专题14 简单的轴对称图形（知识点串讲）-2021-2022学年七年级数学下册期末考点大串讲（北师大版）

专题14 简单的轴对称图形

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重难突破

知识点一  等腰三角形性质

1、等腰三角形

有两条边相等的三角形称为等腰三角形．相等的两条边叫做腰，另外一边叫做底，腰和底的夹角叫做底角，两腰的夹角叫做顶角．

特别地，三边相等的三角形叫做等边三角形．

2、等腰三角形性质

（1）等腰三角形的两个底角相等，可简写成“等边对等角”．

（2）等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合（也称“三线合一”）．

注意：

等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高线所在直线都是等腰三角形的对称轴．

3、等腰三角形的判定

判定定理：如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）.

4、等边三角形

定义：三边都相等的三角形叫作等边三角形或正三角形，它是特殊的等腰三角形；

性质：等边三角形除了具有等腰三角形的一切性质外，还具有更特殊的性质：（1）有三条对称轴；（2）每个内角都等于60°，三条边都相等．

判定：（1）三个角相等的三角形是等边三角形；

（2）有两个角等于60°的三角形是等边三角形；

（3）有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形．

典例1

（2020秋•罗湖区校级期末）用一条长为的细绳围成一个边长为的等腰三角形，则这个等腰三角形的腰长为　　

A． B． C．或 D．

典例2

（2020春•龙岗区期末）如果等腰三角形的一个内角为，那么其它两个内角为　　

A．， B．， 

C．， D．，或，

典例3

（2020春•青岛期末）如图，在中，，，点，是上的任意两点．若，，则图中阴影部分的面积为　　

A．12 B．20 C．24 D．48

知识点二  线段垂直平分线

1、线段的轴对称性：线段是轴对称图形，垂直并且平分线段的直线是它的一条对称轴．

2、定义：垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线．

注：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．

3、性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．

注：

对于含有垂直平分线的题目，首先考虑将垂直平分线上的点与线段两端点连接起来．

4、作图

已知：线段．

求作：的垂直平分线．

作法：

（1）分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和．

（2）作直线．

直线就是线段的垂直平分线．

典例1

（2020•益阳）如图，在中，的垂直平分线交于点，平分，若，则的度数为　　

A． B． C． D．

典例2

如图，已知，，的垂直平分线交于，于．以下结论：

①是等腰三角形；②射线是的角平分线；③的周长；④．

正确的有　　

A．①② B．①③ C．②③ D．③④

典例3

（2020春•龙岗区期末）如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点．

（1）若，求的度数；

（2）若，的周长为20，求的长．

知识点三  角平分线

1、角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴．

2、性质：角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等．

如图，已知平分，，，则．

3、利用尺规，作的平分线．

求作：射线，使．

作法：

（1）在和上分别截取，，使．

（2）分别以，为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点．

（3）作射线．

就是的平分线．

典例1

（2020秋•渑池县期末）如图，平分，于点，，点是射线上的任意一点，则的长度不可能是　　

A．3 B．4 C．5 D．6

典例2

（2020秋•罗湖区校级期末）如图，在中，，的平分线交于点，是中点，且，那么的度数为　　

A． B． C． D．

典例3

（2021春•光明区期中）如图，在等腰三角形中，，是的角平分线，交于点．

（1）证明：；

（2）求线段的长．

知识点四  等腰三角形综合

等腰三角形的性质与其他知识的综合

（1）等腰三角形与线段垂直平分线相结合

线段垂直平分线的性质常用来说明线段相等，比较常见的就是与等腰三角形的性质结合考虑，一般要结合具体图形及条件，理解该性质满足的条件，得出相应的结论．

（2）等腰三角形与角平分线相结合

利用角平分线可以得到两个角相等，若这两个角可转化到一个等腰三角形中，则可运用等腰三角形的“三线合一”得到其他的结论．

典例1

（2020春•铁西区期末）如图，在中，，点，在边上，，若，，则的长为　　

A．3.5 B．4.5 C．5 D．5.5

典例2

（2018•大渡口区二模）如图，中，是的中点，，，交于，，，则　　．

典例3

（2020春•福田区校级期末）（1）如图1，在中，，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为，．求证：；

（2）如图2，将（1）中的条件改为：在中，，，，三点都在直线上，并且有，其中为任意锐角或钝角，请问结论是否成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由；

（3）如图3，在（2）的条件下，若，且为等边三角形，试判断的形状，并说明理由．

巩固训练

一、单选题（共6小题）

1．（2021春•郫都区校级期中）已知等腰三角形的两边长分别为2和5，则该等腰三角形的周长为　　

A．7 B．9 C．9或12 D．12

2．（2020春•龙岗区校级期末）如图，在以为底边的等腰中，，，则的面积是　　

A．12 B．16 C．20 D．24

3．（2019春•市中区期末）等腰三角形中，有一个角是，它的一条腰上的高与底边的夹角是　　

A． B． C．或 D．或

4．（2020秋•福田区校级期末）如图，中，，边的垂直平分线分别交、于、，且，则的周长为　　

A．16 B．18 C．22 D．26

5．（2019春•平阴县期末）如图，在中，，，以为圆心，任意长为半径画弧分别交、于点和，再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连结并延长交于点，则下列说法中：①是的平分线；②；③点在的中垂线上；④边上的高等于．其中正确的个数是　　

A．1 B．2 C．3 D．4

6．（2020春•福田区校级期末）如图，中，，，是边的中线，作，垂足为点，交于点，且平分交于，交于，连接，则下列结论：

①；②；③；④；⑤中，正确的有　　．

A．5个 B．4个 C．3个 D．2个

二、填空题（共5小题）

7．（2021春•福田区校级月考）已知一个等腰三角形，其中一条腰上的高与另一条腰的夹角为，则该等腰三角形的顶角为　　    ．

8．（2021•南山区校级模拟）如图，，，，则　   　．

9．（2020秋•肇源县期末）如图，点是平分线上一点，，垂足为，若，则点到边的距离是　   　．

10．（2021春•南山区校级期中）如图，是的角平分线，，垂足为，，和的面积分别为50和38，则的面积为　   　．

11．如图，与是两个全等的等边三角形，．有下列四个结论：

（1）； （2）； （3）直线垂直平分线段； （4）四边形是轴对称图形．

其中正确的结论有　      　．

三、解答题（共2小题）

12．（2019秋•溧水区期末）如图所示，在中，的平分线交于点，垂直平分，垂足为点．

（1）证明；

（2），求的度数．

13．（2020春•龙岗区期末）如图，点为线段上的任意一点（不于、重合），分别以，为一腰在的同侧作等腰和，，，与都是锐角，且，与交于点，交于点，交于点．

（1）试说明：；

（2）若，求的度数．