（人教A版）必修第二册高一数学下学期期末复习专项训练第8讲 统计与概率（2份，原卷版+解析版）

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一、简单随机抽样与分层随机抽样
二、频率分布直方图
三、几种常见统计图表的应用
四、总体百分位数的估计
五、总体集中趋势与离散程度的估计
六、判断互斥事件与对立事件
七、古典概型
八、概率的基本性质
九、事件的相互独立性
十、频率与概率
【精选好题】
一、简单随机抽样与分层随机抽样
1．下列抽取样本的方式属于简单随机抽样的个数为（ ）
①从无限多个个体中抽取100个个体作为样本．
②从20件玩具中一次性抽取3件进行质量检验．
③某班有56个同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛．
④盒子中共有80个零件，从中选出5个零件进行质量检验，在抽样操作时，从中任意拿出一个零件进行质量检验后再把它放回盒子里．
A．0B．1C．2D．3
【答案】A
【分析】按照简单随机抽样的定义判断即可.
【详解】解：①从无限多个个体中抽取100个个体作为样本，不满足总体个数为有限个；
②从20件玩具中一次性抽取3件进行质量检验，不满足逐个抽取；
③某班有56个同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛，不满足随机抽取；
④盒子中共有80个零件，从中选出5个零件进行质量检验，
在抽样操作时，从中任意拿出一个零件进行质量检验后再把它放回盒子里，不满足无放回抽取．
综上可得以上均不满足简单随机抽样的定义，
故选：A．
2．管理人员从一池塘内随机捞出40条鱼，做上标记后放回池塘.10天后，又从池塘内随机捞出70条鱼，其中有标记的有2条.根据以上数据可以估计该池塘内鱼的总条数是（ ）
A．2800B．1800C．1400D．1200
【答案】C
【分析】由从池塘内捞出70条鱼，其中有标记的有2条，可得所有池塘中有标记的鱼的概率，结合池塘内具有标记的鱼一共有40条鱼，按照比例即得解.
【详解】设估计该池塘内鱼的总条数为，
由题意，得从池塘内捞出70条鱼，其中有标记的有2条，
所有池塘中有标记的鱼的概率为：，
又因为池塘内具有标记的鱼一共有40条鱼，
所以，解得，
即估计该池塘内共有条鱼.
故选：C.
3．某工厂利用随机数表对生产的50个零件进行抽样测试，先将50个零件进行编号，编号分别为01，02，…，50，从中抽取5个样本，下面提供随机数表的第1行到第2行：
若从表中第1行第9列开始向右依次读取数据，则得到的第4个样本编号是（ ）
A．10B．09C．71D．20
【答案】B
【分析】按照题意依次读出前4个数即可.
【详解】从随机数表第1行的第9列数字开始由左向右每次连续读取2个数字，删除超出范围及重复的编号，符合条件的编号有14，05，11，09，
所以选出来的第4个个体的编号为09，
故选：B
4．有甲、乙两箱篮球，其中甲箱27个，乙箱9个，现从这两箱篮球中随机抽取4个，甲箱抽3个，乙箱抽1个．下列说法不正确的是（ ）
A．总体是36个篮球B．样本是4个篮球
C．样本容量是4D．每个篮球被抽到的可能性不同
【答案】D
【分析】利用样本、样本容量、总体的意义，逐项分析判断作答.
【详解】依题意，总体是36个篮球，样本是4个篮球，样本容量是4，选项A，B，C都正确；
甲箱抽3个，每个球被抽到的概率为，乙箱抽1个，每个球被抽到的概率为，则每个篮球被抽到的可能性相同，D不正确.
故选：D
5．某校高一、高二、高三年级的学生人数之比为，现用分层随机抽样的方法从该校三个年级的学生中抽取一个容量为260的样本，则从高三年级抽取的学生人数为（ ）
A．40B．50C．80D．100
【答案】D
【分析】利用分层随机抽样的概念即得.
【详解】因为高一、高二、高三年级的学生人数之比为，
所以从高三年级抽取的学生人数为．
故选：D.
6．第24届冬季奥林匹克运动会（The XXIV Olympic Winter Games），即2022年北京冬季奥运会，计划于2022年2月4日星期五开幕，2月20日星期日闭幕．北京冬季奥运会设7个大项，15个分项，109个小项．某大学青年志愿者协会接到组委会志愿者服务邀请，计划从大一至大三青年志愿者中选出24名志愿者，参与北京冬奥会高山滑雪比赛项目的服务工作．已知大一至大三的青年志愿者人数分别为50，40，30，则按分层抽样的方法，在大一青年志愿者中应选派__________人.
【答案】10
【分析】根据分层抽样原理求出抽取的人数．
【详解】解：根据分层抽样原理知，，
所以在大一青年志愿者中应选派10人．
故答案为：10．
二、频率分布直方图
7．从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）.若要从身高在三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在内的学生中选取的人数应为（ ）

