（人教A版）必修第二册高一数学下学期期末考试高分押题密卷（二）（2份，原卷版+解析版）

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1．若复数满足（为虚数单位），则在复平面内的共轭复数所对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
【答案】A
【分析】先求出，再求出即得解.
【详解】因为，即，所以，所以，其所对应的点为，位于第一象限.故选：A.
2．一道竞赛题，，，三人可解出的概率依次为，，，若三人独立解答，则仅有1人解出的概率为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【解析】根据题意，只有1人解出，则分三类，一是A解出而其余两人没有解出，一是B解出而其余两人没有解出，一是C解出而其余两人没有解出，每一类用独立事件概率的乘法公式求解，然后这三类用互斥事件概率的加法求解.
【详解】.故选：B
3．某市为了解全市12000名高一学生的的体能素质情况，在全市高一学生中随机抽取了1000名学生进行体能测试，并将这1000名的体能测试成绩整理成如下频率分布直方图．根据此频率分布直方图，下列结论中正确的是（ ）
A．图中的值为0.020；
B．同一组中的数据用该组区间的中点值做代表，则这1000名学生的平均成绩约为80.5；
C．估计样本数据的75%分位数为88；
D．由样本数据可估计全市高一学生体测成绩优异（80分及以上）的人数约为5000人．
【答案】B
【分析】A.根据频率和为1，计算的值；B.根据平均数公式，判断B；C.根据百分位数公式，判断C；计算体测成绩在内的频率，再结合总人数，即可判断D.
【详解】A.由频率分布直方图可知，，得：，故A错误；
B.，故B正确；
C.设百分位数，易得，则，
解得：，故C错误；
D.则体测成绩在的频率为，估计全市高一学生体测成绩优异（80分及以上）的人数约为人，故D错误.故选：B.
4．要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度
【答案】C
【分析】根据三角函数解析式之间的关系即可得到结论.
【详解】因为， 所以将其图象向左平移个单位长度，
可得，故选C.
5．已知的面积为30，且，则等于（ ）
A．72B．144C．150D．300
【答案】B
【解析】首先利用三角函数的平方关系得到，然后根据平面向量的数量积公式得到所求．
【详解】解：因为的面积为30，且，所以，所以，得到，所以；故选：．
6．在中，角所对的边分别为，若，且，则的形状一定是（ ）
A．直角三角形B．等腰非等边三角形
C．钝角三角形D．等边三角形
【答案】D
【分析】对化简，利用余弦定理可求得，对利用正弦定理化简可得，从而可判断出三角形的形状
【详解】因为，所以，化简得，由余弦定理得，因为，所以，因为，所以由正弦定理得，所以，所以为等边三角形，故选：D
7．在正方体中，点为的中点，点为的中点，则直线与所成角的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】取的中点,的中点,连接，通过平行转化异面直线夹角，再利用勾股定理和三角函数即可得到其正弦值.
【详解】如图,取的中点,的中点,连接,则易得，
则四边形是平行四边形，所以,因为，，
所以，所以四边形为平行四边形，所以，所以，
所以即为直线与所成的角(或其补角).设止方体的棱长为2,
则,,
所以,所以,所以.故选：A.

8．在三棱锥中，，，，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，构造面对角线长分别为4，5，的长方体，求出其体对角线长即可求解作答.
【详解】三棱锥中，，，，
构造长方体，使得面上的对角线长分别为4，5，，则长方体的对角线长等于三棱锥外接球的直径，如图，
设长方体的棱长分别为，，，则，，，则，因此三棱锥外接球的直径为，所以三棱锥外接球的表面积为．故选：A
多项选择题：
9．如图，已知正六边形ABCDEF的边长为1，记，则（ ）

