第四章 概率与统计（复习课件）-2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（人教B版2019）

单元复习课件 第四章概率与统计人教B版2019选择性必修第二册·高二学习内容导览单元知识图谱2单元复习目标13考点串讲针对训练5题型剖析46课堂总结1.理解并掌握从条件概率、随机变量到一元线性回归与独立性检验的核心概念与公式。3.在具体情境中，正确判断并选用 “二项分布” 还是 “超几何分布”2. 掌握关键模型：条件概率的计算、离散型随机变量（特别是二项分布）的分布列与数字特征、理解核心思想：理解用概率刻画随机性，用统计从数据中推断总体规律的基本思想。 概率与统计统计模型条件概率和事件独立性条件概率乘法公式和全概率公式随机变量离散型随机变量典型分布模型连续随机变量一元线性回归模型独立性检验 考点一、条件概率  P(A)P(B|A)考点二、乘法公式和全概率公式 1P(B|A)＋P(C|A)1－P(B|A) 考点二、乘法公式和全概率公式知识点三 贝叶斯公式 设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1,2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，P(B)>0，有考点二、乘法公式和全概率公式1.概念：一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω都有 的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量.2.表示：用 表示随机变量，如X，Y，Z；用表示随机变量的取值，如x，y，z.3.特征：随机试验中，每个样本点都有唯一的一个实数与之对应，随机变量有如下特征：(1)取值依赖于 .(2)所有可能取值是 .知识点一　随机变量的概念、表示及特征唯一大写英文字母小写英文字母样本点明确的考点三、离散型随机变量及其分布列可能取值为 或可以 的随机变量，我们称之为离散型随机变量.知识点二　离散型随机变量有限个一一列举1.定义：一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，我们称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1,2,3，…，n为X的概率分布列，简称分布列.2.分布列的性质(1)pi≥ ，i＝1,2，…，n.(2)p1＋p2＋…＋pn＝ .知识点三　离散型随机变量的分布列及其性质01考点三、离散型随机变量及其分布列 知识点四　两点分布我们称X服从两点分布或0－1分布.考点三、离散型随机变量及其分布列1.离散型随机变量的均值的概念一般地，若离散型随机变量X的分布列为知识点一　离散型随机变量的均值则称E(X)＝ ＝ 为随机变量X的均值或数学期望.x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn考点四、离散型随机变量的均值2.离散型随机变量的均值的意义均值是随机变量可能取值关于取值概率的 ，它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的 .3.离散型随机变量的均值的性质若Y＝aX＋b，其中a，b均是常数(X是随机变量)，则Y也是随机变量，且有E(aX＋b)＝ .加权平均数平均水平aE(X)＋b考点四、离散型随机变量的均值知识点二　两点分布的均值如果随机变量X服从两点分布，那么E(X)＝0×(1－p)＋1×p＝p.证明如下：如果Y＝aX＋b，其中a，b为常数，X是随机变量，那么Y也是随机变量.因此P(Y＝axi＋b)＝P(X＝xi)，i＝1,2,3，…，n，所以Y的分布列为于是有E(Y)＝(ax1＋b)p1＋(ax2＋b)p2＋…＋(axi＋b)pi＋…＋(axn＋b)pn＝a(x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn)＋b(p1＋p2＋…＋pi＋…＋pn)＝aE(X)＋b，即E(aX＋b)＝aE(X)＋b.考点四、离散型随机变量的均值设离散型随机变量X的分布列如表所示.知识点一　离散型随机变量的方差、标准差我们用X所有可能取值xi与E(X)的偏差的平方(x1－E(X))2，(x2－E(X))2，…，(xn－E(X))2，关于取值概率的加权平均，来度量随机变量X取值与其均值E(X)的偏离程度.我们称D(X)＝ 为随机变量X的方差(variance)，有时也记为Var(X)，并称为 随机变量X的标准差(standard deviation)，记为σ(X).