A．3B．4C．5D．6
【答案】A
【分析】利用小矩形的面积之和为，求出，再求出三组内的学生总数，根据抽样比即可求解.
【详解】直方图中各个小矩形的面积之和为，
，解得，
由直方图可知三个区域内的学生总数为
，
其中身高在[140，150]内的学生人数为.
故选：A
8．（多选）供电部门对某社区1000位居民12月份人均用电情况进行统计后，按人均用电量分为[0，10），[10，20），[20，30），[30，40），[40，50]五组，整理得到如下的频率分布直方图，则有关这1000位居民，下列说法正确的是（ ）
A．12月份人均用电量人数最多的一组有400人
B．12月份人均用电量在[20，30）内的有300人
C．12月份人均用电量不低于20度的有500人
D．在这1000位居民中任选1位协助收费，选到的居民用电量在[30，40）一组的概率为
【答案】ABC
【分析】根据题意，由频率分布直方图，对选项逐一计算，即可得到结果.
【详解】根据频率分布直方图知，12月份人均用电量人数最多的一组是，
有（人），A正确；
12月份人均用电量在内的人数为，B正确；
12月份人均用电量不低于20度的频率是，
有（人），C正确；
用电量在内的有（人），所以1000位居民中任选1位，选到的居民用电量在一组的概率为，D错误．
故选:ABC.
9．（多选）样本容量为100的样本，其数据分布在内，将样本数据分为4组：，，，，得到频率分布直方图如图所示，则下列说法中正确的是（ ）

A．样本数据分布在内的频率为0.32
B．样本数据分布在内的频数为40
C．样本数据分布在内的频数为40
D．估计总体数据大约有分布在内
【答案】ABC
【分析】根据频率分布直方图一一分析可得.
【详解】对于A，由题图可得，样本数据分布在内的频率为，故A正确；
对于B，由题图可得，样本数据分布在内的频数为，故B正确；
对于C，由题图可得，样本数据分布在内的频数为，故C正确；
对于D，由题图可估计，总体数据分布在内的比例约为，故D错误．
故选：ABC
10．（多选）某学校为了调查学生某次研学活动中的消费支出情况，抽出了一个容量为n的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在50元到60元之间的学生有60人，则（ ）
A．样本中消费支出在50元到60元之间的频率为0.3
B．样本中消费支出不少于40元的人数为132
C．n的值为200
D．若该校有2000名学生参加研学，则约有20人消费支出在20元到30元之间
【答案】ABC
【分析】根据频率分布直方图面积之和为1计算出空白数据，再根据所得数据和题中对应数据可得样本容量，即可计算出选项对应条件下的数据.
【详解】根据频率分布直方图面积之和为1可得50元到60元之间的频率为：
，A正确；
容量n为，消费支出不少于40元的人数为，B、C正确；
根据频率分布直方图可知消费支出在20元到30元之间的频率为0.1，则2000名参加研学的学生中消费支出在20元到30元之间的约为200人，D错误.
故选：ABC.
三、几种常见统计图表的应用
11．某统计机构对1000名拥有汽车的人进行了调查，对得到的数据进行整理并制作了如图所示的统计图表，下列关于样本的说法正确的是（ ）

