\(x\)的系数分别为 2 和 3，需调整为 6 和 6。调整系数：第一个方程 ×3，第二个方程 ×2：第一个方程 ×3：\(6x + 9y = 3\) （1）第二个方程 ×2：\(6x - 4y = 16\) （2）加减消元：用（1）减去（2）：\((6x + 9y) - (6x - 4y) = 3 - 16\)去括号、合并同类项：\(13y = -13\)求解一元一次方程：\(y = -1\)回代求解：将\(y = -1\)代入第一个原方程\(2x + 3y = 1\)中，得：\(2x + 3×(-1) = 1 \Rightarrow 2x - 3 = 1 \Rightarrow 2x = 4 \Rightarrow x = 2\)写出方程组的解：\(\begin{cases}x = 2 \\ y = -1\end{cases}\)（三）需要先化简的方程组例 5：解方程组\(\begin{cases}\frac{x + 1}{3} = 2y \\ 2(x + 1) - y = 11\end{cases}\)。解：首先化简方程组：第一个方程：\(\frac{x + 1}{3} = 2y \Rightarrow x + 1 = 6y \Rightarrow x - 6y = -1\) （1）第二个方程：\(2(x + 1) - y = 11 \Rightarrow 2x + 2 - y = 11 \Rightarrow 2x - y = 9\) （2）观察系数：选择消去\(x\)，调整（1）式系数：（1）式 ×2：\(2x - 12y = -2\) （3）加减消元：用（2）减去（3）：\((2x - y) - (2x - 12y) = 9 - (-2)\)去括号、合并同类项：\(11y = 11\)求解一元一次方程：\(y = 1\)回代求解：将\(y = 1\)代入（1）式：\(x - 6×1 = -1 \Rightarrow x = 5\)写出方程组的解：\(\begin{cases}x = 5 \\ y = 1\end{cases}\)四、代入消元法与加减消元法的比较方法适用场景优点注意事项代入消元法某一未知数的系数为 1 或 - 1步骤简单，直接代入代入多项式时需加括号，避免符号错误加减消元法未知数系数相等或互为相反数，或易调整为相等 / 相反数消元过程直观，计算量小调整系数时需乘以同一个数，注意符号变化在实际解题中，应根据方程组的特点选择合适的方法。当方程组中存在系数为 1 或 - 1 的未知数时，优先选择代入消元法；当未知数系数较为整齐（如成倍数关系）时，优先选择加减消元法。五、常见误区系数调整错误：在调整未知数系数时，只给方程的一边乘以倍数，忽略另一边，导致方程变形错误。例如，将方程\(2x + 3y = 5\)乘以 2 时，错误地写成\(4x + 3y = 5\)。加减时符号错误：两个方程相减时，忘记改变第二个方程各项的符号，导致计算错误。例如，计算\((3x + 2y) - (x - y)\)时，错误地写成\(3x + 2y - x - y\)，而正确应为\(3x + 2y - x + y\)。选择消元对象不当：未观察系数特点，盲目选择消元对象，增加计算难度。例如，对于方程组\(\begin{cases}7x + 2y = 9 \\ 7x - 3y = 4\end{cases}\)，未发现\(x\)系数相等，反而选择消去\(y\)，增加了调整系数的步骤。回代计算错误：将求得的未知数的值回代时，代入计算出现失误，导致另一个未知数的值错误。忽略检验：在系数调整或加减过程中容易出现符号错误，忽略检验可能导致错误解未被发现。六、课堂总结加减消元法的核心思想：通过加减方程消去一个未知数，将二元一次方程组转化为一元一次方程。解题步骤：观察系数→调整系数（若需要）→加减消元→求解一元一次方程→回代求解→写出方程组的解（可选检验）。关键技巧：优先消去系数简单或易调整的未知数，加减时注意符号变化，调整系数时遵循等式基本性质。方法选择：根据方程组特点灵活选择代入法或加减法，提高解题效率。加减消元法是解二元一次方程组的重要工具，通过本节的学习，我们应能根据方程组的系数特征熟练运用这一方法，准确求解方程组，为解决实际问题中的等量关系奠定基础。