3.3轴对称与坐标变化（教学课件）2025-2026学年八年级数学上册北师大版（2024）

3.3 轴对称与坐标变化在平面直角坐标系中，图形的变换可以通过坐标的变化来描述。轴对称作为一种常见的图形变换，其与坐标变化之间存在着密切的联系。本节将重点探究图形关于坐标轴对称、关于原点对称以及关于象限角平分线对称时，对应点的坐标变化规律，通过坐标变化理解轴对称的本质，实现几何变换与代数运算的结合。一、关于坐标轴对称的点的坐标变化坐标轴是平面直角坐标系中最基本的对称轴，图形关于 x 轴或 y 轴对称时，对应点的坐标会呈现出明确的变化规律。（一）关于 x 轴对称规律：点\(P(x, y)\)关于 x 轴对称的点\(P_1\)的坐标为\((x, -y)\)。即横坐标不变，纵坐标变为原来的相反数。几何解释：关于 x 轴对称的两个点，它们在 x 轴上的投影相同（横坐标相同），到 x 轴的距离相等且分别在 x 轴两侧（纵坐标互为相反数）。例如：点\((2, 3)\)关于 x 轴对称的点为\((2, -3)\)；点\((-1, -4)\)关于 x 轴对称的点为\((-1, 4)\)；点\((5, 0)\)在 x 轴上，关于 x 轴对称的点仍是自身\((5, 0)\)。（二）关于 y 轴对称规律：点\(P(x, y)\)关于 y 轴对称的点\(P_2\)的坐标为\((-x, y)\)。即纵坐标不变，横坐标变为原来的相反数。几何解释：关于 y 轴对称的两个点，它们在 y 轴上的投影相同（纵坐标相同），到 y 轴的距离相等且分别在 y 轴两侧（横坐标互为相反数）。例如：点\((3, 5)\)关于 y 轴对称的点为\((-3, 5)\)；点\((-2, -6)\)关于 y 轴对称的点为\((2, -6)\)；点\((0, 4)\)在 y 轴上，关于 y 轴对称的点仍是自身\((0, 4)\)。（三）例题解析例 1：已知\(\triangle ABC\)的三个顶点坐标分别为\(A(1, 2)\)、\(B(3, 4)\)、\(C(5, 1)\)，分别求出\(\triangle ABC\)关于 x 轴和 y 轴对称的\(\triangle A_1B_1C_1\)和\(\triangle A_2B_2C_2\)的顶点坐标。解：关于 x 轴对称（横坐标不变，纵坐标取相反数）：\(A_1(1, -2)\)；\(B_1(3, -4)\)；\(C_1(5, -1)\)。关于 y 轴对称（纵坐标不变，横坐标取相反数）：\(A_2(-1, 2)\)；\(B_2(-3, 4)\)；\(C_2(-5, 1)\)。例 2：已知点\(M(a + 2, b - 3)\)关于 x 轴对称的点为\(M_1(4, -5)\)，求\(a\)和\(b\)的值。解：根据关于 x 轴对称的坐标规律，横坐标不变，纵坐标互为相反数，可得：\(\begin{cases}a + 2 = 4 \\-(b - 3) = -5\end{cases}\)解得：\(a = 2\)，\(b = 8\)。二、关于原点对称的点的坐标变化原点是坐标系的中心，图形关于原点对称时，对应点的坐标变化规律如下：（一）坐标变化规律规律：点\(P(x, y)\)关于原点对称的点\(P_3\)的坐标为\((-x, -y)\)。即横坐标和纵坐标都变为原来的相反数。几何解释：关于原点对称的两个点，它们分别在原点的两侧，与原点的距离相等，且三点（原点和两个对称点）共线。例如：点\((2, 3)\)关于原点对称的点为\((-2, -3)\)；点\((-1, 4)\)关于原点对称的点为\((1, -4)\)；原点\((0, 0)\)关于原点对称的点仍是自身。（二）与轴对称的区别关于原点对称是中心对称的一种特殊情况，与关于坐标轴对称的本质区别在于：轴对称是 “翻转” 变换，对称点连线被对称轴垂直平分；中心对称是 “旋转” 变换，对称点连线经过对称中心（原点）且被中心平分。（三）例题解析例 3：已知四边形\(ABCD\)的顶点坐标为\(A(2, 1)\)、\(B(-1, 3)\)、\(C(-3, -2)\)、\(D(4, -4)\)，求四边形\(ABCD\)关于原点对称的四边形\(A_3B_3C_3D_3\)的顶点坐标。解：根据关于原点对称的坐标规律，横、纵坐标均取相反数：\(A_3(-2, -1)\)；\(B_3(1, -3)\)；\(C_3(3, 2)\)；\(D_3(-4, 4)\)。