4.3.1正比例函数的图象与性质（教学课件）2025-2026学年八年级数学上册北师大版（2024）

4.3.1 正比例函数的图象与性质正比例函数作为一次函数的特殊形式，其图象和性质具有鲜明的特点。通过研究正比例函数的图象，我们可以直观地理解它的变化规律，为后续学习更复杂函数的图象和性质提供基础。本节将重点学习正比例函数图象的绘制方法、图象特征以及函数的性质，揭示比例系数对函数图象和性质的影响。一、正比例函数的图象（一）图象的绘制正比例函数的图象是一条经过原点的直线，绘制其图象通常采用两点法，具体步骤如下：确定两点坐标：对于正比例函数\(y = kx\)（\(k \neq 0\)），选取两个易于计算的点。由于当\(x = 0\)时，\(y = 0\)，因此原点\((0, 0)\)是必选的点；再选取一个非原点的点，通常取\(x = 1\)时，\(y = k\)，即点\((1, k)\)。描点：在平面直角坐标系中准确标出所选的两个点。连线：用直尺连接这两个点，得到的直线就是正比例函数\(y = kx\)的图象。（二）实例解析例 1：画出正比例函数\(y = 2x\)和\(y = -2x\)的图象。解：绘制\(y = 2x\)的图象：确定两点：当\(x = 0\)时，\(y = 0\)，即点\((0, 0)\)；当\(x = 1\)时，\(y = 2×1 = 2\)，即点\((1, 2)\)。描点：在坐标系中描出\((0, 0)\)和\((1, 2)\)。连线：连接两点，得到\(y = 2x\)的图象（如图 1 所示）。绘制\(y = -2x\)的图象：确定两点：当\(x = 0\)时，\(y = 0\)，即点\((0, 0)\)；当\(x = 1\)时，\(y = -2×1 = -2\)，即点\((1, -2)\)。描点：在坐标系中描出\((0, 0)\)和\((1, -2)\)。连线：连接两点，得到\(y = -2x\)的图象（如图 1 所示）。（三）图象特征正比例函数\(y = kx\)的图象是一条经过原点的直线，这是正比例函数图象最显著的特征。无论比例系数\(k\)取何非零值，其图象都必然经过坐标原点\((0, 0)\)。二、比例系数\(k\)对图象的影响比例系数\(k\)的符号和绝对值大小直接影响正比例函数图象的位置和倾斜程度。（一）\(k\)的符号对图象位置的影响当\(k > 0\)时，正比例函数\(y = kx\)的图象经过第一、三象限。例如，\(y = 2x\)的图象经过第一、三象限，从左到右呈上升趋势。当\(k < 0\)时，正比例函数\(y = kx\)的图象经过第二、四象限。例如，\(y = -2x\)的图象经过第二、四象限，从左到右呈下降趋势。（二）\(k\)的绝对值对图象倾斜程度的影响\(k\)的绝对值\(|k|\)决定了直线的倾斜程度，\(|k|\)越大，直线越靠近\(y\)轴，倾斜程度越陡；\(|k|\)越小，直线越靠近\(x\)轴，倾斜程度越缓。例如：函数\(y = 3x\)和\(y = \frac{1}{2}x\)中，\(|3| > |\frac{1}{2}|\)，因此\(y = 3x\)的图象比\(y = \frac{1}{2}x\)的图象更陡；函数\(y = -3x\)和\(y = -\frac{1}{2}x\)中，\(|-3| > |-\frac{1}{2}|\)，因此\(y = -3x\)的图象比\(y = -\frac{1}{2}x\)的图象更陡。（三）例题解析例 2：判断下列正比例函数图象经过的象限，并比较图象的倾斜程度：（1）\(y = 3x\)；（2）\(y = -\frac{1}{3}x\)；（3）\(y = 1.5x\)；（4）\(y = -4x\)。解：（1）对于\(y = 3x\)，\(k = 3 > 0\)，因此图象经过第一、三象限。（2）对于\(y = -\frac{1}{3}x\)，\(k = -\frac{1}{3} < 0\)，因此图象经过第二、四象限。（3）对于\(y = 1.5x\)，\(k = 1.5 > 0\)，因此图象经过第一、三象限。（4）对于\(y = -4x\)，\(k = -4 < 0\)，因此图象经过第二、四象限。比较倾斜程度：\(|3| = 3\)，\(|-\frac{1}{3}| = \frac{1}{3}\)，\(|1.5| = 1.5\)，\(|-4| = 4\)。因为\(4 > 3 > 1.5 > \frac{1}{3}\)，所以图象倾斜程度从陡到缓依次为：\(y = -4x\)、\(y = 3x\)、\(y = 1.5x\)、\(y = -\frac{1}{3}x\)。