5.3.2应用二元一次方程组--增收节支（教学课件）2025-2026学年八年级数学上册北师大版（2024）

5.3.1 二元一次方程组的应用 -- 古算问题中国古代数学有着悠久的历史和辉煌的成就，许多经典的古算问题蕴含着丰富的数学思想。这些问题大多通过文字描述数量关系，需要我们从中提取等量关系，建立数学模型进行求解。二元一次方程组是解决古算问题的有力工具，本节将通过分析经典古算问题，学习如何运用二元一次方程组解决这类问题，体会古人的智慧与数学的实用性。一、古算问题的特点与解题思路（一）古算问题的特点文字表述精炼：古算问题通常用简洁的文字描述数量关系，语言风格与现代数学问题有所不同，需要仔细解读。等量关系隐含：问题中的数量关系往往隐藏在文字背后，需要通过分析关键词句挖掘等量关系。贴近生活实际：古算问题多源于生活中的实际场景，如购物、分配、行程等，与现实生活联系紧密。数据设计巧妙：问题中的数据通常经过精心设计，求解结果多为整数，体现了古人对数学美的追求。（二）解题基本思路解决古算问题的核心是将文字信息转化为数学等量关系，具体步骤如下：审题理解：通读题目，理解问题的实际背景和所求内容，圈出关键信息。设未知数：根据问题中的未知量，设出两个适当的未知数（通常设为\(x\)和\(y\)）。找等量关系：分析题目中的数量关系，找出两个独立的等量关系。列方程组：根据等量关系列出二元一次方程组。解方程组：运用代入消元法或加减消元法求解方程组。检验作答：将求得的解代入原问题中检验是否合理，最后写出答案。二、经典古算问题解析（一）鸡兔同笼问题鸡兔同笼问题是中国古代著名的算术题，最早见于《孙子算经》。例 1：今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？题意分析：笼子里有鸡和兔，从上面数有 35 个头，从下面数有 94 只脚，求鸡和兔各有多少只。解题步骤：设未知数：设鸡有\(x\)只，兔有\(y\)只。找等量关系：头的总数：鸡的头数 + 兔的头数 = 35，即\(x + y = 35\)；脚的总数：鸡的脚数 + 兔的脚数 = 94，即\(2x + 4y = 94\)（鸡有 2 只脚，兔有 4 只脚）。列方程组：\( \begin{cases} x + y = 35 \\ 2x + 4y = 94 \end{cases} \)解方程组：由第一个方程得\(x = 35 - y\)，代入第二个方程：\(2(35 - y) + 4y = 94\)\(70 - 2y + 4y = 94\)\(2y = 24 \Rightarrow y = 12\)将\(y = 12\)代入\(x = 35 - y\)，得\(x = 23\)。检验作答：鸡有 23 只，兔有 12 只，头数总和为 23+12=35，脚数总和为 23×2+12×4=46+48=94，符合题意。答：鸡有 23 只，兔有 12 只。（二）盈不足问题盈不足问题是古代数学中另一种常见的问题类型，涉及分配物品时出现的多余或不足的情况。例 2：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四。问人数、物价各几何？（出自《九章算术》）题意分析：几个人一起买物品，如果每人出 8 钱，则多 3 钱；如果每人出 7 钱，则少 4 钱。求人数和物品的价格各是多少。解题步骤：设未知数：设人数为\(x\)，物价为\(y\)钱。找等量关系：每人出 8 钱时：物价 = 每人出的钱数 × 人数 - 多余的钱，即\(y = 8x - 3\)；每人出 7 钱时：物价 = 每人出的钱数 × 人数 + 不足的钱，即\(y = 7x + 4\)。列方程组：\( \begin{cases} y = 8x - 3 \\ y = 7x + 4 \end{cases} \)解方程组：将两个方程联立，得\(8x - 3 = 7x + 4\)，解得\(x = 7\)。将\(x = 7\)代入\(y = 8x - 3\)，得\(y = 8×7 - 3 = 53\)。检验作答：人数为 7，物价为 53 钱。每人出 8 钱时，总钱数为 7×8=56，56-53=3（盈 3）；每人出 7 钱时，总钱数为 7×7=49，53-49=4（不足 4），符合题意。答：人数为 7，物价为 53 钱。（三）方程问题例 3：今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两。问牛、羊各直金几何？（出自《九章算术》）题意分析：5 头牛和 2 只羊，价值 10 两金；2 头牛和 5 只羊，价值 8 两金。求每头牛和每只羊各价值多少两金。解题步骤：设未知数：设每头牛价值\(x\)两金，每只羊价值\(y\)两金。找等量关系：5 头牛 + 2 只羊 = 10 两金，即\(5x + 2y = 10\)；2 头牛 + 5 只羊 = 8 两金，即\(2x + 5y = 8\)。