2024-2025学年苏科版数学七年级下册期末复习教案必考考点5——轴对称

这是一份2024-2025学年苏科版数学七年级下册期末复习教案必考考点5——轴对称，共20页。教案主要包含了知识点一，知识点二，知识点三，知识点四，问题解决，初步探究，深入探究等内容，欢迎下载使用。
【知识点一】轴对称图形
【例1】现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性．下列汉字是轴对称图形的是（ ）
山B．河C．无D．恙
【例2】下列图形中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【例3】中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量．下面有关我国航天领域的图标，其图标是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【例4】小明照镜子的时候，发现T恤上的英文单词 APPLE在镜子中呈现的样子（ ）
A．B．C．D．
【例5】如图，在的正方形的网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，图中的为格点三角形，在网格中与成轴对称的格点三角形最多能画出（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【例6】围棋起源于中国，古代称为“弈”．如图是两位同学的部分对弈图，轮到白方落子，观察棋盘，白方如果落子于点 的位置，则所得的对弈图是轴对称图形．（填写A，B，C，D中的一处即可，A，B，C，D位于棋盘的格点上）
【知识点二】轴对称图形的性质
【例1】已知与分别在直线的两侧且关于直线对称，点与点、点与点，点与点都是关于直线的对称点，下列线段被直线垂直平分的是（ ）
A．B．C．D．
【例2】如图，所在直线是的对称轴，点，是上的两点，若，，则图中阴影部分的面积是（ ）
B．C．D．
【例3】如图，△PAB与△PDC都是等腰三角形，且它们关于直线l对称，点E，F分别是底边AB，CD的中点，PE⊥PF．下列推断：①PE=PF；②PA⊥PC；③∠BPC=∠APB；④∠BPC+∠APD=180°，其中正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【例4】小明先将长方形纸条ABGH沿折痕CD折叠（如图），再继续将图中的四边形HDCG沿某条直线折叠，使得边EH落在直线CB'上，折痕记为MN．写出前后两条折痕所在的直线CD与MN的位置关系是 ．
【例5】如图，在中，，点为边上一点，将沿直线折叠后，点落在点处，若，则的度数为 ．
【例6】如图，正六边形ABCDEF关于直线l成轴对称的图形是正六边形A'B'C'D'E'F'，有下列说法：①AB=A'B'；②BC∥B'C'；③直线l⊥BB'；④∠A'B'C'=120°．其中正确的是 （请写出所有正确说法的序号）．

【知识点三】轴对称图形的作图
【例1】某社区准备在街道（直线l）旁修建一个奶站，向居民区A，B提供牛奶．如图，已知点A关于直线l的对称点为，与直线l相交于点，与直线l相交于点，于点，是的中点，为了能使居民区A，B到奶站的距离之和最短，则奶站应建在的地方为（ ）
A．点处B．点处C．点处D．点处
【例2】如图，△ABC的三个顶点分别位于正方形网格线的交点上，我们把△ABC称为格点三角形，请你分别在图①，图②，图③的正方形网格中作一个格点三角形与△ABC成轴对称（所作图形不能重复），并画出对称轴．
【例3】1）如图，在由小正三角形组成的网格中，已有6个小正三角形涂黑，还需涂黑2个小正三角形，使它们与原来涂黑的小正三角形组成的新图案恰为轴对称图形．请在下图中画出两种不同的填涂方案设计，并用虚线标出对称轴；
【例4】如图，在△ABC中，AB=5cm，AC=3cm．
(1)利用直尺和圆规作直线l，使点B、C关于直线l对称；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）的条件下，设直线l交AB于点D，连接CD，则△ACD的周长是 cm．
【例5】（1）如图①，、两点在直线的两侧，请你在直线上找到点，使得的长度最小，简述画法，并说明理由；
（2）如图②，、两地在一条河的两岸，现在要在河上造一座桥，桥造在何处可使从到的路径最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直．）
将这个实际问题抽象出来，即：如图③，直线，点、分别位于直线、的两侧，请你在直线上找到点，使得垂直于直线，垂足为，且的长度最小．在图③中画出点、，并简要说明点、的位置是如何找到的（不要求证明）．
（3）如图④，在（II）的条件中，如果将“一条河”的条件变化为“两条河”，那么两座桥分别建在何处才能使得从地到达地的路程最短呢？在图④中画出两座桥的位置，并简要说明这四个点的位置是如何找到的（不要求证明）．
【例6】如图是由小正方形组成的8×8网格，每个小正方形的顶点叫做格点，△ABC的顶点在格点上，点O、A1也在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，按步骤完成下列问题：
(1)平移△ABC，使点A移动到点A1位置，画出平移后的△A1B1C1；
(2)画出△ABC关于点O对称的△A2B2C2；
(3)若有一格点P，使得∠OA1P=∠BAC，则网格中满足条件的点P共有 个．
【知识点四】轴对称性质的综合运用
【例1】如图a是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图b，再沿折叠成图c，则图c中的的度数是（ ）
A．B．C．D．
【例2】如图，是外一点，分别是两边上的点，点关于的对称点恰好落在线段上，点关于的对称点恰好落在的延长线上．若，则线段的长为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【例3】已知长方形纸片，点和点分别在边和上，且，点和点分别是边和上的动点，现将点，，，分别沿，折叠至点，，，，若，则的度数为 ．