A．30岁以上人群拥有汽车的人数为720
B．40~45岁之间的人群拥有汽车的人数最多
C．55岁以上人群每年购买车险的总费用最少
D．40~55岁之间的人群每年购买车险的总费用，比18~30岁和55岁以上人群购买车险的总费用之和还要多
【答案】D
【分析】对于选项A， 30岁以上人群拥有汽车的人数为820，故选项A错误；对于选项B，由图得不出40~45岁之间的人群拥有汽车的人数最多，故选项B错误；对于选项C， 18~30岁之间的人群每年购买车险的总费用更少，故选项C错误；对于选项D，通过计算得到选项D正确．
【详解】对于选项A，由1000×（1-18%）＝820，知30岁以上人群拥有汽车的人数为820，故选项A错误；
对于选项B，由图得不出40~45岁之间的人群拥有汽车的人数最多，故选项B错误；
对于选项C，55岁以上人群每年购买车险的总费用约为1000×17%×3100＝527000元，18~30岁之间的人群每年购买车险的总费用约为1000×18%×2800＝504000元，故选项C错误；
对于选项D，40~55岁之间的人群每年购买车险的总费用约为1000×40%×3900＝1560000元，1560000＞527000＋504000，故选项D正确．
故选：D
12．如图为近一年我国商品零售总额和餐饮收入总额同比增速情况折线图，根据该图，下列结论正确的是（ ）
A．2023年1—2月份，商品零售总额同比增长9.2%
B．2022年3—12月份，餐饮收入总额同比增速都降低
C．2022年6—10月份，商品零售总额同比增速都增加
D．2022年12月，餐饮收入总额环比增速为-14.1%
【答案】C
【分析】根据折线图数据，结合同比与环比概念与数据波动情况的关系进行辨析即可.
【详解】对于A，2023年1—2月份，商品零售总额同比增长2.9%，故A错误；
对于B，2022年8月份，餐饮收入总额同比增速增加，故B错误；
对于C，2022年6—10月份，商品零售总额同比增速都增加，故C正确；
对于D，2022年12月，餐饮收入总额环比增速并未告知，故D错误．
故选C．
13．某企业对目前销售的四种产品进行改造升级，经过改造升级后，企业营收实现翻番，现统计了该企业升级前后四种产品的营收占比，得到如下饼图：
下列说法不正确的是（ ）
A．产品升级后，产品的营收是升级前的4倍
B．产品升级后，产品的营收是升级前的2倍
C．产品升级后，产品的营收减少
D．产品升级后，产品营收的总和占总营收的比例不变
【答案】C
【分析】设产品升级前的营收为，升级后的营收为．然后对升级前后的各类产品进行逐项分析即可.
【详解】设产品升级前的营收为，升级后的营收为．
对于产品，产品升级前的营收为，升级后的营收为，
故升级后的产品的营收是升级前的4倍，A正确．
对于产品，产品升级前的营收为，升级后的营收为，
故升级后的产品的营收是升级前的2倍，B正确．
对于产品，产品升级前的营收为，升级后的营收为，
故升级后的产品的营收增加了，C不正确．
产品升级后，由两个图形可知产品营收的总和占总营收的比例不变，故D正确．
故选：C.
14．2023年4月，国内猪肉、鸡蛋、鲜果、禽肉、粮食、食用油、鲜菜价格同比（与去年同期相比）的变化情况如图所示，则下列说法正确的是（ ）

A．猪肉、鸡蛋、鲜果、禽肉、粮食、食用油这6种食品中，食用油价格同比涨幅最小
B．猪肉价格同比涨幅超过禽肉价格同比涨幅的5倍
C．去年4月鲜菜价格要比今年4月低
D．这7种食品价格同比涨幅的平均值超过7%
【答案】D
【分析】根据统计图计算可得答案.
【详解】由图可知，粮食价格同比涨幅比食用油价格同比涨幅小，故A不正确；
猪肉价格同比涨幅为，禽肉价格同比涨幅为，，故B不正确；
因为鲜菜价格同比涨幅为，说明去年4月鲜菜价格要比今年4月高，故C不正确；
这7种食品价格同比涨幅的平均值为，故D正确.
故选：D
15．为了解学生身高情况，某校以的比例对全校700名学生按性别进行分层抽样调查，测得身高情况的统计图如下：

