4.5.2课时 补角和余角（课件）2024沪科版2025-2026学年七年级数学上册课件

幻灯片 1：封面标题：4.5.2 补角和余角（定义、性质与应用）背景图：左侧展示 “余角场景”（两个角拼合成直角，标注∠1+∠2=90°，∠1 与∠2 互余）；右侧呈现 “补角场景”（两个角拼合成平角，标注∠3+∠4=180°，∠3 与∠4 互补），直观体现补角和余角的核心特征，下方搭配 “掌握补角余角关系，解决角度计算问题” 文字提示，明确学习目标。幻灯片 2：目录补角和余角的概念引入（从直角、平角到角的关系）补角与余角的定义及表示方法余角：定义、表示、图形特征补角：定义、表示、图形特征补角和余角的核心性质（同角 / 等角的余角 / 补角相等）补角和余角的计算与判定（基础计算、综合应用）补角与余角的区别与联系典型例题解析（计算、证明、实际应用）易错点警示与注意事项课堂练习巩固（分层练习）课堂小结与作业布置幻灯片 3：补角和余角的概念引入（从直角、平角到角的关系）生活中的 “角的互补互余” 现象补角和余角的概念源于 “角的和为特殊角（直角 90°、平角 180°）” 的场景，生活中常见实例：① 三角尺使用：用 30° 角和 60° 角拼合，恰好形成直角（90°），这两个角存在 “互余” 关系；② 时钟时刻：6 点整时，时针与分针形成平角（180°），若将平角分成两个角（如 120° 和 60°），这两个角存在 “互补” 关系；③ 门窗结构：长方形窗户的一个角（90°）被窗框分成两个角（如 35° 和 55°），这两个角互余；墙面的平角（180°）被装饰线分成两个角（如 70° 和 110°），这两个角互补。数学概念的抽象从这些现象中，可抽象出补角和余角的数学概念：若两个角的和为 90°，则它们互余；若两个角的和为 180°，则它们互补，核心是 “角的和为特殊角”，与角的位置无关（可相邻，也可不相邻）。幻灯片 4：补角与余角的定义及表示方法一、余角（和为 90° 的两个角）定义：若两个角的和等于90°（直角），则这两个角互为余角，简称互余。其中一个角是另一个角的余角。示例：∠α=35°，∠β=55°，∠α+∠β=90°，则∠α 与∠β 互为余角，∠α 是∠β 的余角，∠β 也是∠α 的余角。图形特征：两个角可拼合成直角（相邻时），或分散在不同位置（不相邻时），但和始终为 90°。表示方法：文字表示：“∠A 与∠B 互为余角” 或 “∠A 是∠B 的余角”；符号表示：若∠A + ∠B = 90°，则 “∠A ∽ ∠B”（互余符号，部分教材用文字描述，无统一符号，常用 “∠A 与∠B 互余” 表示）。特殊说明：只有锐角（小于 90°）才有余角（钝角、直角的和无法为 90°）；一个角的余角唯一吗？不唯一（如∠α=20°，余角可为 70°、70° 等，只要和为 90° 即可）。二、补角（和为 180° 的两个角）定义：若两个角的和等于180°（平角），则这两个角互为补角，简称互补。其中一个角是另一个角的补角。示例：∠γ=70°，∠δ=110°，∠γ+∠δ=180°，则∠γ 与∠δ 互为补角，∠γ 是∠δ 的补角，∠δ 也是∠γ 的补角。图形特征：两个角可拼合成平角（相邻时），或分散在不同位置（不相邻时），但和始终为 180°。表示方法：文字表示：“∠C 与∠D 互为补角” 或 “∠C 是∠D 的补角”；符号表示：若∠C + ∠D = 180°，则 “∠C ∽ ∠D”（互补符号，常用 “∠C 与∠D 互补” 表示）。特殊说明：锐角的补角是钝角，直角的补角是直角，钝角的补角是锐角；一个角的补角也不唯一（如∠γ=50°，补角可为 130°、130° 等）。幻灯片 5：补角和余角的核心性质（同角 / 等角的余角 / 补角相等）补角和余角有两个核心性质，是几何证明和计算的重要依据，需重点掌握：一、余角的性质：同角或等角的余角相等“同角的余角相等”：若两个角都是同一个角的余角，则这两个角相等。示例：∠1 + ∠2 = 90°，∠1 + ∠3 = 90°（∠2 和∠3 都是∠1 的余角），则∠2 = ∠3。证明：∵∠1 + ∠2 = 90°，∠1 + ∠3 = 90°，∴∠2 = 90°-∠1，∠3 = 90°-∠1，故∠2 = ∠3。“等角的余角相等”：若两个角相等，它们的余角也相等。示例：∠1 = ∠2，∠1 + ∠3 = 90°，∠2 + ∠4 = 90°（∠3 是∠1 的余角，∠4 是∠2 的余角），则∠3 = ∠4。