3.3轴对称与坐标变化 -课件-2025-2026学年2024北师大版数学八年级上册教学同步课件

幻灯片 1：封面课程标题：3.3 轴对称与坐标变化副标题：2024 北师大版八年级数学授课人：[授课人姓名]衔接提示：我们已经学习了平面直角坐标系中点的坐标特征，也认识了轴对称图形。今天我们将聚焦两者的结合 —— 当图形关于 x 轴、y 轴对称时，对应点的坐标会发生怎样的变化？如何利用坐标变化画出轴对称图形？幻灯片 2：学习目标探索并掌握平面内点关于 x 轴、y 轴对称的坐标变化规律，能根据已知点的坐标求出其对称点的坐标。能利用坐标变化规律，在平面直角坐标系中画出一个图形关于 x 轴、y 轴对称的图形。经历 “观察→猜想→验证→总结” 的探究过程，体会数形结合思想，提升利用坐标解决几何问题的能力。幻灯片 3：知识回顾轴对称图形定义：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。轴对称的性质：成轴对称的两个图形，对应点的连线被对称轴垂直平分；对应线段相等，对应角相等。平面直角坐标系：由 x 轴（横轴）、y 轴（纵轴）和原点组成，点的坐标用有序实数对 (a,b) 表示，x 轴上点纵坐标为 0，y 轴上点横坐标为 0。提出问题：若点 A (2,3) 关于 x 轴对称得到点 A'，点 A 关于 y 轴对称得到点 A''，A' 和 A'' 的坐标是什么？它们与 A 的坐标有什么关系？幻灯片 4：探究活动 1：点关于 x 轴对称的坐标变化规律1. 实例观察与记录在平面直角坐标系中描出下列点及其关于 x 轴对称的点，记录坐标：已知点 P (a,b)P 关于 x 轴对称的点 P₁坐标变化对比A(2,3)A₁(2, -3)横坐标 2→2（不变），纵坐标 3→-3（相反）B(-1,4)B₁(-1, -4)横坐标 - 1→-1（不变），纵坐标 4→-4（相反）C(3, -2)C₁(3, 2)横坐标 3→3（不变），纵坐标 - 2→2（相反）D(0,5)D₁(0, -5)横坐标 0→0（不变），纵坐标 5→-5（相反）2. 规律猜想与验证猜想：平面内任意一点 P (a,b) 关于 x 轴对称的点 P₁，其横坐标与 P 相同，纵坐标与 P 互为相反数。验证：取点 E (-2, -1)，关于 x 轴对称的点 E₁(-2, 1)，符合 “横同纵反”；取原点 O (0,0)，关于 x 轴对称的点仍为 (0,0)，也符合（0 的相反数是 0）。3. 结论点关于 x 轴对称的坐标变化规律：若点 P 的坐标为 (a,b)，则 P 关于 x 轴对称的点 P₁的坐标为\((a, -b)\)（横坐标不变，纵坐标互为相反数）。幻灯片 5：探究活动 2：点关于 y 轴对称的坐标变化规律1. 实例观察与记录在平面直角坐标系中描出下列点及其关于 y 轴对称的点，记录坐标：已知点 P (a,b)P 关于 y 轴对称的点 P₂坐标变化对比A(2,3)A₂(-2, 3)横坐标 2→-2（相反），纵坐标 3→3（不变）B(-1,4)B₂(1, 4)横坐标 - 1→1（相反），纵坐标 4→4（不变）C(3, -2)C₂(-3, -2)横坐标 3→-3（相反），纵坐标 - 2→-2（不变）D(0,5)D₂(0, 5)横坐标 0→0（相反仍是 0），纵坐标 5→5（不变）2. 规律猜想与验证猜想：平面内任意一点 P (a,b) 关于 y 轴对称的点 P₂，其纵坐标与 P 相同，横坐标与 P 互为相反数。