3.2.2平面直角坐标系中点的坐标特征（教学课件）2025-2026学年八年级数学上册北师大版（2024）

3.2.2 平面直角坐标系中点的坐标特征在平面直角坐标系中，不同位置的点具有不同的坐标特征，这些特征是我们通过坐标研究图形性质的重要依据。上一节我们初步了解了象限和坐标轴上点的坐标特点，本节将系统梳理各类点的坐标规律，包括对称点、特殊直线上的点以及距离关系等，帮助你更深入地理解坐标与位置的对应关系。一、象限内点的坐标特征平面直角坐标系被 x 轴和 y 轴分为四个象限，每个象限内点的横坐标和纵坐标的符号具有明确的规律，这是判断点所在象限的核心依据：象限横坐标符号纵坐标符号坐标形式第一象限正（+）正（+）\((+, +)\)第二象限负（-）正（+）\((-, +)\)第三象限负（-）负（-）\((-, -)\)第四象限正（+）负（-）\((+, -)\)（一）特征应用根据象限内点的坐标符号特征，我们可以：判断已知坐标的点所在的象限；由点所在的象限确定其横、纵坐标的符号范围。（二）例题解析例 1：判断下列各点所在的象限：（1）\(A(5, 3)\)；（2）\(B(-2, 4)\)；（3）\(C(-1, -6)\)；（4）\(D(7, -2)\)。解：（1）点\(A\)的横坐标为正，纵坐标为正，符合第一象限\((+, +)\)的特征，因此点\(A\)在第一象限。（2）点\(B\)的横坐标为负，纵坐标为正，符合第二象限\((-, +)\)的特征，因此点\(B\)在第二象限。（3）点\(C\)的横坐标为负，纵坐标为负，符合第三象限\((-, -)\)的特征，因此点\(C\)在第三象限。（4）点\(D\)的横坐标为正，纵坐标为负，符合第四象限\((+, -)\)的特征，因此点\(D\)在第四象限。例 2：已知点\(P(m + 1, 2m - 3)\)在第二象限，求\(m\)的取值范围。解：因为点\(P\)在第二象限，所以横坐标为负，纵坐标为正，可列出不等式组：\(\begin{cases}m + 1 < 0 \\2m - 3 > 0\end{cases}\)解第一个不等式：\(m + 1 < 0 \Rightarrow m < -1\)；解第二个不等式：\(2m - 3 > 0 \Rightarrow 2m > 3 \Rightarrow m > \frac{3}{2}\)。此时不等式组无解，说明不存在这样的\(m\)使点\(P\)在第二象限。二、坐标轴上点的坐标特征坐标轴上的点不属于任何象限，其坐标具有特殊的简化形式：（一）x 轴上的点x 轴上任意一点的纵坐标为 0，横坐标可以是任意实数，坐标形式为\((x, 0)\)。例如：点\((3, 0)\)在 x 轴正半轴上；点\((-2, 0)\)在 x 轴负半轴上；原点\((0, 0)\)是 x 轴和 y 轴的交点。（二）y 轴上的点y 轴上任意一点的横坐标为 0，纵坐标可以是任意实数，坐标形式为\((0, y)\)。例如：点\((0, 5)\)在 y 轴正半轴上；点\((0, -4)\)在 y 轴负半轴上。（三）例题解析例 3：判断下列各点是否在坐标轴上，若在，指出在哪个坐标轴上：（1）\(M(0, 6)\)；（2）\(N(3, 0)\)；（3）\(P(-2, 5)\)；（4）\(Q(0, 0)\)。解：（1）点\(M\)的横坐标为 0，纵坐标不为 0，因此点\(M\)在 y 轴上。（2）点\(N\)的纵坐标为 0，横坐标不为 0，因此点\(N\)在 x 轴上。（3）点\(P\)的横坐标和纵坐标都不为 0，因此点\(P\)不在坐标轴上（在第二象限）。（4）点\(Q\)的横坐标和纵坐标都为 0，因此点\(Q\)是坐标原点，在 x 轴和 y 轴的交点处。例 4：已知点\(A(a - 1, 5)\)在 y 轴上，求\(a\)的值。解：因为点\(A\)在 y 轴上，所以其横坐标为 0，即：\(a - 1 = 0 \Rightarrow a = 1\)。三、对称点的坐标特征在平面直角坐标系中，点的对称关系包括关于 x 轴对称、关于 y 轴对称和关于原点对称三种，每种对称关系对应着特定的坐标变换规律。