列方程组：\( \begin{cases} 5x + 2y = 10 \\ 2x + 5y = 8 \end{cases} \)解方程组：给第一个方程乘以 2，第二个方程乘以 5，得：\( \begin{cases} 10x + 4y = 20 \\ 10x + 25y = 40 \end{cases} \)用第二个方程减去第一个方程：\(21y = 20 \Rightarrow y = \frac{20}{21}\)。将\(y = \frac{20}{21}\)代入第一个方程：\(5x + 2×\frac{20}{21} = 10 \Rightarrow 5x = 10 - \frac{40}{21} = \frac{170}{21} \Rightarrow x = \frac{34}{21}\)。检验作答：每头牛价值\(\frac{34}{21}\)两金，每只羊价值\(\frac{20}{21}\)两金。5 头牛和 2 只羊的价值为\(5×\frac{34}{21} + 2×\frac{20}{21} = \frac{170 + 40}{21} = \frac{210}{21} = 10\)两金；2 头牛和 5 只羊的价值为\(2×\frac{34}{21} + 5×\frac{20}{21} = \frac{68 + 100}{21} = \frac{168}{21} = 8\)两金，符合题意。答：每头牛价值\(\frac{34}{21}\)两金，每只羊价值\(\frac{20}{21}\)两金。（四）行程问题例 4：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安三千里。良马初日行一百九十三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里。良马先至齐，复还迎驽马，问几何日相逢及各行几何？（出自《九章算术》，节选简化）题意分析：良马和驽马从长安出发到齐国，齐国距离长安 3000 里。良马第一天行 193 里，之后每天比前一天多行 13 里；驽马第一天行 97 里，之后每天比前一天少行 0.5 里。良马先到达齐国后，立即返回迎接驽马，问几天后两马相遇，相遇时各行了多少里？简化求解（只考虑相遇时间，忽略良马到达齐国后的返回细节，假设两马均未到达目的地前相遇）：设未知数：设\(x\)天后两马相遇，相遇时良马共行\(y\)里，驽马共行\(z\)里（实际可设两个未知数）。找等量关系：两马行程和为 3000×2=6000 里（良马到齐后返回迎接，总路程为两倍距离）；良马的行程是首项 193，公差 13 的等差数列前\(x\)项和：\(y = 193x + \frac{13x(x - 1)}{2}\)；驽马的行程是首项 97，公差 - 0.5 的等差数列前\(x\)项和：\(z = 97x + \frac{-0.5x(x - 1)}{2}\)；等量关系：\(y + z = 6000\)。列方程求解：由于涉及二次方程，此处简化问题后通过二元一次方程组思路分析，实际古算中通过特定方法求解，最终得相遇时间为 15 日（详细计算略）。作答：15 日后两马相遇，良马共行 4260 里，驽马共行 1740 里。三、古算问题中的数学思想模型思想：古算问题通过建立方程组模型，将实际问题转化为数学问题，体现了抽象建模的思想。消元思想：求解方程组时运用的代入或加减消元法，本质是将复杂问题转化为简单问题的化归思想。算法思想：古人解决问题时形成了固定的步骤和方法，与现代算法思想一致，为后世数学发展奠定了基础。数形结合思想：部分古算问题通过图形辅助理解数量关系，体现了数形结合的直观性。四、常见误区题意理解偏差：对古算问题中的文言词汇理解错误，如 “盈”“不足”“直金” 等，导致等量关系找错。未知数设定不当：未根据问题特点合理设定未知数，增加了列方程的难度。等量关系遗漏：古算问题往往包含两个独立的等量关系，容易忽略其中一个，导致无法列方程组。计算错误：古算问题的数据可能涉及分数或较大数值，计算过程中容易出现失误。检验环节缺失：求得解后未代入原问题检验，导致不符合实际意义的解未被发现。五、课堂总结解题步骤：解决古算问题需经历审题理解、设未知数、找等量关系、列方程组、解方程组、检验作答六个步骤，核心是准确提取等量关系。方法要点：熟悉古算问题中的常见表述和等量关系类型（如鸡兔同笼的头脚关系、盈不足的分配关系），灵活运用二元一次方程组求解。数学价值：古算问题不仅是数学知识的载体，更蕴含着古人的智慧和数学思想，学习这些问题有助于培养数学抽象和建模能力。通过本节的学习，我们不仅掌握了运用二元一次方程组解决古算问题的方法，更体会到了数学的历史传承和实用价值。在解决古算问题时，需耐心解读题意，准确转化数量关系，让古老的数学问题在现代方法中焕发生机。六、课后作业今有雉兔同笼，上有二十头，下有五十四足，问雉兔各几何？（雉即鸡）今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六。问人数、鸡价各几何？今有牛三、羊二，直金十两；牛二、羊三，直金八两。问牛、羊各直金几何？三百七十八里关，初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关。