(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝ (xi－E(X))2pi考点五、离散型随机变量的方差、标准差知识点二　离散型随机变量方差的性质1.设a，b为常数，则D(aX＋b)＝ .2.D(c)＝0(其中c为常数).a2D(X)考点五、离散型随机变量的方差、标准差1.n重伯努利试验的概念将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验.2.n重伯努利试验的共同特征(1)同一个伯努利试验 做n次.(2)各次试验的结果 .知识点一　n重伯努利试验及其特征重复相互独立考点六、二项分布 一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(00.题型三、概率乘法公式变式3　已知某品牌的手机从1 m高的地方掉落时，屏幕第一次未碎掉的概率为0.5，当第一次未碎掉时第二次也未碎掉的概率为0.3，试求这样的手机从1 m高的地方掉落两次后屏幕仍未碎掉的概率.解　设Ai＝“第i次掉落手机屏幕没有碎掉”，i＝1,2，则由已知可得P(A1)＝0.5，P(A2|A1)＝0.3，因此由乘法公式可得P(A2A1)＝P(A1)P(A2|A1)＝0.5×0.3＝0.15.即这样的手机从1 m高的地方掉落两次后屏幕仍未碎掉的概率为0.15.题型三、概率乘法公式题型四、条件概率的性质和应用例4　在某次考试中，要从20道题中随机抽出6道题，若考生至少能答对其中4道题即可通过，至少能答对其中5道题就获得优秀.已知某考生能答对其中10道题，并且知道他在这次考试中已经通过，求他获得优秀成绩的概率. 条件概率的性质及应用(1)利用公式P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)可使条件概率的计算较为简单，但应注意这个性质的使用前提是“B与C互斥”.(2)为了求复杂事件的概率，往往需要把该事件分为两个或多个互斥事件，求出简单事件的概率后，相加即可得到复杂事件的概率.题型四、条件概率的性质和应用方法总结变式4　有五瓶墨水，其中红色一瓶，蓝色、黑色各两瓶，某同学从中随机任取两瓶，若取得的两瓶中有一瓶是蓝色，则另一瓶是红色或黑色的概率为________.  题型四、条件概率的性质和应用题型五、两个事件的全概率问题例5　某次社会实践活动中，甲、乙两个班的同学共同在一个社区进行民意调查.参加活动的甲、乙两班的人数之比为5∶3，其中甲班中女生占 ，乙班中女生占 .求该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率.  题型五、两个事件的全概率问题方法总结变式5　某商店收进甲厂生产的产品30箱，乙厂生产的同种产品20箱，甲厂每箱装100个，废品率为0.06，乙厂每箱装120个，废品率为0.05，求：(1)任取一箱，从中任取一个为废品的概率；(2)若将所有产品开箱混放，求任取一个为废品的概率. 题型五、两个事件的全概率问题题型六、多个事件的全概率问题例6　假设某市场供应的智能手机中，市场占有率和优质率的信息如下表所示：在该市场中任意买一部智能手机，求买到的是优质品的概率.解　用A1，A2，A3分别表示买到的智能手机为甲品牌、乙品牌、其他品牌的事件，B表示买到的是优质品的事件，则Ω＝A1∪A2∪A3，且A1，A2，A3两两互斥，依据已知可得P(A1)＝50%，P(A2)＝30%，P(A3)＝20%，且P(B|A1)＝95%，P(B|A2)＝90%，P(B|A3)＝70%，因此，由全概率公式有P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)·P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＝50%×95%＋30%×90%＋20%×70%＝88.5%.“化整为零”求多事件的全概率问题(2)已知事件B的发生有各种可能的情形Ai(i＝1,2，…，n)，事件B发生的可能性，就是各种可能情形Ai发生的可能性与已知在Ai发生的条件下事件B发生的可能性的乘积之和.题型六、多个事件的全概率问题方法总结变式6.甲箱的产品中有5个正品和3个次品，乙箱的产品中有4个正品和3个次品.(1)从甲箱中任取2个产品，求这2个产品都是次品的概率；(2)若从甲箱中任取2个产品放入乙箱中，然后再从乙箱中任取一个产品，求取出的这个产品是正品的概率. 题型六、多个事件的全概率问题题型七、条件概率的应用例7　设某批产品中，甲、乙、丙三厂生产的产品分别占45%,35%,20%，各厂的产品的次品率分别为4%,2%,5%，现从中任取一件.(1)求取到的是次品的概率；(2)经检验发现取到的产品为次品，求该产品是甲厂生产的概率. 