【例4】如图，和关于直线对称，与的交点在直线上．
（1）图中点的对应点是点______，的对应边是______；
（2）若，，求的度数．
【例5】如图，直线，交于点，点关于，的对称点分别为，．
（1）若，相交所成的锐角，则________；
（2）若，，求的周长．
【例6】折纸是一门古老而有趣的艺术，小明在课余时间进行了关于折纸中角的问题的探索．如图1，已知M，N分别是长方形纸条边、上两点，沿M，N所在直线进行第一次折叠，点A，D的对应点分别为点E，F，交于点P．
(1)【问题解决】若，求的度数．
(2)如图2，继续沿进行第二次折叠，点B，C的对应点分别为点G，H．
①【初步探究】若，求和的度数．
②【深入探究】若，请直接写出的度数（用含m的代数式表示）．
答案解析
【知识点一】轴对称图形
【例1】现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性．下列汉字是轴对称图形的是（ ）
山B．河C．无D．恙
【答案】A
【例2】下列图形中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【例3】中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量．下面有关我国航天领域的图标，其图标是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【例4】小明照镜子的时候，发现T恤上的英文单词 APPLE在镜子中呈现的样子（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【例5】如图，在的正方形的网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，图中的为格点三角形，在网格中与成轴对称的格点三角形最多能画出（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】B
【例6】围棋起源于中国，古代称为“弈”．如图是两位同学的部分对弈图，轮到白方落子，观察棋盘，白方如果落子于点 的位置，则所得的对弈图是轴对称图形．（填写A，B，C，D中的一处即可，A，B，C，D位于棋盘的格点上）
【答案】A或C
【知识点二】轴对称图形的性质
【例1】已知与分别在直线的两侧且关于直线对称，点与点、点与点，点与点都是关于直线的对称点，下列线段被直线垂直平分的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【例2】如图，所在直线是的对称轴，点，是上的两点，若，，则图中阴影部分的面积是（ ）
B．C．D．
【答案】B
【例3】如图，△PAB与△PDC都是等腰三角形，且它们关于直线l对称，点E，F分别是底边AB，CD的中点，PE⊥PF．下列推断：①PE=PF；②PA⊥PC；③∠BPC=∠APB；④∠BPC+∠APD=180°，其中正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【例4】小明先将长方形纸条ABGH沿折痕CD折叠（如图），再继续将图中的四边形HDCG沿某条直线折叠，使得边EH落在直线CB'上，折痕记为MN．写出前后两条折痕所在的直线CD与MN的位置关系是 ．
【答案】平行或垂直
【例5】如图，在中，，点为边上一点，将沿直线折叠后，点落在点处，若，则的度数为 ．
【答案】
【例6】如图，正六边形ABCDEF关于直线l成轴对称的图形是正六边形A'B'C'D'E'F'，有下列说法：①AB=A'B'；②BC∥B'C'；③直线l⊥BB'；④∠A'B'C'=120°．其中正确的是 （请写出所有正确说法的序号）．