验证：取点 E (-2, -1)，关于 y 轴对称的点 E₂(2, -1)，符合 “纵同横反”；取原点 O (0,0)，关于 y 轴对称的点仍为 (0,0)，符合规律。3. 结论点关于 y 轴对称的坐标变化规律：若点 P 的坐标为 (a,b)，则 P 关于 y 轴对称的点 P₂的坐标为\((-a, b)\)（纵坐标不变，横坐标互为相反数）。幻灯片 6：坐标变化规律总结（对比表格）对称关系已知点 P (a,b)对称点坐标坐标变化规律图形特征（对应点连线）关于 x 轴对称(a,b)P₁(a, -b)横坐标不变，纵坐标变相反对应点连线垂直于 x 轴，且中点在 x 轴上关于 y 轴对称(a,b)P₂(-a, b)纵坐标不变，横坐标变相反对应点连线垂直于 y 轴，且中点在 y 轴上记忆口诀“关于 x 轴，横不变纵变反；关于 y 轴，纵不变横变反”。幻灯片 7：例题讲解 1：求对称点的坐标例题 1：已知点的坐标，求对称点坐标题目：已知点 A (-3, 4)、B (2, -5)、C (0, -2)，分别求出它们关于 x 轴、y 轴对称的点的坐标。解答：关于 x 轴对称：A₁(-3, -4)（横不变，纵变反：4→-4）；B₁(2, 5)（纵变反：-5→5）；C₁(0, 2)（纵变反：-2→2）。关于 y 轴对称：A₂(3, 4)（横变反：-3→3）；B₂(-2, -5)（横变反：2→-2）；C₂(0, -2)（横变反：0→0，坐标不变）。例题 2：已知对称点坐标，求原点点坐标题目：已知点 P 关于 x 轴对称的点 P₁(5, -7)，求点 P 的坐标；已知点 Q 关于 y 轴对称的点 Q₂(-3, 2)，求点 Q 的坐标。解答：求 P：关于 x 轴对称，P 与 P₁“横同纵反”，P₁(5, -7)，故 P (5, 7)（-7 的相反数是 7）；求 Q：关于 y 轴对称，Q 与 Q₂“纵同横反”，Q₂(-3, 2)，故 Q (3, 2)（-3 的相反数是 3）。幻灯片 8：例题讲解 2：利用坐标变化画轴对称图形例题：如图，已知三角形 ABC 的三个顶点坐标分别为 A (1, 2)、B (3, 4)、C (2, -1)，在平面直角坐标系中画出三角形 ABC 关于 x 轴、y 轴对称的图形。步骤 1：画关于 x 轴对称的三角形 A₁B₁C₁求对称点坐标：A (1,2) 关于 x 轴对称→A₁(1, -2)；B (3,4) 关于 x 轴对称→B₁(3, -4)；C (2,-1) 关于 x 轴对称→C₁(2, 1)。描点：在坐标系中描出 A₁、B₁、C₁三点；连线：顺次连接 A₁B₁、B₁C₁、C₁A₁，得到△A₁B₁C₁（△ABC 关于 x 轴对称的图形）。步骤 2：画关于 y 轴对称的三角形 A₂B₂C₂求对称点坐标：A (1,2) 关于 y 轴对称→A₂(-1, 2)；B (3,4) 关于 y 轴对称→B₂(-3, 4)；C (2,-1) 关于 y 轴对称→C₂(-2, -1)。描点：在坐标系中描出 A₂、B₂、C₂三点；连线：顺次连接 A₂B₂、B₂C₂、C₂A₂，得到△A₂B₂C₂（△ABC 关于 y 轴对称的图形）。画图验证观察：△A₁B₁C₁与△ABC 沿 x 轴折叠后完全重合，△A₂B₂C₂与△ABC 沿 y 轴折叠后完全重合，符合轴对称图形性质。幻灯片 9：学生活动：自主画轴对称图形活动任务：在平面直角坐标系中，已知四边形 ABCD 的顶点坐标为 A (-2, 3)、B (-1, 1)、C (2, 1)、D (1, 3)；求出四边形 ABCD 关于 x 轴、y 轴对称的图形的顶点坐标；在同一坐标系中描出对称点，连线得到轴对称图形，并标注图形名称（如 “四边形 A₁B₁C₁D₁（关于 x 轴对称）”）。