例 4：若点\(P(m, n)\)关于原点对称的点在第一象限，判断点\(P\)所在的象限。解：点\(P(m, n)\)关于原点对称的点为\((-m, -n)\)，该点在第一象限，因此：\(\begin{cases}-m > 0 \Rightarrow m < 0 \\-n > 0 \Rightarrow n < 0\end{cases}\)即点\(P(m, n)\)的横坐标和纵坐标均为负数，因此点\(P\)在第三象限。三、关于象限角平分线对称的点的坐标变化象限角平分线（第一、三象限角平分线\(y = x\)和第二、四象限角平分线\(y = -x\)）也是常见的对称轴，对应点的坐标变化具有特殊规律。（一）关于直线\(y = x\)对称规律：点\(P(x, y)\)关于直线\(y = x\)对称的点\(P_4\)的坐标为\((y, x)\)。即横坐标与纵坐标互换位置。几何解释：直线\(y = x\)是第一、三象限的角平分线，关于该直线对称的两个点，其横、纵坐标恰好交换。例如：点\((3, 5)\)关于直线\(y = x\)对称的点为\((5, 3)\)；点\((-2, 4)\)关于直线\(y = x\)对称的点为\((4, -2)\)；点\((2, 2)\)在直线\(y = x\)上，对称点仍是自身。（二）关于直线\(y = -x\)对称规律：点\(P(x, y)\)关于直线\(y = -x\)对称的点\(P_5\)的坐标为\((-y, -x)\)。即横坐标变为原纵坐标的相反数，纵坐标变为原横坐标的相反数。几何解释：直线\(y = -x\)是第二、四象限的角平分线，关于该直线对称的两个点，横、纵坐标不仅交换，还分别取相反数。例如：点\((2, 3)\)关于直线\(y = -x\)对称的点为\((-3, -2)\)；点\((-1, -4)\)关于直线\(y = -x\)对称的点为\((4, 1)\)；点\((2, -2)\)在直线\(y = -x\)上，对称点仍是自身。（三）例题解析例 5：求点\(A(1, 2)\)关于直线\(y = x\)对称的点\(A_4\)，以及点\(B(-3, 4)\)关于直线\(y = -x\)对称的点\(B_5\)的坐标。解：点\(A(1, 2)\)关于直线\(y = x\)对称，横、纵坐标互换，因此\(A_4(2, 1)\)。点\(B(-3, 4)\)关于直线\(y = -x\)对称，横坐标为原纵坐标的相反数\(-4\)，纵坐标为原横坐标的相反数\(3\)，因此\(B_5(-4, 3)\)。四、利用坐标变化绘制轴对称图形在平面直角坐标系中，绘制一个图形的轴对称图形时，可按照以下步骤进行：确定原图形各顶点的坐标；根据对称轴的类型，按照对应的坐标变化规律求出各顶点的对称点坐标；在坐标系中描出所有对称点的位置；依次连接各对称点，得到原图形的轴对称图形。（一）例题解析例 6：已知\(\triangle ABC\)的顶点坐标为\(A(2, 3)\)、\(B(4, 1)\)、\(C(1, 2)\)，在坐标系中画出\(\triangle ABC\)关于 x 轴对称的\(\triangle A_1B_1C_1\)。解：步骤 1：确定原顶点坐标：\(A(2, 3)\)、\(B(4, 1)\)、\(C(1, 2)\)；步骤 2：求关于 x 轴对称的顶点坐标（横坐标不变，纵坐标取相反数）：\(A_1(2, -3)\)；\(B_1(4, -1)\)；\(C_1(1, -2)\)；步骤 3：在坐标系中描出\(A_1\)、\(B_1\)、\(C_1\)；步骤 4：连接\(A_1B_1\)、\(B_1C_1\)、\(C_1A_1\)，得到\(\triangle A_1B_1C_1\)。五、坐标变化在轴对称中的应用（一）判断图形的对称性通过分析图形顶点坐标的特征，可以判断图形是否关于坐标轴对称或关于原点对称：若图形所有顶点关于 x 轴对称的点仍在图形上（即对于任意顶点\((x, y)\)，\((x, -y)\)也是顶点），则图形关于 x 轴对称；同理可判断图形是否关于 y 轴或原点对称。例 7：已知四边形顶点坐标为\(A(1, 2)\)、\(B(2, 1)\)、\(C(1, -2)\)、\(D(2, -1)\)，判断该四边形是否关于 x 轴对称。