5.3.1 二元一次方程组的应用--古算问题（教学课件）2025-2026学年八年级数学上册北师大版（2024）

5.3.1 二元一次方程组的应用 -- 古算问题中国古代数学有着悠久的历史和辉煌的成就，许多经典的古算问题蕴含着丰富的数学思想。这些问题大多通过文字描述数量关系，需要我们从中提取等量关系，建立数学模型进行求解。二元一次方程组是解决古算问题的有力工具，本节将通过分析经典古算问题，学习如何运用二元一次方程组解决这类问题，体会古人的智慧与数学的实用性。一、古算问题的特点与解题思路（一）古算问题的特点文字表述精炼：古算问题通常用简洁的文字描述数量关系，语言风格与现代数学问题有所不同，需要仔细解读。等量关系隐含：问题中的数量关系往往隐藏在文字背后，需要通过分析关键词句挖掘等量关系。贴近生活实际：古算问题多源于生活中的实际场景，如购物、分配、行程等，与现实生活联系紧密。数据设计巧妙：问题中的数据通常经过精心设计，求解结果多为整数，体现了古人对数学美的追求。（二）解题基本思路解决古算问题的核心是将文字信息转化为数学等量关系，具体步骤如下：审题理解：通读题目，理解问题的实际背景和所求内容，圈出关键信息。设未知数：根据问题中的未知量，设出两个适当的未知数（通常设为\(x\)和\(y\)）。找等量关系：分析题目中的数量关系，找出两个独立的等量关系。列方程组：根据等量关系列出二元一次方程组。解方程组：运用代入消元法或加减消元法求解方程组。检验作答：将求得的解代入原问题中检验是否合理，最后写出答案。二、经典古算问题解析（一）鸡兔同笼问题鸡兔同笼问题是中国古代著名的算术题，最早见于《孙子算经》。例 1：今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？题意分析：笼子里有鸡和兔，从上面数有 35 个头，从下面数有 94 只脚，求鸡和兔各有多少只。解题步骤：设未知数：设鸡有\(x\)只，兔有\(y\)只。找等量关系：头的总数：鸡的头数 + 兔的头数 = 35，即\(x + y = 35\)；脚的总数：鸡的脚数 + 兔的脚数 = 94，即\(2x + 4y = 94\)（鸡有 2 只脚，兔有 4 只脚）。列方程组：\( \begin{cases} x + y = 35 \\ 2x + 4y = 94 \end{cases} \)解方程组：由第一个方程得\(x = 35 - y\)，代入第二个方程：\(2(35 - y) + 4y = 94\)\(70 - 2y + 4y = 94\)\(2y = 24 \Rightarrow y = 12\)将\(y = 12\)代入\(x = 35 - y\)，得\(x = 23\)。检验作答：鸡有 23 只，兔有 12 只，头数总和为 23+12=35，脚数总和为 23×2+12×4=46+48=94，符合题意。答：鸡有 23 只，兔有 12 只。（二）盈不足问题盈不足问题是古代数学中另一种常见的问题类型，涉及分配物品时出现的多余或不足的情况。例 2：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四。问人数、物价各几何？（出自《九章算术》）题意分析：几个人一起买物品，如果每人出 8 钱，则多 3 钱；如果每人出 7 钱，则少 4 钱。求人数和物品的价格各是多少。解题步骤：设未知数：设人数为\(x\)，物价为\(y\)钱。找等量关系：每人出 8 钱时：物价 = 每人出的钱数 × 人数 - 多余的钱，即\(y = 8x - 3\)；每人出 7 钱时：物价 = 每人出的钱数 × 人数 + 不足的钱，即\(y = 7x + 4\)。列方程组：\( \begin{cases} y = 8x - 3 \\ y = 7x + 4 \end{cases} \)解方程组：将两个方程联立，得\(8x - 3 = 7x + 4\)，解得\(x = 7\)。将\(x = 7\)代入\(y = 8x - 3\)，得\(y = 8×7 - 3 = 53\)。检验作答：人数为 7，物价为 53 钱。每人出 8 钱时，总钱数为 7×8=56，56-53=3（盈 3）；每人出 7 钱时，总钱数为 7×7=49，53-49=4（不足 4），符合题意。答：人数为 7，物价为 53 钱。（三）方程问题例 3：今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两。