（一）关于 x 轴对称特征：两个点关于 x 轴对称时，它们的横坐标相同，纵坐标互为相反数。坐标变换：若点\(P(x, y)\)关于 x 轴对称的点为\(P_1\)，则\(P_1(x, -y)\)。例如，点\((2, 3)\)关于 x 轴对称的点为\((2, -3)\)；点\((-1, -4)\)关于 x 轴对称的点为\((-1, 4)\)。（二）关于 y 轴对称特征：两个点关于 y 轴对称时，它们的纵坐标相同，横坐标互为相反数。坐标变换：若点\(P(x, y)\)关于 y 轴对称的点为\(P_2\)，则\(P_2(-x, y)\)。例如，点\((3, 5)\)关于 y 轴对称的点为\((-3, 5)\)；点\((-2, -6)\)关于 y 轴对称的点为\((2, -6)\)。（三）关于原点对称特征：两个点关于原点对称时，它们的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数。坐标变换：若点\(P(x, y)\)关于原点对称的点为\(P_3\)，则\(P_3(-x, -y)\)。例如，点\((4, 2)\)关于原点对称的点为\((-4, -2)\)；点\((-1, 3)\)关于原点对称的点为\((1, -3)\)。（四）例题解析例 5：已知点\(A(3, -5)\)，分别求出它关于 x 轴、y 轴和原点对称的点的坐标。解：点\(A\)关于 x 轴对称的点：横坐标不变，纵坐标变为相反数，即\((3, 5)\)。点\(A\)关于 y 轴对称的点：纵坐标不变，横坐标变为相反数，即\((-3, -5)\)。点\(A\)关于原点对称的点：横、纵坐标都变为相反数，即\((-3, 5)\)。例 6：已知点\(P(a, b)\)关于 y 轴对称的点是\(Q(-2, 3)\)，求\(a\)和\(b\)的值。解：因为点\(P(a, b)\)关于 y 轴对称的点是\(Q(-2, 3)\)，根据关于 y 轴对称的坐标特征 “横坐标互为相反数，纵坐标相同”，可得：\(a = 2\)（\(a\)与\(-2\)互为相反数），\(b = 3\)（纵坐标相同）。四、特殊直线上点的坐标特征除了坐标轴，平面内还有一些特殊直线（如平行于坐标轴的直线、象限角平分线等），这些直线上的点也具有独特的坐标特征。（一）平行于坐标轴的直线平行于 x 轴的直线：直线上所有点的纵坐标都相等，横坐标可以是任意实数。一般形式：\(y = k\)（\(k\)为常数）。例如，直线\(y = 4\)上的点的坐标可表示为\((x, 4)\)，如\((1, 4)\)、\((-3, 4)\)等。平行于 y 轴的直线：直线上所有点的横坐标都相等，纵坐标可以是任意实数。一般形式：\(x = h\)（\(h\)为常数）。例如，直线\(x = -2\)上的点的坐标可表示为\((-2, y)\)，如\((-2, 5)\)、\((-2, -1)\)等。（二）象限角平分线第一、三象限角平分线：直线上任意一点的横坐标与纵坐标相等，即\(x = y\)。坐标形式：\((a, a)\)（\(a\)为任意实数）。例如，点\((3, 3)\)、\((-2, -2)\)都在这条直线上。第二、四象限角平分线：直线上任意一点的横坐标与纵坐标互为相反数，即\(x = -y\)（或\(x + y = 0\)）。坐标形式：\((a, -a)\)（\(a\)为任意实数）。例如，点\((2, -2)\)、\((-5, 5)\)都在这条直线上。（三）例题解析例 7：已知点\(M(2, m)\)在直线\(y = 3\)上，求\(m\)的值；已知点\(N(n, -4)\)在直线\(x = -1\)上，求\(n\)的值。解：因为点\(M(2, m)\)在直线\(y = 3\)上，而直线\(y = 3\)上所有点的纵坐标都为 3，所以\(m = 3\)。因为点\(N(n, -4)\)在直线\(x = -1\)上，而直线\(x = -1\)上所有点的横坐标都为 - 1，所以\(n = -1\)。例 8：判断点\(A(5, 5)\)、\(B(-3, 3)\)、\(C(2, -2)\)分别在哪些象限角平分线上。