条件概率的内含(1)公式P(A1|B)＝ 反映了P(A1B)，P(A1)，P(B)，P(A1|B)，P(B|A1)之间的互化关系.(2)P(A1)称为先验概率，P(A1|B)称为后验概率，其反映了事情A1发生的可能在各种可能原因中的比重.题型七、条件概率的应用方法总结变式7　同一种产品由甲、乙、丙三个厂供应.由长期的经验知，三家的正品率分别为0.95,0.90,0.80，三家产品数所占比例为2∶3∶5，混合在一起.(1)从中任取一件，求此产品为正品的概率；(2)现取到一件产品为正品，问它是由甲、乙、丙三个厂中哪个厂生产的可能性大？解　(1)设事件A表示取到的产品为正品，B1，B2，B3分别表示产品由甲、乙、丙厂生产.则Ω＝B1∪B2∪B3，且B1，B2，B3两两互斥，由已知P(B1)＝0.2，P(B2)＝0.3，P(B3)＝0.5，P(A|B1)＝0.95，P(A|B2)＝0.9，P(A|B3)＝0.8.由全概率公式得(2)由贝叶斯公式得丙厂生产的可能性最大，甲厂生产可能性最小题型七、条件概率的应用题型八、求离散型随机变量的分布列例8 一个箱子里装有5个大小相同的球，有3个白球，2个红球，从中摸出2个球.(1)求摸出的2个球中有1个白球和1个红球的概率；(2)用X表示摸出的2个球中的白球个数，求X的分布列. 求离散型随机变量的分布列关键有三点(1)随机变量的取值.(2)每一个取值所对应的概率.(3)用所有概率之和是否为1来检验.题型八、求离散型随机变量的分布列方法总结变式8　袋中有1个白球和4个黑球，每次从中任取一个球，每次取出的黑球不再放回，直到取出白球为止，求取球次数X的分布列. 题型八、求离散型随机变量的分布列题型九、分布列的性质及应用  分布列的性质及其应用(1)利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数.(2)求随机变量在某个范围内的概率时，根据分布列，将所求范围内各随机变量对应的概率相加即可，其依据是互斥事件的概率加法公式.题型九、分布列的性质及应用方法总结变式3　若离散型随机变量X的分布列为试求出离散型随机变量X的分布列. 题型九、分布列的性质及应用题型十、利用定义求离散型随机变量的均值例10　袋中有4只红球，3只黑球，现从袋中随机取出4只球，设取到一只红球得2分，取到一只黑球得1分，试求得分X的均值. 求随机变量X的均值的方法和步骤(1)理解随机变量X的意义，写出X所有可能的取值.(2)求出X取每个值的概率P(X＝k).(3)写出X的分布列.(4)利用均值的定义求E(X).题型十、利用定义求离散型随机变量的均值方法总结   题型十、利用定义求离散型随机变量的均值题型十一、离散型随机变量均值的性质例11　已知随机变量X的分布列为 若Y＝－2X，则E(Y)＝____.  求线性关系的随机变量η＝aξ＋b的均值方法(1)定义法：先列出η的分布列，再求均值.(2)性质法：直接套用公式，E(η)＝E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b，求解即可.题型十一、离散型随机变量均值的性质方法总结变式2　已知随机变量ξ和η，其中η＝12ξ＋7，且E(η)＝34，若ξ的分布列如下表，则m的值为 .  题型十一、离散型随机变量均值的性质题型十二、均值的实际应用例12　随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件.已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元，设1件产品的利润(单位：万元)为X.(1)求X的分布列；(2)求1件产品的平均利润(即X的均值)； 解答概率模型的三个步骤(1)建模：即把实际问题概率模型化.(2)解模：确定分布列，计算随机变量的均值.(3)回归：利用所得数据，对实际问题作出判断.题型十二、均值的实际应用方法总结变式12　受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关，某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年，现从该厂已售出的两种品牌轿车中随机抽取50辆，统计数据如下：将频率视为概率，解答下列问题：(1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求其首次出现故障发生在保修期内的概率；(2)若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为X1，生产一辆乙品牌轿车的利润为X2，分别求X1，X2的分布列；(3)该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌轿车，若从经济效益的角度考虑，你认为应该生产哪种品牌的轿车？