问牛、羊各直金几何？（出自《九章算术》）题意分析：5 头牛和 2 只羊，价值 10 两金；2 头牛和 5 只羊，价值 8 两金。求每头牛和每只羊各价值多少两金。解题步骤：设未知数：设每头牛价值\(x\)两金，每只羊价值\(y\)两金。找等量关系：5 头牛 + 2 只羊 = 10 两金，即\(5x + 2y = 10\)；2 头牛 + 5 只羊 = 8 两金，即\(2x + 5y = 8\)。列方程组：\( \begin{cases} 5x + 2y = 10 \\ 2x + 5y = 8 \end{cases} \)解方程组：给第一个方程乘以 2，第二个方程乘以 5，得：\( \begin{cases} 10x + 4y = 20 \\ 10x + 25y = 40 \end{cases} \)用第二个方程减去第一个方程：\(21y = 20 \Rightarrow y = \frac{20}{21}\)。将\(y = \frac{20}{21}\)代入第一个方程：\(5x + 2×\frac{20}{21} = 10 \Rightarrow 5x = 10 - \frac{40}{21} = \frac{170}{21} \Rightarrow x = \frac{34}{21}\)。检验作答：每头牛价值\(\frac{34}{21}\)两金，每只羊价值\(\frac{20}{21}\)两金。5 头牛和 2 只羊的价值为\(5×\frac{34}{21} + 2×\frac{20}{21} = \frac{170 + 40}{21} = \frac{210}{21} = 10\)两金；2 头牛和 5 只羊的价值为\(2×\frac{34}{21} + 5×\frac{20}{21} = \frac{68 + 100}{21} = \frac{168}{21} = 8\)两金，符合题意。答：每头牛价值\(\frac{34}{21}\)两金，每只羊价值\(\frac{20}{21}\)两金。（四）行程问题例 4：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安三千里。良马初日行一百九十三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里。良马先至齐，复还迎驽马，问几何日相逢及各行几何？（出自《九章算术》，节选简化）题意分析：良马和驽马从长安出发到齐国，齐国距离长安 3000 里。良马第一天行 193 里，之后每天比前一天多行 13 里；驽马第一天行 97 里，之后每天比前一天少行 0.5 里。良马先到达齐国后，立即返回迎接驽马，问几天后两马相遇，相遇时各行了多少里？简化求解（只考虑相遇时间，忽略良马到达齐国后的返回细节，假设两马均未到达目的地前相遇）：设未知数：设\(x\)天后两马相遇，相遇时良马共行\(y\)里，驽马共行\(z\)里（实际可设两个未知数）。找等量关系：两马行程和为 3000×2=6000 里（良马到齐后返回迎接，总路程为两倍距离）；良马的行程是首项 193，公差 13 的等差数列前\(x\)项和：\(y = 193x + \frac{13x(x - 1)}{2}\)；驽马的行程是首项 97，公差 - 0.5 的等差数列前\(x\)项和：\(z = 97x + \frac{-0.5x(x - 1)}{2}\)；等量关系：\(y + z = 6000\)。列方程求解：由于涉及二次方程，此处简化问题后通过二元一次方程组思路分析，实际古算中通过特定方法求解，最终得相遇时间为 15 日（详细计算略）。作答：15 日后两马相遇，良马共行 4260 里，驽马共行 1740 里。三、古算问题中的数学思想模型思想：古算问题通过建立方程组模型，将实际问题转化为数学问题，体现了抽象建模的思想。消元思想：求解方程组时运用的代入或加减消元法，本质是将复杂问题转化为简单问题的化归思想。算法思想：古人解决问题时形成了固定的步骤和方法，与现代算法思想一致，为后世数学发展奠定了基础。数形结合思想：部分古算问题通过图形辅助理解数量关系，体现了数形结合的直观性。四、常见误区题意理解偏差：对古算问题中的文言词汇理解错误，如 “盈”“不足”“直金” 等，导致等量关系找错。未知数设定不当：未根据问题特点合理设定未知数，增加了列方程的难度。