【答案】①③④
【知识点三】轴对称图形的作图
【例1】某社区准备在街道（直线l）旁修建一个奶站，向居民区A，B提供牛奶．如图，已知点A关于直线l的对称点为，与直线l相交于点，与直线l相交于点，于点，是的中点，为了能使居民区A，B到奶站的距离之和最短，则奶站应建在的地方为（ ）
A．点处B．点处C．点处D．点处
【答案】B
【例2】如图，△ABC的三个顶点分别位于正方形网格线的交点上，我们把△ABC称为格点三角形，请你分别在图①，图②，图③的正方形网格中作一个格点三角形与△ABC成轴对称（所作图形不能重复），并画出对称轴．
【答案】如图，△A1B1C1即为所求作的三角形．
【例3】1）如图，在由小正三角形组成的网格中，已有6个小正三角形涂黑，还需涂黑2个小正三角形，使它们与原来涂黑的小正三角形组成的新图案恰为轴对称图形．请在下图中画出两种不同的填涂方案设计，并用虚线标出对称轴；
【答案】如图所示：
【例4】如图，在△ABC中，AB=5cm，AC=3cm．
(1)利用直尺和圆规作直线l，使点B、C关于直线l对称；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）的条件下，设直线l交AB于点D，连接CD，则△ACD的周长是 cm．
【答案】（1）解：如图所示，直线MN即为直线l；
（2）解：∵点B、C关于直线l对称，
∴CD=BD，
∴△ACD的周长=AC+AD+CD=AC+AD+BD=AC+AB=8cm；
【例5】（1）如图①，、两点在直线的两侧，请你在直线上找到点，使得的长度最小，简述画法，并说明理由；
（2）如图②，、两地在一条河的两岸，现在要在河上造一座桥，桥造在何处可使从到的路径最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直．）
将这个实际问题抽象出来，即：如图③，直线，点、分别位于直线、的两侧，请你在直线上找到点，使得垂直于直线，垂足为，且的长度最小．在图③中画出点、，并简要说明点、的位置是如何找到的（不要求证明）．
（3）如图④，在（II）的条件中，如果将“一条河”的条件变化为“两条河”，那么两座桥分别建在何处才能使得从地到达地的路程最短呢？在图④中画出两座桥的位置，并简要说明这四个点的位置是如何找到的（不要求证明）．
【答案】（1）（I）如图，连接，与交于点，点即为所求；
理由：两点之间，线段最短．
（II）在直线上任取一点，过点作于点，画，且，连接交直线于点，作于点，点即为所求．
（Ⅲ）在直线上任取一点，过点作于点，作，且，在直线上任取一点，过点作于点，作，且，连接交直线于点，交直线于点，作于点，作于点，点、、、即为所求．
【例6】如图是由小正方形组成的8×8网格，每个小正方形的顶点叫做格点，△ABC的顶点在格点上，点O、A1也在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，按步骤完成下列问题：
(1)平移△ABC，使点A移动到点A1位置，画出平移后的△A1B1C1；
(2)画出△ABC关于点O对称的△A2B2C2；
(3)若有一格点P，使得∠OA1P=∠BAC，则网格中满足条件的点P共有 个．
【答案】（1）解：如图所示，△A1B1C1即为所求；
（2）解：如图所示，△A2B2C2即为所求；
（3）解：根据网格可得△ABC是等腰直角三角形，
∴∠BAC=45°
作等腰直角△OA1P，如图所示，网格中满足条件的点P共有2个
故答案为：2．
【知识点四】轴对称性质的综合运用
【例1】如图a是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图b，再沿折叠成图c，则图c中的的度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【例2】如图，是外一点，分别是两边上的点，点关于的对称点恰好落在线段上，点关于的对称点恰好落在的延长线上．若，则线段的长为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】C
【例3】已知长方形纸片，点和点分别在边和上，且，点和点分别是边和上的动点，现将点，，，分别沿，折叠至点，，，，若，则的度数为 ．

【答案】或
【例4】如图，和关于直线对称，与的交点在直线上．
（1）图中点的对应点是点______，的对应边是______；
（2）若，，求的度数．
【答案】（1）解：由题意可得：图中点的对应点是点，的对应边是，
故答案为：，．
（2）解：，
，
，
．
【例5】如图，直线，交于点，点关于，的对称点分别为，．
（1）若，相交所成的锐角，则________；
（2）若，，求的周长．
【答案】（1）∵点关于，的对称点分别为，，
∴，，
∴；
∵点关于，的对称点分别为，，
∴，
∵，
∴的周长为．
【例6】折纸是一门古老而有趣的艺术，小明在课余时间进行了关于折纸中角的问题的探索．如图1，已知M，N分别是长方形纸条边、上两点，沿M，N所在直线进行第一次折叠，点A，D的对应点分别为点E，F，交于点P．
(1)【问题解决】若，求的度数．
(2)如图2，继续沿进行第二次折叠，点B，C的对应点分别为点G，H．
①【初步探究】若，求和的度数．
②【深入探究】若，请直接写出的度数（用含m的代数式表示）．
【答案】（1）解：∵折叠，
∴，
∴，
∵四边形是长方形，
∴，
∴；
（2）解：①∵四边形是长方形，
∴，
∴，，
∴，
∵折叠，
∴，，
∵，
∴；
②根据上述过程可得，，
，
∵，
∴，
解得，，
∴．