证明：∵∠1 + ∠3 = 90°→∠3 = 90°-∠1；∠2 + ∠4 = 90°→∠4 = 90°-∠2；又∠1 = ∠2，故∠3 = ∠4。二、补角的性质：同角或等角的补角相等“同角的补角相等”：若两个角都是同一个角的补角，则这两个角相等。示例：∠A + ∠B = 180°，∠A + ∠C = 180°（∠B 和∠C 都是∠A 的补角），则∠B = ∠C。“等角的补角相等”：若两个角相等，它们的补角也相等。示例：∠A = ∠B，∠A + ∠C = 180°，∠B + ∠D = 180°（∠C 是∠A 的补角，∠D 是∠B 的补角），则∠C = ∠D。性质应用场景：在几何证明中，若需证明两个角相等，可通过 “证明它们是同角或等角的余角 / 补角” 来推导，简化证明过程。幻灯片 6：补角和余角的计算与判定一、补角和余角的基础计算求一个角的余角：余角 = 90° - 已知角（需满足已知角 < 90°，否则无余角）。示例：∠α=42°，则其余角 = 90°-42°=48°；∠β=95°，无余角。求一个角的补角：补角 = 180° - 已知角（任意角均有补角，除平角及以上角，但初中阶段主要研究 0°~180° 的角）。示例：∠γ=58°，则其补角 = 180°-58°=122°；∠δ=130°，其补角 = 180°-130°=50°。含单位换算的计算（度分秒）：需遵循 “度分秒分别相减，借 1 当 60” 的原则。示例 1：求∠α=35°20′的余角：90° - 35°20′=89°60′ - 35°20′=54°40′；示例 2：求∠β=120°15′的补角：180° - 120°15′=59°45′。二、补角和余角的判定判定两个角是否互余或互补，只需验证它们的和是否为 90° 或 180°：判定互余：计算两个角的和，若等于 90°（或 90°0′0″），则互余；否则不互余。示例：∠1=25°，∠2=65°，∠1+∠2=90°→互余；∠3=30°，∠4=55°，∠3+∠4=85°→不互余。判定互补：计算两个角的和，若等于 180°（或 180°0′0″），则互补；否则不互补。示例：∠5=70°，∠6=110°，∠5+∠6=180°→互补；∠7=80°，∠8=95°，∠7+∠8=175°→不互补。幻灯片 7：补角与余角的区别与联系为避免混淆，从 “和的度数”“角的范围”“性质” 等维度对比补角与余角：对比维度余角（Complementary Angle）补角（Supplementary Angle）两个角的和90°（直角）180°（平角）适用角的范围仅锐角（0° < 角 < 90°）锐角、直角、钝角（0° < 角 < 180°）性质同角 / 等角的余角相等同角 / 等角的补角相等数量关系一个角的余角比自身小（如 30° 的余角 60°，60°>30°？修正：锐角 自身；锐角 = 45° 时，余角 = 自身；锐角 > 45° 时，余角 < 自身）一个角的补角比自身大（锐角补角 > 自身，直角补角 = 自身，钝角补角 < 自身）联系1. 均描述两个角的数量关系，与位置无关；2. 若∠A 与∠B 互余，则∠A 与（∠B+90°）互补；3. 同角的补角比余角大 90°（如∠A 的补角 =∠A 的余角 + 90°）幻灯片 8：典型例题解析（计算、证明、实际应用）例题 1：补角与余角的综合计算题目：一个角的补角比它的余角的 3 倍大 10°，求这个角的度数。解答：设未知数：设这个角的度数为 x，则它的余角为 (90°-x)，补角为 (180°-x)；根据题意列方程：180° - x = 3 (90° - x) + 10°；解方程：展开：180° - x = 270° - 3x + 10°；移项：3x - x = 270° + 10° - 180°；合并：2x = 100°→x = 50°；验证：余角 = 40°，补角 = 130°，3×40°+10°=130°，符合题意；答：这个角的度数为 50°。例题 2：利用补角余角性质证明角相等题目：如图，∠AOB=∠COD=90°，求证：∠AOC=∠BOD。解答：分析角的关系：∵∠AOB=90°，∴∠AOC + ∠COB = 90°（∠AOC 与∠COB 互余）；∵∠COD=90°，∴∠BOD + ∠COB = 90°（∠BOD 与∠COB 互余）；应用余角性质：∠AOC 和∠BOD 都是∠COB 的余角，根据 “同角的余角相等”，可得∠AOC=∠BOD；答：综上，∠AOC=∠BOD 得证。