说明理由.题型十二、均值的实际应用 　(2)依题意得，X1的分布列为X2的分布列为 题型十二、均值的实际应用题型十三、求离散型随机变量的方差例13　袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n＝1,2,3,4).现从袋中任取一球.ξ表示所取球的标号.(1)求ξ的分布列、均值和方差；(2)若η＝aξ＋b，E(η)＝1，D(η)＝11，试求a，b的值.解　(1)ξ的分布列为 (2)由D(η)＝a2D(ξ)，得a2×2.75＝11，得a＝±2.又由E(η)＝aE(ξ)＋b，得1.5a＋b＝1，所以当a＝2时，由1＝2×1.5＋b，得b＝－2；当a＝－2时，由1＝－2×1.5＋b，得b＝4. (1)求离散型随机变量方差的步骤①理解随机变量X的意义，写出X的所有取值；②求出X取每个值的概率；③写出X的分布列；④计算E(X)；⑤计算D(X).(2)线性关系的方差计算：若η＝aξ＋b，则D(η)＝a2D(ξ).题型十三、求离散型随机变量的方差方法总结  题型十三、求离散型随机变量的方差题型十四、分布列、均值、方差的应用  处理综合问题的方法第一步：确定事件间的关系，是互斥、对立还是相互独立.第二步：要依据事件间的关系，选择相应的概率公式，计算相应事件的概率.第三步：列分布列，并计算均值及方差.题型十四、分布列、均值、方差的应用方法总结变式14　有三张形状、大小、质地完全相同的卡片，在各卡片上分别写上0,1,2，现从中任意抽取一张，将其上数字记作x，然后放回，再抽取一张，其上数字记作y，令X＝xy，求：(1)X所取各值的分布列；(2)随机变量X的均值与方差. 题型十四、分布列、均值、方差的应用 题型十五、二项分布的应用例15　一名学生每天骑自行车上学，从家到学校的途中有5个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是 .(1)求这名学生在途中遇到红灯的次数ξ的均值；(2)求这名学生在首次遇到红灯或到达目的地停车前经过的路口数η的分布列；(3)求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率. 概率综合问题的求解策略(1)定模型：准确地确定事件的性质，把问题归为古典概型、互斥事件、独立事件、n重伯努利试验中的某一种.(2)明事件：判断事件是A＋B还是AB.(3)套公式：选择相应公式求解即可.题型十五、二项分布的应用方法总结  题型十五、二项分布的应用题型十六、超几何分布的概率例16　某市A，B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐了3名男生、2名女生，B中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训.由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队.(1)求A中学至少有1名学生入选代表队的概率；(2)某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X表示参赛的男生人数，求X的分布列.  求超几何分布的分布列的步骤题型十六、超几何分布的概率方法总结  题型十六、超几何分布的概率题型十七、超几何分布和二项分布的关系例17　某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的质量(单位：克)，质量的分组区间为(490,495]，(495，500]，…，(510,515]，由此得到样本的频率分布直方图如图.(1)根据频率分布直方图，求质量超过505克的产品数量；(2)在上述抽取的40件产品中任取2件，设X为质量超过505克的产品数量，求X的分布列，并求其均值；(3)从该流水线上任取2件产品，设Y为质量超过505克的产品数量，求Y的分布列.  题型十七、超几何分布和二项分布的关系二项分布与超几何分布的关系在n次试验中，某事件A发生的次数X可能服从超几何分布或二项分布.题型十七、超几何分布和二项分布的关系方法总结题型十七、超几何分布和二项分布的关系变式17　(1)100件产品中有10件次品，从中有放回地任取5件，求其中次品数ξ的分布列；(2)某批数量较大的商品的次品率为10%，从中任意地连续抽取5件，求其中次品数η的分布列. ✅ 知识构建：概率与统计 条件概率→随机变量→统计模型→综合运用✅ 思想方法：用概率量化随机、用分布把握规律、用推断决策预测今天，我们都有哪些收获？快来说说吧.感谢聆听!