三、正比例函数的性质正比例函数的性质是其图象特征的代数描述，主要体现在函数值随自变量的变化规律上，这些性质与比例系数\(k\)密切相关。（一）函数的增减性当\(k > 0\)时，\(y\)随\(x\)的增大而增大。即当自变量\(x\)的值增大时，函数值\(y\)的值也随之增大；当\(x\)的值减小时，\(y\)的值也随之减小。例如，对于\(y = 2x\)，当\(x = 1\)时，\(y = 2\)；当\(x = 2\)时，\(y = 4\)，\(x\)增大，\(y\)也增大。当\(k < 0\)时，\(y\)随\(x\)的增大而减小。即当自变量\(x\)的值增大时，函数值\(y\)的值随之减小；当\(x\)的值减小时，\(y\)的值随之增大。例如，对于\(y = -2x\)，当\(x = 1\)时，\(y = -2\)；当\(x = 2\)时，\(y = -4\)，\(x\)增大，\(y\)减小。（二）函数的对称性正比例函数\(y = kx\)的图象关于原点对称。即如果点\((x, y)\)在函数图象上，那么点\((-x, -y)\)也一定在该函数图象上。这是因为当\(x\)取\(-x\)时，\(y = k×(-x) = -kx = -y\)。例如，点\((2, 4)\)在\(y = 2x\)的图象上，那么点\((-2, -4)\)也在该图象上。（三）例题解析例 3：已知正比例函数\(y = (m - 1)x\)，回答下列问题：（1）若函数图象经过第一、三象限，求\(m\)的取值范围；（2）若\(y\)随\(x\)的增大而减小，求\(m\)的取值范围；（3）若函数图象经过点\((2, 4)\)，求\(m\)的值。解：（1）因为函数图象经过第一、三象限，所以比例系数\(k > 0\)，即\(m - 1 > 0\)，解得\(m > 1\)。因此，\(m\)的取值范围是\(m > 1\)。（2）因为\(y\)随\(x\)的增大而减小，所以比例系数\(k < 0\)，即\(m - 1 < 0\)，解得\(m < 1\)。因此，\(m\)的取值范围是\(m < 1\)。（3）因为函数图象经过点\((2, 4)\)，将点的坐标代入函数关系式中，可得\(4 = (m - 1)×2\)，解得\(2(m - 1) = 4\)，\(m - 1 = 2\)，\(m = 3\)。因此，\(m\)的值为 3。例 4：已知正比例函数\(y = kx\)的图象经过点\((-3, 6)\)，判断点\((2, -4)\)是否在该函数的图象上。解：首先，将点\((-3, 6)\)代入函数关系式\(y = kx\)中，可得\(6 = k×(-3)\)，解得\(k = -2\)。因此，该正比例函数的关系式为\(y = -2x\)。接下来，判断点\((2, -4)\)是否在该函数图象上，将\(x = 2\)代入\(y = -2x\)中，得\(y = -2×2 = -4\)，与点\((2, -4)\)的纵坐标相等。因此，点\((2, -4)\)在该函数的图象上。四、正比例函数图象与性质的应用正比例函数的图象和性质在实际生活中有着广泛的应用，能够帮助我们解决与比例关系相关的问题。（一）利用图象解决实际问题通过绘制正比例函数的图象，可以直观地反映变量之间的关系，便于分析和预测。例如，在匀速运动中，路程与时间的关系是正比例函数关系，通过图象可以快速看出不同时间对应的路程，或不同路程对应的时间。（二）利用性质比较函数值大小根据正比例函数的增减性，可以比较不同自变量对应的函数值大小。例 5：已知正比例函数\(y = 2x\)，比较当\(x_1 = -1\)和\(x_2 = 2\)时对应的函数值\(y_1\)和\(y_2\)的大小。解：因为正比例函数\(y = 2x\)中\(k = 2 > 0\)，所以\(y\)随\(x\)的增大而增大。由于\(x_1 = -1 < x_2 = 2\)，因此\(y_1 < y_2\)。例 6：已知正比例函数\(y = -3x\)，比较当\(x_1 = 3\)和\(x_2 = 1\)时对应的函数值\(y_1\)和\(y_2\)的大小。解：因为正比例函数\(y = -3x\)中\(k = -3 < 0\)，所以\(y\)随\(x\)的增大而减小。由于\(x_1 = 3 > x_2 = 1\)，因此\(y_1 < y_2\)。五、常见误区图象绘制错误：绘制正比例函数图象时，没有经过原点，或只选取了一个点就绘制直线，导致图象错误。