参考对称点坐标：关于 x 轴对称：A₁(-2, -3)、B₁(-1, -1)、C₁(2, -1)、D₁(1, -3)；关于 y 轴对称：A₂(2, 3)、B₂(1, 1)、C₂(-2, 1)、D₂(-1, 3)。教师指导：巡视学生画图情况，重点检查对称点坐标是否正确（如 A (-2,3) 关于 x 轴对称应为 (-2,-3)，避免横坐标出错），确保连线顺序与原图形一致。幻灯片 10：随堂练习已知点 M (4, -6)，则：（1）M 关于 x 轴对称的点坐标为 (4, 6)；（2）M 关于 y 轴对称的点坐标为 (-4, -6)；（3）若点 N 与 M 关于 x 轴对称，点 P 与 N 关于 y 轴对称，则 P 的坐标为 (-4, 6)。下列说法正确的是（ ）A. 点 (2,3) 与 (3,2) 关于 x 轴对称B. 点 (-1,4) 关于 y 轴对称的点为 (1,4)C. 点 (0,0) 关于 x 轴、y 轴对称的点仍为 (0,0)D. 点 (a,b) 关于 x 轴对称的点为 (-a,b)（答案：B、C，解析：A 中两点坐标无对称关系；D 中关于 x 轴对称应为 (a,-b)）已知三角形的三个顶点坐标为 A (-1, 2)、B (2, 1)、C (-2, -2)，画出该三角形关于 y 轴对称的图形，并写出对称图形的顶点坐标。对称顶点坐标：A₂(1, 2)、B₂(-2, 1)、C₂(2, -2)，画图略。幻灯片 11：课堂小结核心规律：关于 x 轴对称：点 (a,b)→(a, -b)（横不变，纵变反）；关于 y 轴对称：点 (a,b)→(-a, b)（纵不变，横变反）。画轴对称图形步骤：求原图形各顶点的对称点坐标（根据对称类型用规律）；在坐标系中描出所有对称点；按原图形顶点顺序顺次连接对称点，得到轴对称图形。数学思想：数形结合：通过坐标描述图形的轴对称变换，用代数方法解决几何问题；归纳推理：从特殊点的坐标变化推广到一般点的规律。幻灯片 12：课后作业基础题：（1）已知点 (5, -8)，求它关于 x 轴、y 轴对称的点的坐标；（2）已知点 P 关于 y 轴对称的点为 (7, -3)，求点 P 的坐标；（3）在坐标系中描出点 A (0, 4)、B (2, 2)、C (4, 4)，画出△ABC 关于 x 轴对称的图形，并写出对称图形的顶点坐标。提升题：（1）已知点 A (a, 3) 与点 B (2, b) 关于 x 轴对称，求 a 和 b 的值；（2）已知四边形顶点坐标为 A (-3, 1)、B (-1, 3)、C (1, 3)、D (3, 1)，判断该四边形是否为轴对称图形，若为，求出它的对称轴（用坐标描述，如 “x=0” 即 y 轴）。实践题：在平面直角坐标系中，画出一个你喜欢的简单图形（如房子、小树），写出各顶点坐标，然后画出该图形关于 y 轴对称的图形，与家人分享你的创作。【2024新教材】北师大版数学 八年级上册 授课教师： . 班 级： . 时 间： . 旧识回顾1．什么叫轴对称图形？2．如何在平面直角坐标系中确定点P的位置？如果一个平面图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形从原点起沿着水平方向测量相应的距离为P的横坐标x；从原点起沿着垂直方向测量相应的距离为P的纵坐标y；将点P的横坐标x和纵坐标y组合起来，得到点P的坐标△ABC与△A1B1C1关于x轴对称.