例题 3：实际应用问题题目：如图，一张长方形纸条 ABCD，将其沿 EF 折叠，使点 B 落在点 B' 处，若∠AEB'=40°，求∠BEF 的度数（提示：折叠后∠BEF=∠B'EF，且∠AEB' + ∠BEF + ∠B'EF=180°）。解答：分析平角关系：纸条 ABCD 是长方形，∠AEB 为平角（180°），折叠后∠BEF=∠B'EF，且∠AEB' + ∠BEF + ∠B'EF=180°；设未知数计算：设∠BEF=x，则∠B'EF=x，已知∠AEB'=40°，故 40° + x + x=180°→2x=140°→x=70°；答：∠BEF 的度数为 70°。幻灯片 9：易错点警示与注意事项易错点 1：混淆 “互余” 与 “互补” 的和的度数错误示例：求 30° 角的补角时，错算为 60°（正确：补角 = 180°-30°=150°，60° 是余角）；警示：牢记 “互余和为 90°，互补和为 180°”，计算前先明确是求余角还是补角，避免定义混淆。易错点 2：认为 “互余 / 互补的角必须相邻”错误示例：认为只有拼合成直角 / 平角的相邻角才互余 / 互补（正确：互余 / 互补与角的位置无关，只要和为 90°/180°，分散的角也可互余 / 互补）；警示：判断互余 / 互补时，只关注 “角的和”，不关注 “角的位置”，如∠A=20°（在三角尺上），∠B=70°（在钟表上），仍互余。易错点 3：单位换算错误（度分秒计算时用 10 进制）错误示例：求 50°15′的余角时，错算为 90°-50°15′=39°85′（正确：90°=89°60′，89°60′-50°15′=39°45′）；警示：角度单位是 60 进制，计算余角 / 补角时，若低位（分 / 秒）不够减，需从高位借 1 当 60，不可用 10 进制计算。** 易错点 4：误用 “一个角的余2025-2026学年沪科版数学七年级上册授课教师： . 班 级： . 时 间： . 1.知道互余、互补的概念与性质，会判断两个角是否互余、互补.◎重点:余角与补角的概念和性质.◎难点:角的相关问题. 余角、补角的概念及其性质 1.如果两个角的和等于180°，那么我们就称这两个角互为　补角　，简称　互补　. 补角互补2.如果两个角的和等于90°，那么我们就称这两个角互为　余角　，简称　互余　. 【归纳总结】　同角　(　等角　)的余角相等，　同角　(　等角　)的补角相等.  【学法指导】互余和互补描述的都不是一个角，而是指具有特殊数量关系的两个角，只与两个角的大小有关，与它们的位置无关. 余角互余同角等角同角等角1.下列说法正确的有(　B　)①如果互余的两个角的度数之比为1∶3，那么这两个角分别为45°和135°；②如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角不一定相等；③如果两个角的度数分别是73°42'和16°18'，那么这两个角互余；B④一个锐角的余角比这个锐角的补角小90°. 余角、补角的认识1.如图，AOB是一条直线，∠AOC＝90°，∠DOE＝90°，图中互余的角有　4　对，互补的角有　7　对. 47 余角、补角的运算2.一个角的补角是它的余角的3倍，那么这个角的度数是(　B　)B知识点1　余角和补角的定义1. 若∠ A ＝40°，则∠ A 的余角的大小是(　A　)A 返回2. 如果一个角的度数比它补角的2倍多30°，那么这个角的度数是(　C　)【点拨】　　设这个角的度数是 x °.根据题意，得 x ＝2(180－ x )＋30，解得 x ＝130，即这个角的度数是130°.C 返回3. 将一副三角尺按下列位置摆放，使∠α和∠β互余的摆放方式是(　A　)对于A，∠α＋∠β＝180°－90°＝90°，∠α与∠β互余；对于B，同角的余角相等，∠α＝∠β，∠α与∠β不一定互余；对于C，等角的补角相等，∠α＝∠β＝135°，∠α与∠β不互余；对于D，∠α＋∠β＝180°，∠α与∠β互补，不互余.故选A. 【点拨】【答案】A 返回4. 如图，∠ AOB ＝120°， OF 平分∠ AOB ，2∠1＝∠2.(1)∠1和∠2互余吗？试说明理由. (2)∠2与∠ AOB 互补吗？试说明理由.【解】∠2与∠ AOB 互补.理由：因为∠2＋∠ AOB ＝60°＋120°＝180°，所以∠2与∠ AOB 互补. 返回知识点2　余角和补角的性质5. 如图，直线 AB ， CD 交于点 O ，因为∠1＋∠3＝180°，∠2＋∠3＝180°，所以∠1＝∠2.此判断的依据是(　C　)C 返回必做作业：从教材习题中选取；选做作业：完成练习册本课时的习题.谢谢观看！