2024-2025学年苏科版数学七年级下册期末复习教案必考考点3—— 整式乘法的运用

这是一份2024-2025学年苏科版数学七年级下册期末复习教案必考考点3—— 整式乘法的运用，共23页。教案主要包含了知识点一，知识点二，知识点三，知识点四等内容，欢迎下载使用。
【知识点一】根据图形验证整式
【例1】观察图形，与相等的是（ ）
B．C．D．
【例2】我们可以用一些硬纸片拼成的图形面积来解释一些代数恒等式．观察图形，通过面积的计算，可以验证的恒等式是（ ）
A．B．
C．D．
【例3】四张全等的梯形硬纸板可拼成平行四边形（如图1），也可拼成正方形（如图2），根据两个图形中阴影部分面积的关系，可以得到一个关于的等式为（ ）
A．B．
C．D．
【例4】通过计算比较图1，图2中阴影部分的面积，可以验证的计算式子是
A．B．
C．D．
【例5】图1是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线剪开分成四块小长方形，然后按图2 的形状拼成一个正方形．
（1）图2的阴影部分的正方形的边长是 ．
（2）用两种不同的方法求图中阴影部分的面积．
【方法1】S阴影＝ ；
【方法2】S阴影＝ ；
（3）观察图2，写出（a+b）2，（a﹣b）2，ab 这三个代数式之间的等量关系．
（4）根据（3）题中的等量关系，解决问题：若m+n＝10，m﹣n＝6，求mn的值．
【例6】当我们利用两种不同的方法计算同一图形的面积时，可以得到一个等式，由图1，可得等式：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．
（1）由图2可得等式： ．
（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：
已知 a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38，求a2+b2+c2的值；
（3）利用图3中的纸片（足够多），画出一种拼图，使该拼图可用来验证等式：2a2+5ab+2b2＝（2a+b）（a+2b）．
【知识点二】求代数式的值
【例1】小吉是一个爱好数学的好学生，一天他将三个正方形如图所示相连，然后将数字0~8填入图中的9个顶点处，使得每个正方形顶点上的四个数字的和都等于16，每个正方形顶点上的四个数字的平方和分别记为A、B、C，且．如果将交点处的三个填入的数字分别记作为x、y、x+y，则xy的值为（ ）
A．0B．6C．7D．8
【例2】刘徽是我国魏晋时期伟大的数学家，他在《九章算术注》中指出：“勾、股幂合为弦幂，明矣．”也就是说，图1中直角三角形的三边a、b、c存在的关系．他在书中构造了一些基本图形来解决问题．如图2，分别将以a为边长的正方形和b为边长的正方形置于以c为边长的大正方形的左下角和右上角，若，则___________．

【例3】如图，将两张边长分别为和的正方形纸片按图1，图2两种方式放置长方形内（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，若长方形中边、的长度分别为、．设图1中阴影部分面积为，图2中阴影部分面积为．当时， ．
【例4】 如图，某小区有一块长为（2a+3b）米，宽为（3a+2b）米的长方形地块，物业公司计划在小区内修一条平行四边形小路，小路的底边宽为a米，将阴影部分进行绿化．
（1）用含有a、b的式子表示绿化的总面积S；
（2）若a＝2，b＝4，求出此时绿化的总面积S．
【例5】图1是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀剪下全等的四块小长方形，然后按图2拼成一个正方形．
（1）直接写出图2中的阴影部分面积；
（2）观察图2，请直接写出三个代数式（m+n）2，（m﹣n）2，mn之间的等量关系；
（3）根据（2）中的等量关系：若p+2q＝7，pq＝6，则p﹣2q的值为 ；
【例6】知识生成：我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如图1可以得到，基于此，请解答下列问题：
（1）直接应用：若，直接写出的值______；
（2）类比应用：填空：①若，则______；
②若，则_______；
（3）知识迁移，两块完全相同的特制直角三角板（）如图2所示放置，其中A，O，D在一直线上，连接AC，BD，若，求一块三角板的面积．
【知识点三】求卡片的组合
【例1】如图，正方形卡片类，类和长方形卡片类若干张，要拼一个长为，宽为的大长方形（为常数），若知道需用到的类卡片比类卡片少1张，则共需类卡片 张．
A．5B．6C．7D．8
【例2】如图，现有，类两类正方形卡片和类长方形卡片各若干张，如果要拼成一个长为，宽为的大长方形，那么需要类卡片张数为________．