七、课后作业用加减消元法解下列方程组：\(\begin{cases}x + y = 5 \\ x - y = 3\end{cases}\)\(\begin{cases}3x + 2y = 13 \\ 3x - 2y = 5\end{cases}\)\(\begin{cases}2x + 3y = 7 \\ 3x + 2y = 8\end{cases}\)\(\begin{cases}4x - 3y = 5 \\ 2x - y = 2\end{cases}\)\(\begin{cases}\frac{x}{2} + \frac{y}{3} = 2 \\ 2x + 3y = 28\end{cases}\)\(\begin{cases}3(x - 1) = y + 5 \\ 5(y - 1) = 3(x + 5)\end{cases}\)（用加减法解，与代入法对比）2024北师大版数学八年级上册授课教师： . 班 级： . 时 间： . 1. 通过自主探究和合作学习，学生会应用加减消元法解二元一次方程组，通过解二元一次方程组，培养学生的运算能力．2．通过教师讲评，学生理解“消元”思想，体会数学研究中“化未知为已知”的化归思想．重点难点复习导入上节课我们学习了用代入法解二元一次方程组，请同学们回顾一下，回答下面的问题：1、解二元一次方程组的基本思路是什么？2、用代入法解方程组的步骤是什么？问题导入视频导入 一个长方形的周长是50cm，长比宽多5cm,设长为xcm,宽为ycm，可列出的二元一次方程组是上面方程组的两个方程中，y的系数有什么关系？利用这种关系你能发现新的消元方法吗？ 怎样解下面的二元一次方程组呢？①②加减法解二元一次方程组把②变形得：代入①，不就消去x了！把②变形得可以直接代入①呀！小亮（3x＋5y）+（2x－5y）＝ 21 + (－11)3x+5y = 212x－5y = -11按小丽的思路，你能消去一个未知数吗？小丽分析： ①左边 + ②左边 = ①右边 + ②右边把x＝2代入①，得y＝3， x＝23x+5y+2x－5y＝10 5x+0y＝10 5x＝10 参考小丽的思路，怎样解下面的二元一次方程组呢？分析：观察方程组中的两个方程，未知数x的系数相等，即都是2．所以把这两个方程两边分别相减，就可以消去未知数x，得到一个一元一次方程．解：由 ②－①得：4y＝－4 y＝－1把y =-1代入①，得 2x－3×（-1）＝7解得：x＝2所以原方程组的解是上面这些方程组的特点是什么？解这类方程组的基本思路是什么？主要步骤有哪些？主要步骤： 特点：基本思路：写解求解加减二元一元.加减消元：消去一个元；分别求出两个未知数的值；写出原方程组的解.同一个未知数的系数相同或互为相反数. 解下列二元一次方程组加减法解系数相等的二元一次方程组例1解方程组解：由②－①得:将x=5代入①得：15+2y=23y=4.2x=10x=5.解：把 ①+②得: 18x＝10.8 x＝0.6把x＝0.6代入①，得： 3×0.6+10y＝2.8解得:y＝0.1例2 解方程组加减法解系数为相反数的二元一次方程组互为相反数相加 同一未知数的系数 _时，把两个方程的两边分别 ！解:由①+②得: 把x＝1代入①，得： y=-1 x=17x=7 解二元一次方程组: 像上面这种解二元一次方程组的方法,叫做加减消元法,简称加减法. 当方程组中两个方程的某个未知数的系数互为相反数或相等时,可以把方程的两边分别相加(系数互为相反数)或相减(系数相等)来消去这个未知数,得到一个一元一次方程,进而求得二元一次方程组的解. 用加减法解方程组：①②解: ①×3得: 6x + 9y ＝36 ③ ③ - ④得：y ＝2 把y ＝2代入①，得：x ＝3所以原方程组的解是加减法解找系数最小公倍数的二元一次方程组 ②×2得: 6x + 8y ＝34 ④ 例3能否使两个方程中x(或y）的系数相等（或相反）呢？ 同一未知数的系数 时，利用等式的性质，使得未知数的系数 .不相等也不互为相反数相等或互为相反数 知识点1 直接用加减消元法解二元一次方程组 相等减 互为相反数加 加减 返回   返回          返回知识点2 变形后用加减消元法解二元一次方程组 C  返回解二元一次方程组基本思路“消元”加减法解二元一次方程组的一般步骤化系数加减解检验写出解必做作业：从教材习题中选取；选做作业：完成练习册本课时的习题.谢谢观看！