实际上，正比例函数的图象必过原点，且两点才能确定一条直线。对\(k\)的符号影响判断错误：混淆\(k > 0\)和\(k < 0\)时图象经过的象限，例如错误地认为\(k > 0\)时图象经过第二、四象限。增减性理解偏差：不能正确根据\(k\)的符号判断函数的增减性，例如当\(k < 0\)时，误认为\(y\)随\(x\)的增大而增大。忽略\(k \neq 0\)的条件：在解决问题时，忘记正比例函数中\(k \neq 0\)这一重要条件，导致参数取值范围错误。例如，在例 3 中，若忽略\(k \neq 0\)，可能会得出错误的\(m\)取值范围。图象倾斜程度与\(|k|\)关系混淆：错误地认为\(|k|\)越小，直线倾斜程度越陡，或不能比较不同\(k\)值对应的直线倾斜程度。六、课堂总结正比例函数的图象：是一条经过原点的直线，绘制方法采用两点法（通常选取\((0, 0)\)和\((1, k)\)）。\(k\)对图象的影响：\(k > 0\)时，图象经过第一、三象限；\(k < 0\)时，图象经过第二、四象限。\(|k|\)越大，直线倾斜程度越陡；\(|k|\)越小，直线倾斜程度越缓。正比例函数的性质：当\(k > 0\)时，\(y\)随\(x\)的增大而增大；当\(k < 0\)时，\(y\)随\(x\)的增大而减小。图象关于原点对称。应用：利用图象解决实际问题，利用性质比较函数值大小等。正比例函数的图象和性质是函数学习的基础，通过本节的学习，我们应掌握图象的绘制方法，理解\(k\)对图象和性质的影响，能够运用性质解决相关问题，为后续学习一次函数的图象和性质做好准备。七、课后作业画出下列正比例函数的图象，并指出它们经过的象限：（1）\(y = 4x\)；（2）\(y = -\frac{1}{2}x\)。已知正比例函数\(y = (2m + 1)x\)，若\(y\)随\(x\)的增大而增大，求\(m\)的取值范围。已知正比例函数的图象经过点\((-2, 6)\)，求该函数的关系式，并判断点\((4, -12)\)是否在该函数的图象上。比较下列正比例函数中，当\(x = 3\)时对应的函数值的大小：（1）\(y = 2x\)和\(y = 3x\)；（2）\(y = -x\)和\(y = -4x\)。已知正比例函数\(y = kx\)的图象经过第一、三象限，且经过点\((m, n)\)和\((-m, p)\)，试比较\(n\)和\(p\)的大小。2024北师大版数学八年级上册授课教师： . 班 级： . 时 间： . 1. 通过阅读课本，学生会画正比例函数的图象，能够通过图象总结出正比例函数的性质，提高学生解决问题的能力．2．通过合作学习及教师讲评，学生体会从特殊到一般的思想方法和分类讨论思想方法的应用．3．通过动手实践、合作交流，增强学生与他人交流合作的意识，提高学生的动手实践能力和探究精神．重点难点视频导入情境导入一天，小明以80米/分的速度去学校，请问小明离家的距离s(米)与小明出发的时间t(分)之间的函数关系式是怎样的？它是一次函数吗？它是正比例函数吗？ 图中的图象能表示上面问题中的s与t的关系吗？ 画出下列正比例函数的图象：（1）y=2x， ；（2）y=-1.5x，y=-4x.xy100-12-2…………24-2-4解：（1）函数y=2x中自变量x可为任意实数.①列表如下：正比例函数的图象y=2x②描点；③连线.看图发现：这两个图象都是经过原点的 ．而且都经过第 象限；一、三直线画函数图像的一般步骤：（1）列表；（2）描点；（3）连线.解：（2）函数y=-1.5x，y=-4x的图象如下：y=-4xy=-1.5x看图发现：这两个函数图象都是经过原点和第 象限的直线.二、四提示：函数y=kx 的图象我们也称作直线y=kx. 用你认为最简单的方法画出下列函数的图象： （1） y=-3x； （2）两点作图法提示：由于两点确定一条直线，画正比例函数图象时我们只需描点(0，0)和点 (1，k)，连线即可.0-30y=-3x解：列表如下：（1）若函数图象经过第一、三象限，则k的取值范围是________.例 已知正比例函数y=(k-3)x.k＞3解析：因为函数图象经过第一、三象限，所以k-3>0，解得k>3.（2）若函数图象经过点（2，4），则k_____.解析：将坐标（2，4）带入函数解析式中，得4=(k-3)·2，解得k=5.=5（1）若函数图象经过第二、四象限，则k的取值范围是_______.已知正比例函数y=(k+5)x.k