解：检查各顶点关于 x 轴对称的点是否在四边形中：\(A(1, 2)\)关于 x 轴对称的点为\((1, -2)\)，即点\(C\)；\(B(2, 1)\)关于 x 轴对称的点为\((2, -1)\)，即点\(D\)；\(C(1, -2)\)关于 x 轴对称的点为\((1, 2)\)，即点\(A\)；\(D(2, -1)\)关于 x 轴对称的点为\((2, 1)\)，即点\(B\)。因此，该四边形关于 x 轴对称。（二）解决实际问题例 8：在某公园地图上，景点\(A\)的坐标为\((3, 4)\)，景点\(B\)在景点\(A\)关于 y 轴对称的位置，景点\(C\)在景点\(A\)关于 x 轴对称的位置。求景点\(B\)和\(C\)的坐标，并计算\(B\)、\(C\)两点之间的距离。解：景点\(B\)是\(A(3, 4)\)关于 y 轴对称的点，坐标为\((-3, 4)\)；景点\(C\)是\(A(3, 4)\)关于 x 轴对称的点，坐标为\((3, -4)\)；计算\(B(-3, 4)\)和\(C(3, -4)\)之间的距离：\( BC = \sqrt{(3 - (-3))^2 + (-4 - 4)^2} = \sqrt{6^2 + (-8)^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \)答：景点\(B\)的坐标为\((-3, 4)\)，景点\(C\)的坐标为\((3, -4)\)，\(B\)、\(C\)两点之间的距离为 10。六、常见误区对称规律记忆混淆：将关于 x 轴和 y 轴对称的坐标变化规律记反，例如误将关于 x 轴对称的点记为\((-x, y)\)，而正确应为\((x, -y)\)。忽略特殊点的对称性：认为坐标轴上的点关于坐标轴对称后会变化，实际上 x 轴上的点关于 x 轴对称仍是自身，y 轴上的点关于 y 轴对称仍是自身。象限角平分线对称规律错误：混淆关于\(y = x\)和\(y = -x\)对称的坐标变化，例如将点\((x, y)\)关于\(y = -x\)对称的点误记为\((-x, -y)\)，而正确应为\((-y, -x)\)。绘制图形时漏点或错连：根据对称点坐标绘制图形时，遗漏部分顶点的对称点或连接顺序错误，导致图形失真。距离计算错误：计算对称点之间的距离时，忘记使用勾股定理，直接用坐标差相加，例如误将\((2, 3)\)与\((2, -3)\)的距离算为\(3 + 3 = 6\)（正确结果应为 6，此处巧合正确，但逻辑错误），而对于非坐标轴对称的点则会出错。七、课堂总结关于坐标轴对称：x 轴：\((x, y) \rightarrow (x, -y)\)（横坐标不变，纵坐标相反）；y 轴：\((x, y) \rightarrow (-x, y)\)（纵坐标不变，横坐标相反）。关于原点对称：\((x, y) \rightarrow (-x, -y)\)（横、纵坐标均相反）。关于象限角平分线对称：\(y = x\)：\((x, y) \rightarrow (y, x)\)（横、纵坐标互换）；\(y = -x\)：\((x, y) \rightarrow (-y, -x)\)（横纵互换且取反）。应用方法：通过坐标变化规律求对称点，绘制轴对称图形，判断图形对称性，解决距离计算等实际问题。轴对称与坐标变化的关系是数形结合思想的典型体现，通过本节学习，我们不仅掌握了坐标变化的规律，更理解了如何用代数方法研究几何变换。这一技能在后续学习函数图像的对称性、几何证明等内容中具有重要作用。八、课后作业已知点\(A(-2, 5)\)，分别求出它关于 x 轴、y 轴和原点对称的点的坐标。已知\(\triangle DEF\)的顶点坐标为\(D(1, 2)\)、\(E(3, 5)\)、\(F(5, 3)\)，画出\(\triangle DEF\)关于 y 轴对称的\(\triangle D'E'F'\)，并写出各顶点坐标。点\(M(a, b)\)关于直线\(y = x\)对称的点在第二象限，求\(a\)和\(b\)的取值范围。在平面直角坐标系中，已知点\(P(3, -4)\)，求：（1）点\(P\)关于 x 轴对称的点与关于 y 轴对称的点之间的距离；（2024北师大版数学八年级上册授课教师： . 班 级： . 时 间： . 1. 通过在同一直角坐标系中，感受图形上点的坐标变化与图形的轴对称变换之间的关系，发展应用意识．2．通过经历图形坐标变化与图形轴对称之间关系的探索过程，发展形象思维能力和数形结合意识．3．通过探究图形的形状、大小、位置关系和变换的过程，掌握图形的基础知识和基本技能，培养学生的探索能力．