解：点\(A\)的横坐标与纵坐标相等（\(5 = 5\)），因此点\(A\)在第一、三象限角平分线上。点\(B\)的横坐标与纵坐标互为相反数（\(-3 = -3\)，即\(x = -y\)），因此点\(B\)在第二、四象限角平分线上。点\(C\)的横坐标与纵坐标互为相反数（\(2 = -(-2)\)，即\(x = -y\)），因此点\(C\)在第二、四象限角平分线上。五、点到坐标轴及原点的距离（一）点到坐标轴的距离平面内任意一点\(P(x, y)\)到坐标轴的距离与它的坐标密切相关：点\(P\)到 x 轴的距离 = 纵坐标的绝对值 = \(|y|\)；点\(P\)到 y 轴的距离 = 横坐标的绝对值 = \(|x|\)。（二）点到原点的距离点\(P(x, y)\)到坐标原点\(O(0, 0)\)的距离可以通过勾股定理计算：\(PO = \sqrt{x^2 + y^2}\)例如，点\((3, 4)\)到原点的距离为\(\sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\)。（三）例题解析例 9：已知点\(P(-3, 4)\)，求：（1）点\(P\)到 x 轴的距离；（2）点\(P\)到 y 轴的距离；（3）点\(P\)到原点的距离。解：（1）点\(P\)到 x 轴的距离为纵坐标的绝对值，即\(|4| = 4\)。（2）点\(P\)到 y 轴的距离为横坐标的绝对值，即\(|-3| = 3\)。（3）点\(P\)到原点的距离为\(\sqrt{(-3)^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\)。例 10：已知点\(Q(x, y)\)到 x 轴的距离是 2，到 y 轴的距离是 5，求点\(Q\)的坐标。解：点\(Q\)到 x 轴的距离是 2，因此\(|y| = 2 \Rightarrow y = 2\)或\(y = -2\)；点\(Q\)到 y 轴的距离是 5，因此\(|x| = 5 \Rightarrow x = 5\)或\(x = -5\)；组合可得点\(Q\)的坐标可能为：\((5, 2)\)、\((5, -2)\)、\((-5, 2)\)、\((-5, -2)\)。六、常见误区对称点坐标记忆混淆：混淆关于 x 轴、y 轴和原点对称的坐标变换规律，例如将点\((x, y)\)关于 x 轴对称的点误记为\((-x, y)\)，而正确应为\((x, -y)\)。象限角平分线特征颠倒：错误认为第一、三象限角平分线上的点满足\(x = -y\)，第二、四象限角平分线上的点满足\(x = y\)，实际应相反。距离与坐标符号混淆：计算点到坐标轴的距离时，错误地保留坐标的符号，例如将点\((-4, 5)\)到 y 轴的距离算为 - 4，而正确结果应为\(|-4| = 4\)。忽略多解情况：在已知距离求坐标时，忘记考虑坐标的正负性导致漏解。例如，点到 x 轴距离为 3 时，纵坐标可能是 3 或 - 3，而非仅 3。特殊直线方程理解错误：将平行于 x 轴的直线\(y = k\)误理解为横坐标为 k，或将平行于 y 轴的直线\(x = h\)误理解为纵坐标为 h。七、课堂总结象限内点：坐标符号具有明确规律，第一象限\((+, +)\)、第二象限\((-, +)\)、第三象限\((-, -)\)、第四象限\((+, -)\)。坐标轴上点：x 轴上点的纵坐标为 0\((x, 0)\)，y 轴上点的横坐标为 0\((0, y)\)，原点坐标为\((0, 0)\)。对称点：关于 x 轴对称：\((x, y) \leftrightarrow (x, -y)\)；关于 y 轴对称：\((x, y) \leftrightarrow (-x, y)\)；关于原点对称：\((x, y) \leftrightarrow (-x, -y)\)。特殊直线上的点：平行于 x 轴的直线\(y = k\)上的点纵坐标为 k；平行于 y 轴的直线\(x = h\)上的点横坐标为 h；第一、三象限角平分线：\(x = y\)；第二、四象限角平分线：\(x = -y\)。