（人教A版）必修第二册高一数学下学期期末考试高分押题密卷（一）（2份，原卷版+解析版）

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1．已知i是虚数单位，则复数，在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
【答案】D
【分析】由复数的乘除法运算和的性质可得答案.
【详解】复数，在复平面内对应的点，所以在复平面内对应的点位于第四象限.故选：D.
2．某车间从生产的一批零件中随机抽取了1000个进行一项质量指标的检测，整理检测结果得到此项质量指标的频率分布直方图如图所示.若用分层抽样的方法从质量指标在区间的零件中抽取170个进行再次检测，则质量指标在区间内的零件应抽取（ ）
A．30个B．40个C．60个D．70个
【答案】C
【分析】由分层抽样按比例计算．
【详解】设质量指标在区间内的零件应抽取个，则，解得，故选：C．
3．掷一枚骰子三次，所得点数之和为的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】确定基本事件总数，列举出事件“掷一枚骰子三次，所得点数之和为”所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.
【详解】掷一枚骰子三次，所有的基本事件个数为，其中，事件“掷一枚骰子三次，所得点数之和为”所包含的基本事件有、、、、、、、、、
、、、、、、、、、、、、、、、、、，共个基本事件，
因此，所求概率为.故选：B.
4．在中，角，，的对边分别为，，，，，则的外接圆的半径为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据三角形内角和定理，结合同角的三角函数关系式、两角和的正弦公式、正弦定理进行求解即可.
【详解】，可得，
为内角
，故选：B
5．已知某圆锥的底面半径为1，高为，则它的侧面积与底面积之比为（ ）
A．B．1C．2D．4
【答案】C
【分析】计算圆锥的侧面积为，圆锥的底面积为，得到答案.
【详解】圆锥的侧面积为：；圆锥的底面积为：；故选：C
6．已知函数，则下列结论错误的是（ ）
A．的最小正周期为
B．的图象关于直线对称
C．的一个零点为
D．在区间上单调递减
【答案】D
【分析】对于A，利用周期公式分析判断，对于B，将代入函数判断是否能取得最值，对于C，将代入函数中计算判断，对于D，由求出的范围，然后根据余弦函数的性质判断.
【详解】对于A，的最小正周期为，所以A正确，
对于B，因为，所以的图象关于直线对称，所以B正确，
对于C，因为，所以的一个零点为，所以C正确，
对于D，由，得，因为在上递减，在上递增，
所以在区间上不单调递减，所以D错误，故选：D
7．已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列结论正确的是（ ）
A．，，则
B．，，，，则
C．，，，则
D．，，，则
【答案】D
【分析】根据线面平行的判定定理、面面平行的判定定理，性质定理、线面垂直的性质定理判断即可.
【详解】对于A，，，则或，A错误；
对于B，若，，，，则或相交，
只有加上条件相交，结论才成立，B错误；
对于C，，，无法得到，
只有加上条件才能得出结论，C错误；
对于D，，，则，又因为，所以，D正确.故选:D.
8．在中，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据二倍角公式可求出，然后在中，由余弦定理即可求解.
【详解】由二倍角公式可得：，在中， ，由余弦定理可得,故选：B
多项选择题：
9．已知平面向量、、，下列四个命题不正确的是（ ）
A．若∥且∥，则∥B．
C．若，则D．
【答案】ACD
【分析】举反例得到AC错误，，D错误，B正确，得到答案.
【详解】对选项A：当，任意和均满足条件，错误；对选项B：，正确；
对选项C：当，任意和均满足条件，错误；对选项D：，错误；故选：ACD.
10某科技学校组织全体学生参加了主题为“创意之匠心，技能动天下”的文创大赛，随机抽取了400名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后（每组的取值区间均为左闭右开），画出频率分布直方图（如图），下列说法正确的是（ ）
A．在被抽取的学生中，成绩在区间内的学生有160人
B．图中的值为0.020
C．估计全校学生成绩的中位数约为86.7
D．估计全校学生成绩的80%分位数为95
【答案】ACD
【分析】对于A，由频率分布直方图求出的频率，再乘以400可得结果，对于B，由各组的频率和为1可求得结果，对于C，先判断中位数所在的区间，再列方程求解，对于D，根据百分位数的定义求解.
【详解】由题意，成绩在区间内的学生人数为，故A正确；
由，得，故B错误；
由于前3组的频率和，前4组的频率和，所以中位数在第4组，设中位数为，则，得，故C正确；
低于90分的频率为，设样本数据的80%分位数为，则，解得，故D正确.
故选：ACD.
11．在中，下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则为锐角三角形.
C．等式恒成立.
D．若，则
【答案】ACD
【分析】由正弦定理可得即结合同角三角函数基本关系可判断A；由余弦定理可判断为锐角，而角和角无法确定即可判断B；由正弦定理以及两角和的正弦公式可判断C；求出角，，，由正弦定理可判断D，进而可得正确选项.
【详解】对于A：在中，若，则，由正弦定理可得，
所以，即，所以，可得，
故选项A正确；
对于B：由余弦定理可得只能判断角为锐角，而角和角无法确定是什么角，所以得不出为锐角三角形，故选项B不正确；
对于C：由正弦定理可得，右边等于左边显然成立，故选项C正确；
对于D：因为，，所以，，由正弦定理可得，故选项D正确；
故选：ACD.