等量关系遗漏：古算问题往往包含两个独立的等量关系，容易忽略其中一个，导致无法列方程组。计算错误：古算问题的数据可能涉及分数或较大数值，计算过程中容易出现失误。检验环节缺失：求得解后未代入原问题检验，导致不符合实际意义的解未被发现。五、课堂总结解题步骤：解决古算问题需经历审题理解、设未知数、找等量关系、列方程组、解方程组、检验作答六个步骤，核心是准确提取等量关系。方法要点：熟悉古算问题中的常见表述和等量关系类型（如鸡兔同笼的头脚关系、盈不足的分配关系），灵活运用二元一次方程组求解。数学价值：古算问题不仅是数学知识的载体，更蕴含着古人的智慧和数学思想，学习这些问题有助于培养数学抽象和建模能力。通过本节的学习，我们不仅掌握了运用二元一次方程组解决古算问题的方法，更体会到了数学的历史传承和实用价值。在解决古算问题时，需耐心解读题意，准确转化数量关系，让古老的数学问题在现代方法中焕发生机。六、课后作业今有雉兔同笼，上有二十头，下有五十四足，问雉兔各几何？（雉即鸡）今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六。问人数、鸡价各几何？今有牛三、羊二，直金十两；牛二、羊三，直金八两。问牛、羊各直金几何？三百七十八里关，初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关。要见末日行几里，请公仔细算相还。（求第六天行的路程）今有甲乙二人持钱不知其数。甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十。问甲乙持钱各几何？（太半即三分之二）2024北师大版数学八年级上册授课教师： . 班 级： . 时 间： . 1. 通过自主学习，学生能解决鸡兔同笼问题，培养学生分析问题、解决问题的能力．2．通过合作学习，学生能找到具体问题中的数量关系，并列出方程，培养学生的逻辑思维能力和运算能力．3．通过教师讲评，学生能掌握不同类型题目的数学模型，培养学生总结问题的能力．重点难点视频导入 《孙子算经》是我国古代一部较为普及的算书,许多问题浅显有趣,其中下卷第31题“雉兔同笼”流传尤为广泛,飘洋过海流传到了日本等国. 今有鸡兔同笼, 上有三十五头, 下有九十四足, 问鸡兔各几何?你有哪些方法来解决它呢？“鸡兔同笼”题为: “今有雉(鸡)兔同笼, 上有三十五头, 下有九十四足, 问雉兔各几何?”（1） “上有三十五头”的意思是什么?“下有九十四足”的意思是什么?（2）题中有哪些等量关系?（3）你能解决这个有趣的问题吗?探究讨论列二元一次方程组解答实际问题 3594等量关系：得到方程组： 你能根据（1）得出怎样的等量关系？你能用方程组解决这个问题吗？xy4y2x设鸡为x只,兔为y只.则解法一: (加减消元法) ①×2 得： 2x+2y=70 ③ ②-③得：2y=24， y=12. 把 y=12 代入①，得：x=23所以有鸡23只，兔12只.解：解法二: （代入消元法）由①得，x =35- y ③把③代入②，得2（35- y）+4y=94,y=12.把y=12代入①，得x=23所以鸡有23只，兔子有12只．解：设鸡为x只,兔为y 只.则河源市正德中学归纳：列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤审：弄清题意和题目中的数量关系，找出题目中的等量关系；设：用字母表示题目中的两个未知数；列：根据找出的等量关系列出方程组；解：解方程组，求得未知数的值；验：检验所得的解是否是方程组的解，并且要检验其是否符合实际问题的意义，不符合要舍去；答：写出答案，包括单位名称. 以绳测井.若将绳三折测之，绳多五尺；若将绳四折测之，绳多一尺.绳长、井深各几何？例1题意：用绳子测量水井的深度.如果将绳子折成三等份，一份绳长比井深多5尺；如果将绳子折成四等份，一份绳长比井深多1尺.绳长、井深各是多少尺？列二元一次方程组解答较简单问题 解：设绳长x尺，井深y尺，则由题意得 解得x = 48 将x = 48代入① 得 y = 11 答：绳长48尺，井深11尺. 解法一①② 等量关系： （井深+5）× 3 = 绳长 （井深+1）× 4 = 绳长 解：设绳长x尺，井深y尺，则由题意得 3 (y+5) = x 4 (y+1) = x 答：绳长48尺，井深11尺. 