【例3】如图，现有正方形卡片A类，B类和长方形卡片C类若干张，若要拼一个长为，宽为的大长方形，则需C类卡片 张．

【例4】如图，正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各若干张（a≠b），如果要选用上述3类卡片共12张拼成一个大长方形（拼接时不可重叠，不可有缝隙）、且卡片全部用上，则不同的选取方案有 种．
【例5】要拼成如图2所示的边长为的正方形图形，需要用图1所示的纸片1张，纸片1张，纸片2张．
(1)若要拼成长、宽分别为、的长方形，需要纸片______张，纸片______张，纸片______张；
(2)请用画图形和计算的方法分别验证（1）中的结论．
【例6】某铁件加工厂用如图1的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等）加工成如图2的竖式与横式两种无盖的长方体铁容器．（加工时接缝材料不计）
观察发现：
(1)如果加工m个竖式铁容器与n个横式铁容器，则共需要长方形铁片 张，正方形铁片 张；
(2)现有长方形铁片155张，正方形铁片70张，如果加工成这两种铁容器，刚好铁片全部用完，那加工的竖式铁容器、横式铁容器各有多少个？
(3)把长方体铁容器加盖可以加工成为铁盒.现用35张铁板做成长方形铁片和正方形铁片，再加工成铁盒，每张铁板的裁法有①裁3个长方形铁片；②裁4个正方形铁片；③裁1个长方形铁片和2个正方形铁片．若充分利用这些铁板加工成铁盒，最多可以加工成多少个铁盒？
【知识点四】求面积
【例1】如图，点C是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，面积分别是和，两正方形的面积和，已知，则图中阴影部分面积为（ ）

B．8C．6D．12
【例2】如图所示，两个正方形的边长分别为a和b，如果a+b＝10，ab＝20，那么阴影部分的面积是（ ）
A．10B．20C．30D．40
【例3】用包装纸包如图所示的一本书（单位：），如果在书的封面和封底的每一边都包进去，那么所需长方形包装纸的面积至少为（ ）．
A． B．
C． D．
【例4】光伏电池板可以将光能转化为电能，在相同光照条件下，电池板面积越大，输出的电能越大．现将一块长90cm，宽60cm的长方形光伏电池板的长和宽分别增加a cm、b cm．
(1)光伏电池板的面积增加了多少cm2？（用含a，b的代数式表示）
(2)当时，光伏电池板的面积增加了________cm2．
【例5】如图，某体育训练基地，有一块长米，宽米的长方形空地，现准备在这块长方形空地上建一个长a米，宽米的长方形游泳池，剩余四周全部修建成休息区．（结果需要化简）
（1）求长方形游泳池面积；
（2）求休息区面积；
（3）比较休息区与游泳池面积的大小关系．
【例6】有两类正方形A，B，其边长分别为a，b．现将B放在A的内部得图1，将A，B并列放置后构造新的正方形得图2．若图1和图2中阴影部分的面积分别为1和12，求：
（1）正方形A，B的面积之和为 ．
（2）小明想要拼一个两边长分别为（2a+b）和（a+3b）的长方形（不重不漏），除用去若干个正方形A，B外，还需要以a，b为边的长方形 个．
（3）三个正方形A和两个正方形B如图3摆放，求阴影部分的面积．
答案解析
【知识点一】根据图形验证整式
【例1】观察图形，与相等的是（ ）
B．C．D．
【答案】C
【例2】我们可以用一些硬纸片拼成的图形面积来解释一些代数恒等式．观察图形，通过面积的计算，可以验证的恒等式是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【例3】四张全等的梯形硬纸板可拼成平行四边形（如图1），也可拼成正方形（如图2），根据两个图形中阴影部分面积的关系，可以得到一个关于的等式为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【例4】通过计算比较图1，图2中阴影部分的面积，可以验证的计算式子是
A．B．
C．D．
【答案】D
【例5】图1是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线剪开分成四块小长方形，然后按图2 的形状拼成一个正方形．
（1）图2的阴影部分的正方形的边长是 ．
（2）用两种不同的方法求图中阴影部分的面积．
【方法1】S阴影＝ ；
【方法2】S阴影＝ ；
（3）观察图2，写出（a+b）2，（a﹣b）2，ab 这三个代数式之间的等量关系．
（4）根据（3）题中的等量关系，解决问题：若m+n＝10，m﹣n＝6，求mn的值．
【答案】（1）图2的阴影部分的正方形的边长是a﹣b．
（2）用两种不同的方法求图中阴影部分的面积．
【方法1】S阴影＝（a﹣b）2；
【方法2】S阴影＝（a+b）2﹣4ab；
（3）（a+b）2，（a﹣b）2，ab 这三个代数式之间的等量关系为：（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab；
（4）根据（3）的结论得（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn，
因为m+n＝10，m﹣n＝6，
所以36＝100﹣4mn，
所以mn＝16．
故答案为a﹣b；（a﹣b）2；（a+b）2﹣4ab．
【例6】当我们利用两种不同的方法计算同一图形的面积时，可以得到一个等式，由图1，可得等式：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．
（1）由图2可得等式： ．
（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：
已知 a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38，求a2+b2+c2的值；
（3）利用图3中的纸片（足够多），画出一种拼图，使该拼图可用来验证等式：2a2+5ab+2b2＝（2a+b）（a+2b）．
【答案】（1）（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；
（2）∵a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38，
∴a2+b2+c2＝（a+b+c）2﹣2（ab+ac+bc）＝121﹣76＝45；
（3）如图所示：
故答案为2a2+5ab+2b2＝（2a+b）（a+2b）．
【知识点二】求代数式的值
【例1】小吉是一个爱好数学的好学生，一天他将三个正方形如图所示相连，然后将数字0~8填入图中的9个顶点处，使得每个正方形顶点上的四个数字的和都等于16，每个正方形顶点上的四个数字的平方和分别记为A、B、C，且．如果将交点处的三个填入的数字分别记作为x、y、x+y，则xy的值为（ ）
A．0B．6C．7D．8
【答案】D
【例2】刘徽是我国魏晋时期伟大的数学家，他在《九章算术注》中指出：“勾、股幂合为弦幂，明矣．”也就是说，图1中直角三角形的三边a、b、c存在的关系．他在书中构造了一些基本图形来解决问题．如图2，分别将以a为边长的正方形和b为边长的正方形置于以c为边长的大正方形的左下角和右上角，若，则___________．