距离关系：点到 x 轴距离为\(|y|\)，到 y 轴2024北师大版数学八年级上册授课教师： . 班 级： . 时 间： . 1. 经历画坐标系、描点、连线、看图以及由点找坐标等过程，发展学生的数形结合意识和合作交流意识．2．通过在平面直角坐标系中分析、观察点的坐标与图形的对应关系，发现点的坐标特征，体会平面直角坐标系是用代数方法研究几何问题的有效性工具．3．通过“平面直角坐标系”知识的形成过程，逐步掌握观察、比较、操作、类比、归纳等思维方法，发展学生的探究意识．重点难点旧识回顾1．你还记得什么是平面直角坐标系吗？2．两条坐标轴把平面分成了几部分？不包括坐标轴 在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系4部分情境导入神舟九号、七号、六号和五号的发射和回收都那么成功 ，圆了几代中国人的梦想，让全中国人为之骄傲和自豪!但是你们知道我们的科学家是怎样迅速地找到返回舱着陆的位置的吗？这全依赖于GPS——卫星全球定位系统”.大家一定觉得很神奇吧！学习了今天的内容，你就会明白其中的奥妙. 如图是一个笑脸.（1）在“笑脸”上找出几个位于第一象限的点，指出它们的坐标，说说这些点的坐标有什么特点.（2）在其他象限内分别找几个点，看看其他各个象限内的点的坐标有什么特点.（3）不描出点，分别判断A(1, 2)，B(-1, -3), C(2, -1), D(-3, 4)所在的象限.平面直角坐标系内点的坐标特征做一做（1）象限内点的特征：解:（2）特殊位置的点的特征：（3）点A在第一象限， 点B在第三象限， 点C在第四象限， 点D在第二象限. 在直角坐标系中描出下列各点，并将各组内这些点依次用线段连接.（1）D(-3,5), E(-7, 3), C(l,3), D(-3,5)； （2）F(-6,3), G(-6,0), A(0,0), B(0,3)； 观察所描出的图形，它像什么？根据图形回答下列问题： （1）图形中哪些点在坐标轴上，它们的坐标有什么特点？ （2）线段EC与x轴有什么位置关系？点E和点C的坐标有什 么特点？线段EC上其他点的坐标呢？ （3）点F和点G的横坐标有什么共同特点？线段FG与y轴有 怎样的位置关系？在平面直角坐标系作图找出点的坐标特征例1解：连接起来的图形像“房子”（如图). （1）线段AG上的点都在x轴上，它们的纵坐标都等于0；线段AB上的点、线段CD与y轴的交点，它们都在y轴上，它们的横坐标都等于0.（2）线段EC平行于x轴，点E和点C的纵坐标相同.线段EC上其他点的纵坐标也相同，都是3.（3）点F和点G的横坐标相同，线段FG与y轴平行. 1.位于x轴上的点的坐标的特征是: ; 位于y轴上的点的坐标的特征是: .2.与x轴平行的直线上点的坐标的特征 是： ； 与y轴平行的直线上点的坐标的特征 是： .归纳 概括纵坐标等于 0横坐标等于 0纵坐标相同 横坐标相同(1)在平面直角坐标系中，描出下列各点：A(-5,0)，B(1,4)，C(3,3)，D(1,0)，E(3,-3)，F(1,-4).ABCDEFo-5-4 动手操作，完成下列题目(2)依次连接A，B，C，D，E，F，A，你得到什么图形？ABCDEF-5-40答案不唯一（例如图形类似于一架飞机，类似于一个箭头等）解：例3 已知在平面直角坐标系中，点P(m，m-2)在第一象限内，则m的取值范围是________．解析：根据第一象限内点的坐标的符号特征，横坐标为正，纵坐标为正，可得关于m的一元一次不等式组 解得m＞2.m＞2求点的坐标中字母的取值范围的方法：根据各个象限内点的坐标的符号特征，列出关于字母的不等式或不等式组，解不等式或不等式组即可求出相应字母的取值范围．利用平面直角坐标系内点的坐标确定字母的值 435 返回   返回   返回   返回平面直角坐标系内点的坐标特征各象限内点的坐标特征特殊点的坐标特征平行于x轴的点坐标特征平行于y轴的点坐标特征y轴、x轴上点的坐标特征必做作业：从教材习题中选取；选做作业：完成练习册本课时的习题.谢谢观看！