探究 轴对称与坐标变化对应点的纵坐标互为相反数对应点的横坐标相同（2）请在下表中填入点A与A1、点B与B1、点C与C1的坐标，并思考：这些对应点的坐标之间有什么关系？ 关于x轴对称的两个点的坐标，横坐标相同，纵坐标互为相反数；(m,-n)2.如右图所示的平面直角坐标系中，第一、二象限内各有一面小旗.(1)两面小旗之间有怎样的位置关系？关于y轴成轴对称.(2，6) (-2，6) 对应点的纵坐标相等对应点的横坐标互为相反数（3）如果点P（m，n）在△ABC内，那么它在△A1B1C1内的对应点P1的坐标是 .关于y轴对称的两个点的坐标，横坐标互为相反数，纵坐标相同.(-m,n)3.通过以上学习，你知道关于x轴对称的两个点的坐标之间的关系吗？关于y轴对称的两个点的坐标之间的关系呢？ 根据坐标轴变化的规律确定点的坐标例 若点A(1＋m，1－n)与点B(－3，2)关于y轴对称，则m＋n的值是(　　)A．－5B．－3 C．3 D．1解析：因为点A(1＋m，1－n)与点B(－3，2)关于y轴对称，所以1＋m＝3，1－n＝2，解得m＝2，n＝－1.所以m＋n＝2－1＝1.D 1.平面直角坐标系中，点P（ 5 ，7）关于x轴对称的点的坐标为 . 2.已知点A（a，2）与点A1（8，b）关于y轴对称，则a= ，b= .(5,-7)-81刚刚我们学习了两个关于坐标轴对称的图形的坐标关系那坐标变化会不会引起图形变化？会引起怎样的变化呢？拓展思考 在平面直角坐标系中依次连接下列各点：(0,0)， (5,4) ，(3,0)， (5,1) ，(5,-1)， (3,0)， (4,-2) ，(0,0)，你得到了一个怎样的图案？x–1y54321123455坐标变化为： 将各坐标的纵坐标保持不变，横坐标都乘以-1 ，则图形怎么变化？纵坐标保持不变，横坐标都乘以-1，两个图形关于y轴对称 （0,0）（-5,4）（-3,0）（-5,1）（-5,-1）（-3,0）（-4,-2）（0,0） 将各坐标的纵坐标都乘以-1，横坐标保持不变，则图形怎么变化？123456780–1–2–3–4–512345yx横坐标保持不变，纵坐标都乘以-1，两个图形关于x轴对称 （0,0）（5,-4）（3,0）（5,-1）（5,1）（3,0）（4,2）（0,0）–5 将各坐标的纵坐标与横坐标都乘以-1，图形会变成什么样？yx坐标变化为：与原图形关于原点中心对称（0,0）（-5,-4）（-3,0）（-5,-1）（-5,1）（-3,0）（-4,2）（0,0）1.关于y轴对称的两个图形上点的坐标特征：(x , y)(-x , y)2.关于x轴对称的两个图形上点的坐标特征：3.关于原点轴对称的两个图形上点的坐标特征：(x , y)( x , -y)(x , y)(-x , -y)横坐标变为相反数，纵坐标不变.横坐标不变，纵坐标变为相反数.横坐标、纵坐标都变为相反数.知识点1 建立适当的坐标系求点的坐标 AA. B. C. D. 返回（第2题）        返回   返回知识点2 由已知点的坐标求其他点的坐标 C（第4题）  返回（第5题） D  返回（第6题）   返回   返回 D  返回（第9题） D  返回（第10题）   返回11.为更好地开展古树名木的系统保护工作，某公园对园内的5棵百年古树都利用坐标确定了位置，并且定期巡视。           返回  解：建立平面直角坐标系如图：          返回必做作业：从教材习题中选取；选做作业：完成练习册本课时的习题.谢谢观看！