要见末日行几里，请公仔细算相还。（求第六天行的路程）今有甲乙二人持钱不知其数。甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十。问甲乙持钱各几何？（太半即三分之二）2024北师大版数学八年级上册授课教师： . 班 级： . 时 间： . 1. 能运用列表分析法分析数量关系，熟练地列二元一次方程组解决收支问题，提高学生解决问题的能力．2．经历和体验列方程组解决实际问题的过程，体会方程是刻画现实世界的有效的数学模型，培养数学的应用能力．3．通过问题的解决进一步感受数学与现实世界的密切联系，培养学生必要的经济意识，增强他们节约成本，有效、合理地利用资源的意识．重点难点复习导入列二元一次方程组解应用题的步骤：(1)审清题意，设未知数；(2)弄清各个量之间的关系，找出等量关系；(3)列出方程，联立方程，得二元一次方程组；(4)解二元一次方程组；(5)作答.视频导入 某工厂去年的利润（总收入—总支出）为200万元.今年总收入比去年增加了20%，总支出比去年减少了10%，今年的利润为780万元.去年的总收入、总支出各是多少万元？ 问题探究2. 若该厂去年的总支出为y万元,今年的总支出比去年减少了10%,则今年的总支出是__________万元;3. 该厂今年的利润为780万元,那么由1, 2可得方程___________________________.若该厂去年的总收入是x万元,今年的总收入比去年增加了20%,则今年的总收入是__________万元;(1+20%) x(1+20%) x- (1-10%) y=780(1-10%) y提炼问题1.去年的总收入—去年的总支出=200万元 3.今年的总收入=去年总收入×(1+20%） 4.今年的总支出=去年的总支出×(1-10%）2.今年的总收入—今年的总支出=780万元 找出等量关系.设去年的总收入为x万元，总支出为y万元 xy200(1+20%) x(1-10%) y780把分析信息用表格表示解：设去年的总产值为x万元，总支出为y万元，则今年的总产值（1+20%）x万元，今年的总支出（1-10%）y万元.由题意得 答：去年的总收入为2000万元，总支出为1800万元. 解:设每餐需甲、乙原料各x克，y克. 则有下表:0.5xx0.7y0.4y3540①-②,得 5y=150，y=30，把y=30代入①,得x=28.答：每餐甲原料28克,乙原料30克恰好满足病人的需要.归纳小结 用二元一次方程组解决实际问题的步骤：(1)审题：弄清题意和题目中的_________；(2)设元：用___________表示题目中的未知数；(3)列方程组：根据___个等量关系列出方程组；(4)解方程组：利用__________法或___________解出未知数的值；(5)检验并答：检验所求的解是否符合实际意义，然后作答.数量关系字母2代入消元加减消元法注:复杂问题借助表格分析”某高校共有5个大餐厅和2个小餐厅，经过测试：同时开放1个大餐厅和2个小餐厅，可供1680名学生就餐；同时开放2个大餐厅和1个小餐厅，可供2280名学生就餐.（1）求1个大餐厅和1个小餐厅分别可供多少名学生就餐？（2）若7个餐厅同时开放，请估计一下能否供应全校的5300名学生就餐？请说明理由.解: (1)设1个大餐厅和1个小餐厅分别可供x名,y名学生就餐，x+2y=16802x+y=2280(2)若7个餐厅同时开放，则有 5×960+2×360=5320答： (1) 1个大餐厅和1个小餐厅分别可供960名,360名学生就餐. (2)若7个餐厅同时开放，可以供应全校的5300名学生就餐.5320>5300依题意得例2 甲、乙两人从相距36米的两地相向而行.如果甲比乙先走2小时，那么他们在乙出发后经2.5小时相遇；如果乙比甲先走2小时，那么他们在甲出发后经3小时相遇；求甲、乙两人每小时各走多少千米？36千米甲先行2小时走的路程乙出发后甲、乙2.5小时共走路程相遇 如果甲比乙先走2小时，那么他们在乙出发后经2.5小时相遇；线段图分析乙相遇36千米甲出发后甲、乙3小时共走路程乙先行2小时走的路程甲 如果乙比甲先走2小时，那么他们在甲出发后经3小时相遇；线段图分析若设甲每小时走x千米、乙每小时走y千米表格数量分析2x+2.5x3x2.5y2y+3y3636甲、乙两人相距6千米,两人同时出发，同向而行,甲3小时可追上乙；相向而行,1小时相遇,两人平均速度各是多少?解：设甲的平均速度是每小时x千米，乙的平均速度是每小时y千米，根据题意，得答：甲的平均速度是每小时4千米，乙的平均速度是每小时2千米. 新知探究知识点1 百分率问题 则可列方程组为_ ___________________________，解方程组可得该公司向银行申请了甲种贷款____万元,乙种贷款____万元。50  2.295 2030 返回   返回知识点2 配比问题  82 返回   返回 122 返回  解：如图。   返回列方程组解决实际问题增长率、利润问题利用图表分析等量关系方法行程问题应用必做作业：从教材习题中选取；选做作业：完成练习册本课时的习题.谢谢观看！