【答案】6
【例3】如图，将两张边长分别为和的正方形纸片按图1，图2两种方式放置长方形内（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，若长方形中边、的长度分别为、．设图1中阴影部分面积为，图2中阴影部分面积为．当时， ．
【答案】
【例4】 如图，某小区有一块长为（2a+3b）米，宽为（3a+2b）米的长方形地块，物业公司计划在小区内修一条平行四边形小路，小路的底边宽为a米，将阴影部分进行绿化．
（1）用含有a、b的式子表示绿化的总面积S；
（2）若a＝2，b＝4，求出此时绿化的总面积S．
【答案】（1）由题意得：
S＝（3a+2b）（2a+3b）﹣a（3a+2b）
＝6a2+9ab+4ab+6b2﹣3a2﹣2ab
＝（3a2+11ab+6b2）平方米；
（2）当a＝2，b＝4，
S＝3×22+11×2×4+6×42＝196（平方米）．
【例5】图1是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀剪下全等的四块小长方形，然后按图2拼成一个正方形．
（1）直接写出图2中的阴影部分面积；
（2）观察图2，请直接写出三个代数式（m+n）2，（m﹣n）2，mn之间的等量关系；
（3）根据（2）中的等量关系：若p+2q＝7，pq＝6，则p﹣2q的值为 ；
【答案】解：（1）图2中阴影部分是边长为（m﹣n）的正方形，因此面积为（m﹣n）2，
（2）图2中阴影部分面积也可以看作从边长为（m+n）的正方形面积减去4个长为m，宽为n的长方形面积，即（m+n）2﹣4mn，
因此有（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn；
（3）由（2）可知，
（p﹣2q）2＝（p+2q）2﹣4p×2q
＝49﹣48
＝1，
∴p﹣2q＝±1，
故答案为：±1；
【例6】知识生成：我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如图1可以得到，基于此，请解答下列问题：
（1）直接应用：若，直接写出的值______；
（2）类比应用：填空：①若，则______；
②若，则_______；
（3）知识迁移，两块完全相同的特制直角三角板（）如图2所示放置，其中A，O，D在一直线上，连接AC，BD，若，求一块三角板的面积．
【答案】（1）11 （2）1，20
（3）一块直角三角板的面积为34．
【知识点三】求卡片的组合
【例1】如图，正方形卡片类，类和长方形卡片类若干张，要拼一个长为，宽为的大长方形（为常数），若知道需用到的类卡片比类卡片少1张，则共需类卡片 张．
A．5B．6C．7D．8
【答案】C
【例2】如图，现有，类两类正方形卡片和类长方形卡片各若干张，如果要拼成一个长为，宽为的大长方形，那么需要类卡片张数为________．