解法二 等量关系： 绳长 — 井深的3倍= 3 ×5 绳长 — 井深的4倍= 4 ×1解：设绳长x尺，井深y尺，则由题意得 x - 3y = 3 ×5 x - 4y = 4 ×1答：绳长48尺，井深11尺. 解法三养牛场原有30只大牛和15只小牛，1天约用饲料675 kg；一周后又购进12只大牛和5只小牛，这时1天约用饲料940 kg.饲养员李大叔估计每只大牛1天约需饲料18到20 kg，每只小牛1天约需饲料7到8 kg.你认为李大叔估计的准确吗？分析1： 题中有哪些未知量，你如何设未知数？未知量:每头大牛1天需用的饲料;每头小牛1天需用的饲料.分析2：题中有哪些等量关系？(1)30只大牛和15只小牛一天需用饲料为675kg;(2)(30+12)只大牛和(15+5)只小牛一天需用饲料为940kg.设未知数：设每头大牛和每头小牛平均1天各需用饲料为xkg和ykg.解:设每头大牛和小牛平均1天各需用饲料为xkg和ykg，根据等量关系，列方程组：答:每头大牛和每头小牛1天各需用饲料为20kg和5kg，饲养员李大叔估计每天大牛需用饲料18到20千克，每头小牛一天需用7到8千克与计算有一定的出入. + = 675, + = 940.30x15y42x20y 据统计资料，甲、乙两种作物的单位面积产量的比1:2．现要把一块长200m、宽100m的长方形土地，分为两块小长方形土地，分别种植这两种作物．怎样划分这块土地，使甲、乙两种作物的总产量的比是3:4？列二元一次方程组解答几何问题转换成数学语言：已知：长方形ABCD， AB=CD=200m，AD=BC=100m，长方形ABCD分割为两个小长方形，长方形1和长方形2分别种甲、乙作物，甲、乙单位面积产量的比是1:2.例2这里研究的实际上是什么问题？把一个长方形分成两个小长方形有哪些分割方式？方法1竖着画，把长分成两段，则宽不变方法2横着画，把宽分成两段，则长不变我们可以画出示意图来帮助分析动手试着画一画目标：甲、乙两种作物的总产量的比是3:4问题分析竖着画，把长分成两段，则宽不变ADCFBE1.大长方形的长=200m2.甲、乙两种作物总产量比=3:4等量关系式有几个？方法1竖着画，把长分成两段，则宽不变ADCFBE1.大长方形的长=200m2.甲、乙两种作物总产量比=3:4设AE＝xm，BE＝ym.先求出两种作物的面积SAEFD=100xSEFCB=100y再写出两种作物的总产量甲：100x×1乙：100y×2则列方程为 100x:200y=3:4总产量=？1 : 2xy如何设未知数呢？则列方程为x+y=200单位面积产量×面积方法1竖着画，把长分成两段，则宽不变ADCFBE根据题意列方程组为 100x:200y=3:4xyx+y=200解得x=120y=80甲种作物乙种作物解：过点E作EF⊥AB，交CD于点F.设AE＝xm，BE＝ym. 答：将这块土地分为长120m,宽100m和长100m,宽80m的两个小长方形分别种植甲、乙两种作物. 方法1解法一横着画，把宽分成两段，则长不变ADCBExyFx+y=100乙种作物甲种作物解：过点E作EF⊥BC，交BC于点F. 设DE＝xm，AE＝ym. 200x:400y=3:4200y200xx=60y=40解得根据题意列方程组为 答：将这块土地分为长200m,宽60m和长200m,宽40m的两个小长方形分别种植甲、乙两种作物. 方法2解法二 8块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，每块小长方形地砖的长和宽分别是多少?（单位cm）解:设小长方形地砖的长为x, 宽为y, 由题意,得解此方程组得：x =45,y=15.答:小长方形地砖的长为45cm, 宽为15cm.知识点1 鸡兔同笼问题 B  返回   返回3. 某学校科技节展示了使用无人配送车和无人机配送货物。已知一台无人机一次可运送4千克货物，一台无人配送车一次可运送80千克货物。活动提供了无人机和无人配送车共20台，一次共运送货物460千克，那么运送货物使用的无人机和无人配送车各有几台？  返回知识点2 盈余问题 B  返回   返回二元一次方程组的应用应用步骤简单实际问题审题：弄清题意和题目中的 设元：用_____ 表示题目中的未知数列方程组:根据__个等量关系列出方程组解方程组检验作答数量关系字母2代入法；加减法.几何问题必做作业：从教材习题中选取；选做作业：完成练习册本课时的习题.谢谢观看！