重点难点旧识回顾1．什么叫轴对称图形？2．如何在平面直角坐标系中确定点P的位置？如果一个平面图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形从原点起沿着水平方向测量相应的距离为P的横坐标x；从原点起沿着垂直方向测量相应的距离为P的纵坐标y；将点P的横坐标x和纵坐标y组合起来，得到点P的坐标△ABC与△A1B1C1关于x轴对称.探究 轴对称与坐标变化对应点的纵坐标互为相反数对应点的横坐标相同（2）请在下表中填入点A与A1、点B与B1、点C与C1的坐标，并思考：这些对应点的坐标之间有什么关系？ 关于x轴对称的两个点的坐标，横坐标相同，纵坐标互为相反数；(m,-n)2.如右图所示的平面直角坐标系中，第一、二象限内各有一面小旗.(1)两面小旗之间有怎样的位置关系？关于y轴成轴对称.(2，6) (-2，6) 对应点的纵坐标相等对应点的横坐标互为相反数（3）如果点P（m，n）在△ABC内，那么它在△A1B1C1内的对应点P1的坐标是 .关于y轴对称的两个点的坐标，横坐标互为相反数，纵坐标相同.(-m,n)3.通过以上学习，你知道关于x轴对称的两个点的坐标之间的关系吗？关于y轴对称的两个点的坐标之间的关系呢？ 根据坐标轴变化的规律确定点的坐标例 若点A(1＋m，1－n)与点B(－3，2)关于y轴对称，则m＋n的值是(　　)A．－5 B．－3 C．3 D．1解析：因为点A(1＋m，1－n)与点B(－3，2)关于y轴对称，所以1＋m＝3，1－n＝2，解得m＝2，n＝－1.所以m＋n＝2－1＝1.D 1.平面直角坐标系中，点P（ 5 ，7）关于x轴对称的点的坐标为 . 2.已知点A（a，2）与点A1（8，b）关于y轴对称，则a= ，b= .(5,-7)-81刚刚我们学习了两个关于坐标轴对称的图形的坐标关系那坐标变化会不会引起图形变化？会引起怎样的变化呢？拓展思考 在平面直角坐标系中依次连接下列各点：(0,0)， (5,4) ，(3,0)， (5,1) ，(5,-1)， (3,0)， (4,-2) ，(0,0)，你得到了一个怎样的图案？x–1y54321123455坐标变化为： 将各坐标的纵坐标保持不变，横坐标都乘以-1 ，则图形怎么变化？纵坐标保持不变，横坐标都乘以-1，两个图形关于y轴对称 （0,0）（-5,4）（-3,0）（-5,1）（-5,-1）（-3,0）（-4,-2）（0,0） 将各坐标的纵坐标都乘以-1，横坐标保持不变，则图形怎么变化？123456780–1–2–3–4–512345yx横坐标保持不变，纵坐标都乘以-1，两个图形关于x轴对称 （0,0）（5,-4）（3,0）（5,-1）（5,1）（3,0）（4,2）（0,0）–5 将各坐标的纵坐标与横坐标都乘以-1，图形会变成什么样？yx坐标变化为：与原图形关于原点中心对称（0,0）（-5,-4）（-3,0）（-5,-1）（-5,1）（-3,0）（-4,2）（0,0）1.关于y轴对称的两个图形上点的坐标特征：(x , y)(-x , y)2.关于x轴对称的两个图形上点的坐标特征：3.关于原点轴对称的两个图形上点的坐标特征：(x , y)( x , -y)(x , y)(-x , -y)横坐标变为相反数，纵坐标不变.横坐标不变，纵坐标变为相反数.横坐标、纵坐标都变为相反数. 1.在平面直角坐标系中，点P(－4，6) 关于x轴对称的点的坐标为(　　 ) A．(－4，－6) B．(4，－6) C．(－6，－4) D．(6，－4)A 2.点（8，3）与点（8，-3）的关系是（ ）  A.关于原点对称 B.关于 x轴对称 C.关于 y轴对称 D.不能构成对称关系B1. 点A（4，﹣2）关于x轴的对称点的坐标为（　　）A．（ 4，2 ） B．（﹣4，2）C．（﹣4，﹣2） D．（﹣2，4）2. 点（﹣1，2）关于原点的对称点坐标是（　　）A．（﹣1，﹣2） B．（1，﹣2） C．（1，2） D．（2，﹣1）AB  B  返回 AA.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 返回   返回  C  返回 C  返回   返回知识点3 坐标系中的轴对称作图 BA. B. C. D. 返回关于y轴对称 关于原点对称关于x轴对称 必做作业：从教材习题中选取；选做作业：完成练习册本课时的习题.谢谢观看！