填空题：
12．已知x∈R，复数z1＝1＋xi，z2＝2＋i，若为纯虚数，则实数x的值为_______．
【答案】－2
【分析】由题意中的纯虚数计算出结果
【详解】i为纯虚数，则，即.
13．已知平面向量，满足，则___________.
【答案】1
【分析】利用向量垂直关系等价于数量积为0及向量模的平方等于向量的平方即可求解.
【详解】解：由，得，即.
因为，所以，所以，故.故答案为：1.
14．在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，A1A⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，AB＝2，A1A＝4，M为A1A的中点，则异面直线AD1与BM所成角的余弦值为_____．
【答案】
【分析】连接BC1，则BC1∥AD1，可得∠MBC1为异面直线AD1与BM所成角，由已知求解三角形MBC1 的三边长，再由余弦定理求异面直线AD1与BM所成角的余弦值．
【详解】如图，
连接BC1，则BC1∥AD1，∴∠MBC1为异面直线AD1与BM所成角，在正四棱柱AC1中，由AB＝2，A1A＝4，M为A1A的中点，得，，．在△MBC1中，由余弦定理得：cs∠MBC1．故答案为．
四、解答题：
15．已知，．
(1)若与垂直，求实数的值；
(2)若为与的夹角，求的值．
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）根据平面向量的坐标运算求模长与数量积，由向量垂直列方程即可得实数的值；
（2）根据平面向量的夹角余弦值的坐标运算即可.
【详解】（1）因为，，所以，
又与垂直，所以，解得；
（2）因为
所以.
16．在中，角所对的边分別是．已知．
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求．
【答案】(1)；(2)；(3)
【分析】（1）根据正弦定理即可解出；
（2）根据余弦定理即可解出；
（3）由正弦定理求出，再由平方关系求出，即可由两角差的正弦公式求出．
【详解】（1）由正弦定理可得，，即，解得：；
（2）由余弦定理可得，，即，
解得：或（舍去）．
（3）由正弦定理可得，，即，解得：，而，
所以都为锐角，因此，，
故．
17．为了解某年级学生对《居民家庭用电配置》的了解情况，校有关部门在该年级进行了一次问卷调查(共10道题)，从该年级学生中随机抽取24人，统计了每人答对的题数，将统计结果分成[0，2)，[2，4)，[4，6)，[6，8)，[8，10]五组，得到如下频率分布直方图.
（1）估计这组数据的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
（2）用分层随机抽样的方法从[4，6)，[6，8)，[8，10]的组别中共抽取12人，分别求出抽取的三个组别的人数；
（3）若从答对题数在[2，6)内的人中随机抽取2人，求恰有1人答对题数在[2，4)内的概率.
【答案】（1）；（2）4人､6人､2人；（3）.
【分析】（1）利用频率分布直方图的各组的中间值进行计算求出平均值的估计值；
（2）根据[4，6)，[6，8)，[8，10]的频率，求出此区间内的总人数，再根据需要取的样本总数，确定分层比例，即可求出结果；
（3）利用列举法求出所有结果，根据古典概型即可求出结果．
【详解】解：（1）在[0，2)，[2，4)，[4，6)，[6，8)，[8，10]的概率分别为，，，，
则估计这组数据的平均数为.
（2）由题意可知在中的总人数为人；
又采用分层抽样的方法抽取人，所以内抽取人；
所以内抽取人；
所以内抽取人；
所以在分别抽取4人､6人､2人，
（3）由题图可知，答对题数在[4，6)中有6人，分别设为，，，，，，
答对题数在[2，4)中有3人，分别设为，，，
从答对题数在[2，6)内的人中随机抽取2人的情况有
，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共有36种.
恰有1人答对题数在[2，4)内的情况有，，，，，，，，，，，，，，，，，，共有18种.
故所求概率.
18．已知函数
（1）求函数的单调区间
（2）若函数的图象向右平移个单位，再向下平移个单位后得到函数的图象，当，求函数的值域
【答案】（1）增区间：，，减区间：，；（2）
【解析】（1）首先根据题意得到，再求函数的单调区间即可.
（2）首先根据题意得到，根据得到，即可得到函数的值域.
【详解】（1）.
，解得，.
，解得，.
所以函数的增区间：，，减区间：，.
（2）.
因为，所以.所以，即.
19．如图，在四棱锥中，四边形是矩形，，分别是，中点，，，．
(1)求证：平面；
(2)求证：平面；
(3)求证：平面平面．
【分析】（1）连接，交于，连接，则，利用线面平行的判定定理即可证明；
（2）证明，再由，即可证明平面；
（3）又（2）可知，再由三角形相似得到，即可证明平面，从而得证．
【详解】（1）证明：连接，交于，连接，则，
∵平面，平面，∴平面；
（2）证明：∵，是的中点，
∴，
∵，，平面，
∴平面；
（3）证明：∵平面，平面，
∴，
∵，，四边形是矩形，是中点，
∴，
∴，
∴，
∵，平面，
∴平面，
∵平面，
∴平面平面．