A．
B．
C．
D．在方向上的投影向量为
【答案】BC
【分析】根据题意，由平面向量数量积的运算律，对选项逐一判断即可得到结果.
【详解】，故A错误；
因为，故B正确；
，又，所以，故C正确；
在方向上的投影向量为，故D错误.
故选：.
10．某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为0.6．0.5．0.4，则（ ）
A．该棋手三盘三胜的概率为0.12
B．若比赛顺序为甲乙丙，则该棋手在赢得第一盘比赛的前提下连赢三盘的概率为0.4
C．若比赛顺序为甲乙丙，则该棋手连赢2盘的概率为0.26
D．记该棋手连赢2盘为事件A，则当该棋手在第二盘与甲比赛最大
【答案】ACD
【分析】对A，根据独立事件乘法公式即可判断，对B，转化为求连赢后两盘的概率，对C，分情况计算即可，对D，分别计算出第2盘与甲、乙、丙比赛连胜两盘的概率，比较大小即可.
【详解】对于A，棋手胜三盘的概率为，故A正确；
对于B，棋手在胜甲的前提下连胜3盘的事件就是余下两盘连胜乙，丙的事件，
其概率为，故B错误；
对于C，连胜两盘事件的概率为，故C正确；
对于D，第2盘与甲比赛连胜两盘的概率，
第2盘与乙比赛连胜两盘的概率，
第2盘与丙比赛连胜两盘的概率，
因此，故D正确.故选：ACD.
11．2023年3月25日至26日，贵州省首届“美丽乡村”篮球联赛总决赛在黔东南州台江县台盘村举行.这件赛事就是最近火爆全网的“村”.1800多人的村，观赛人数高达3万，而且台盘村做到了停车不要钱，门票不要钱，吃饭不涨价，所有保障服务到位.其中的亮点之一就是中场休息的啦啦操不是漏腿的舞蹈，而是穿着民族服装的“蹦苗迪”.3月26日，在黔东南州队和遵义市队进行冠亚军总决赛中，黔东南州队以，险胜遵义市队，夺得总决赛冠军.赛后经观众回忆，得到黔东南州队的5名球员的得分如下：
下面对黔东南州队5名球员所得分数的数据分析正确的是（ ）
A．这5个数据中位数是14
B．这5个数据的方差是15
C．这5个数据的第80分位数是17
D．假设这5名球员每名再得2分，则其方差比原来的方差大
【答案】AC
【分析】利用中位数，方差，百分位数公式判断各选项正误即可.
【详解】A选项，由中位数定义可知，5个数据中位数是14，故A正确；
B选项，由表可得，数据的平均数为，
则数据的方差为：，故B错误；
C选项，由第80分位数定义与可知，这5个数据的第80分位数是，故C正确；
D选项，由方差定义可知，方差不变，故D错误.
故选：AC
填空题：
12．已知，为虚数单位，若复数，，则______．
【答案】
【分析】根据题意，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式列式求得．
【详解】因为，由，得，得．故答案为：．
13．有形状完全相同的4个白球和4个红球，若一个袋中放有3个白球和2个红球，另一个袋中放有1个白球和2个红球，任选一个袋子取出一球，则恰好取出的是白球的概率为________．
【答案】
【分析】根据互斥事件和的概率等于互斥事件概率的和求解即可．
【详解】解：设A表示选择其中有3白球、2红球的袋子，B表示取出白球，则，
．故答案为：．
14．如图所示，在圆锥中，为底面圆的两条直径，，且,，
为的中点，则异面直线与所成角的正切值为__________.
【答案】
【分析】由于与是异面直线，所以需要平移为相交直线才能找到异面直线与所成角，由此连接OP再利用中位线的性质得到异面直线与所成角为 ,并求出其正切值．
【详解】连接，则，即为异面直线与所成的角，又，，，平面，，即，为直角三角形，
.
四、解答题：
15．已知向量与的夹角为，且，．
(1)求；
(2)求向量与向量的夹角．
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）先求出，再由代入求解即可得出答案.
（2）设向量与向量的夹角，由向量的夹角公式求解即可.
【详解】（1）∵向量与的夹角为，且，，
∴．
∴．
（2）设向量与向量的夹角，
∴，
∵，所以，所以向量与向量的夹角为．
16．（1）树人中学高一（1）班50名同学期中考试（100分制）数学成绩的频率分布直方图如图所示，成绩分组区间是，，，，，，试求数学成绩的分位数（保留一位小数）；
（2）树人中学组建足球队备战全市高中生足球联赛．队员分别来自高一、高二两个年级，且高一年级队员占队员总数的．已知高一年级队员体重（单位：kg）的平均数为70，方差为300；高二年级队员体重的平均数为60，方差为200．求足球队全体队员体重的平均数及方差．
【答案】（1）；（2）平均数为；方差为．
【分析】（1）根据频率分布直方图，每个长方形的面积之和为，求出的值，进而根据百分位数的求解方法得出分位数；
（2）根据各个样本的平均数与方差求解总的样本平均数与方差，直接代入公式即可.
【详解】（1）由频率分布直方图可知：，解得：，
于是，占比，占比，占比，
故数学成绩的80%分位数为；
（2）由题意知：高一队员在所有队员中所占权重为，，
高二年级队员在所有队员中所占权重为，，
全部队员体重的平均数为．
全部队员的体重的方差为：．
17．已知，，，函数，的部分图象如图所示．

(1)求，的解析式；
(2)求函数的单调递减区间．
【答案】(1)，(2).
【分析】（1）根据给定的图象，结合函数式的特征依次求出作答.
（2）利用（1）的结论，结合正弦函数的单调性，列出不等式求解作答.
【详解】（1）观察图象知，，的最小正周期为，解得，
于是，，显然的图象经过点，
即，而，则，所以．
（2）由（1）知，由，得，
所以函数的单调递减区间为.
18．在锐角中，角A、B、C的对边分别为a、b，c，其面积为S，且．
(1)求角A的大小；
(2)若，求S的取值范围．
【答案】(1)；(2).
【分析】（1）根据给定条件，利用余弦定理、三角形面积公式变形给定等式，求出即可作答.
（2）利用正弦定理把三角形面积表示为角C的函数，再利用正弦函数性质求解作答.
【详解】（1）在锐角中，，由余弦定理，
得，即，又，，
因此，有，而，解得，所以.
（2）由（1）知，，，
由正弦定理得：，即，
则
，
又是锐角三角形，则有，即，亦即，
于是，，所以S的取值范围是.
19．已知三棱柱（如图所示），底面是边长为2的正三角形，侧棱底面，，为的中点.
（1）若为的中点，求证：平面；
（2）证明：平面；
（3）求三棱锥的体积.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.
【分析】（1）连接，证得底面，得到，再在正证得，结合线面垂直的判定地鞥了，即可证得平面；
（2）连接交与，得出，结合线面平行的判定定理，即可证得平面.
（3）取的中点，连接，证得可得平面，得出为三棱锥的高，且，结合体积公式，即可求解.
【详解】（1）连接，由底面，且，可得底面，
又由底面，所以，
又因为为正边的中点，所以，
因为，且平面，所以平面.
（2）连接交与，则为的中点，连接，则.
因为平面，平面，所以平面.
（2）因为，.取的中点，连接，则，可得平面，即为三棱锥的高，，三棱锥的体积.
球员
1
2
3
4
5
得分
8
12
14
14
20