【答案】
【例3】如图，现有正方形卡片A类，B类和长方形卡片C类若干张，若要拼一个长为，宽为的大长方形，则需C类卡片 张．

【答案】7
【例4】如图，正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各若干张（a≠b），如果要选用上述3类卡片共12张拼成一个大长方形（拼接时不可重叠，不可有缝隙）、且卡片全部用上，则不同的选取方案有 种．
【答案】11
【例5】要拼成如图2所示的边长为的正方形图形，需要用图1所示的纸片1张，纸片1张，纸片2张．
(1)若要拼成长、宽分别为、的长方形，需要纸片______张，纸片______张，纸片______张；
(2)请用画图形和计算的方法分别验证（1）中的结论．
【答案】（1）解：1；2；3
图形法：如图，由图形可知需要纸片1张，纸片2张，纸片3张．
计算法：．
【例6】某铁件加工厂用如图1的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等）加工成如图2的竖式与横式两种无盖的长方体铁容器．（加工时接缝材料不计）
观察发现：
(1)如果加工m个竖式铁容器与n个横式铁容器，则共需要长方形铁片 张，正方形铁片 张；
(2)现有长方形铁片155张，正方形铁片70张，如果加工成这两种铁容器，刚好铁片全部用完，那加工的竖式铁容器、横式铁容器各有多少个？
(3)把长方体铁容器加盖可以加工成为铁盒.现用35张铁板做成长方形铁片和正方形铁片，再加工成铁盒，每张铁板的裁法有①裁3个长方形铁片；②裁4个正方形铁片；③裁1个长方形铁片和2个正方形铁片．若充分利用这些铁板加工成铁盒，最多可以加工成多少个铁盒？
【答案】（1）解：由题意得
如果加工m个竖式铁容器与n个横式铁容器，则共需要长方形铁片张，
正方形铁片张；
故答案为：，；
（2）解：设加工的竖式铁容器有m个，横式铁容器有n个，由题意得
，
解得
故加工的竖式铁容器有20个，横式铁容器各有25个；
（3）解：设做长方形铁片的铁板x张，做正方形铁片的铁板y张，由题意得
解得
∴在这35张铁板中，25张做长方形铁片可做（片），
9张做正方形铁片可做（片），
剩1张可裁出1个长方形铁片和2个正方形铁片，
共可做长方形铁片（片），正方形铁片（片）
∴可做铁盒（个）
答：最多可加工铁盒19个．
【知识点四】求面积
【例1】如图，点C是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，面积分别是和，两正方形的面积和，已知，则图中阴影部分面积为（ ）

B．8C．6D．12
【答案】C
【例2】如图所示，两个正方形的边长分别为a和b，如果a+b＝10，ab＝20，那么阴影部分的面积是（ ）
A．10B．20C．30D．40
【答案】C
【例3】用包装纸包如图所示的一本书（单位：），如果在书的封面和封底的每一边都包进去，那么所需长方形包装纸的面积至少为（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】A
【例4】光伏电池板可以将光能转化为电能，在相同光照条件下，电池板面积越大，输出的电能越大．现将一块长90cm，宽60cm的长方形光伏电池板的长和宽分别增加a cm、b cm．
(1)光伏电池板的面积增加了多少cm2？（用含a，b的代数式表示）
(2)当时，光伏电池板的面积增加了________cm2．
【答案】（1）由题意得，，
，
；
（2）当时，
，
故答案为：1100．
【例5】如图，某体育训练基地，有一块长米，宽米的长方形空地，现准备在这块长方形空地上建一个长a米，宽米的长方形游泳池，剩余四周全部修建成休息区．（结果需要化简）
（1）求长方形游泳池面积；
（2）求休息区面积；
（3）比较休息区与游泳池面积的大小关系．
【答案】（1）平方米
（2）平方米
（3）休息区的面积大于游泳池面积
【例6】有两类正方形A，B，其边长分别为a，b．现将B放在A的内部得图1，将A，B并列放置后构造新的正方形得图2．若图1和图2中阴影部分的面积分别为1和12，求：
（1）正方形A，B的面积之和为 ．
（2）小明想要拼一个两边长分别为（2a+b）和（a+3b）的长方形（不重不漏），除用去若干个正方形A，B外，还需要以a，b为边的长方形 个．
（3）三个正方形A和两个正方形B如图3摆放，求阴影部分的面积．
【答案】（1）设正方形A，B的边长分别为a，b（a＞b），
由图1得（a﹣b）2＝1，由图2得（a+b）2﹣a2﹣b2＝12，
得ab＝6，a2+b2＝13，
故答案为：13；
（2）（2a+b）（a+3b）
＝2a2+6ab+ab+3b2
＝2a2+7ab+3b2，
∴需要以a，b为边的长方形7个，
故答案为：7；
（3）∵ab＝6，a2+b2＝13，
∴（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝1+24＝25，
∵a+b＞0，
∴a+b＝5，
∵（a﹣b）2＝1，
∴a﹣b＝1，
∴图3的阴影部分面积S＝（2a+b）2﹣3a2﹣2b2
＝a2﹣b2+4ab
＝（a+b）（a﹣b）+4ab
＝5+24
＝29．
长方形铁片张数
正方形铁片张数
1个竖式无盖铁容器中
4
1
1个横式无盖铁容器中
3
2
长方形铁片张数
正方形铁片张数
1个竖式无盖铁容器中
4
1
1个横式无盖铁容器中
3
2