估计该校男生的人数为_________．
【答案】400
【分析】根据条形图计算出样本中男生所占比例，再乘以总体容量即可得解.
【详解】由条形图可知，样本中男生的频数为，
样本中女生的频数为，
样本中男生所占比例为，
所以估计总体中男生所占比例为，
所以估计该校男生的人数为.
故答案为：.
四、总体百分位数的估计
16．下列表述不正确的是（ ）
A．总体的50%分位数就是总体的中位数
B．第p百分位数可以有单位
C．一个总体的四分位数有4个
D．样本容量越大，第p百分位数估计总体就越准确
【答案】C
【分析】根据百分位数定义分别判断各个选项即可.
【详解】50%分位数就是总体的中位数,故A选项正确，
第p百分位数可以有单位，故B选项正确,
一个总体的25%分位数，50%分位数，75%分位数是总体的四分位数，有3个，所以C错误．
样本容量越大，第p百分位数估计总体就越准确,故D选项正确.
故选：C.
17．某班在体育课上组织趣味游戏，统计了第一组14名学生的最终得分：13，10，12，17，9，12，8，9，11，14，15，12，10，12．这组数据的第80百分位数是（ ）
A．12B．13C．13.5D．14
【答案】D
【分析】先将数据从小到大排序，在根据百分位数的计算方法，即可求解.
【详解】由题意，将14名学生的最终得分，从小到大排序：8，9，9，10，10，11，12，12，12，12，13，14，15，17，
又由，所以这组数据的第80百分位数为第12个数，即为14.
故选：D.
18．（多选）某产品售后服务中心选取了20个工作日，分别记录了每个工作日接到的客户服务电话的数量（单位：次）：
63 38 25 42 56 48 53 39 28 47
45 52 59 48 41 62 48 50 52 27
则这组数据的（ ）
A．众数是48B．中位数是48C．极差是37D．5%分位数是25
【答案】AB
【分析】利用众数，中位数，极差和百分位数的定义进行判断即可.
【详解】这组数据中48出现了3次，出现次数最多，因此众数是48，A正确；
从小到大排列20个数据分别为25，27，28，38，39，41，42，45，47，
48，48，48，50，52，52，53，56，59，62，63，第10位和第11位均为48，
两者的平均数也是48，因此中位数是48，B正确；
最大值为63，最小值为25，因此极差为，C错误；
是整数，分位数应取第1位与第2位的平均值，即25与27的平均值26，D错误．
故选：AB．
19．数据、、、、、、、的第百分位数为__________.
【答案】
【分析】将数据由小到大排列，利用百分位数的定义可求得该组数据的第百分位数.
【详解】将数据由小到大进行排列为、、、、、、、，共个数，
因为，故该组数据的第百分位数为.
故答案为：.
20．若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分分别为89，91，90，92，87，93，96，94，则这组数据的中位数是_________；分位数是_________；分位数是_________．
【答案】 91.5 89.5 87
【分析】先将得分按升序排列，空1：根据中位数的概念运算求解；空2、3：根据百分位数的概念运算求解.
【详解】将得分按升序排列得：87，89，90，91，92，93，94，96，
空1：这组数据的中位数是；
空2：因为，所以分位数是；
空3：因为，所以分位数是；
故答案为：91.5；89.5；87.
21．为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取了30名学生参加环保知识测试，得分（十分制）如图所示．假设得分值的中位数为，众数为，平均数为，则a，b，c的大小关系为_________，分位数是_________．

【答案】 4
【分析】根据百分位数的计算方法、众数、平均数的定义进行计算可得答案.
【详解】将这个数据从小到大排列：，
因为为整数，所以中位数，
数据的个数最多，故，
平均数，
故.
因为为整数， 所以分位数是.
故答案为：；4
五、总体集中趋势与离散程度的估计
22．对高三某班级的学生进行体能测试，所得成绩统计如下图所示，则该班级学生体能测试成绩的中位数为（ ）
A．80B．85C．82.5D．83
【答案】C
【分析】由频率确定中位数在80至90之间，然后由比例计算可得．
【详解】解：依题意，成绩不大于80分的概率为，而成绩在区间的概率为0.4，因此中位数在80至90之间，
所求中位数为，
故选：C．
23．已知一个样本容量为7的样本的平均数为5，方差为2，现样本加入新数据4，5，6，此时样本容量为10，若此时平均数为，方差为，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】B
【分析】设这10个数据分别为：，进而根据题意求出和，进而再根据平均数和方差的定义求得答案.
【详解】设这10个数据分别为：，根据题意，，
所以，.
故选：B.
24．若一组样本数据、、、的平均数为，另一组样本数据、、、的方差为，则两组样本数据合并为一组样本数据后的平均数和方差分别为（ ）
A．，B．，C．，D．，
【答案】A
【分析】计算出、的值，再利用平均数和方差公式可求得合并后的新数据的平均数和方差.
【详解】由题意可知，数据、、、的平均数为，则，则
所以，数据、、、的平均数为
，
方差为，
所以，，
将两组数据合并后，新数据、、、、、、、的平均数为
，
方差为
.
故选：A.
25．已知一组样本数据共有9个数，其平均数为8，方差为12.将这组样本数据增加一个数据后，所得新的样本数据的平均数为9，则新的样本数据的方差为（ ）
A．18.2B．19.6C．19.8D．21.4
【答案】C
【分析】利用平均数公式及其方差公式求解.
【详解】设增加的数为，原来的9个数分别为，
则，，
所以，
又因为，即，
所以，
故选：C.
26．（多选）已知数据的平均数为，标准差为，则（ ）
A．数据的平均数为，标准差为
B．数据的平均数为，标准差为
C．数据的平均数为，方差为
D．数据的平均数为，方差为
【答案】BC
【分析】根据平均数、方差、标准差的定义逐项判断可得答案.
【详解】， ，
对于A，与不存在关系，不一定相等，故错误；
对于B，，，所以数据的标准差为，故正确；
对于C，，，故正确；
对于D，数据的平均数为，方差为
，故错误.
故选：BC.
27．（多选）有一组样本数据，其中是最小值，是最大值，则（ ）
A．的平均数等于的平均数
B．的中位数等于的中位数
C．的标准差不小于的标准差
D．的极差不大于的极差
【答案】BD
【分析】根据题意结合平均数、中位数、标准差以及极差的概念逐项分析判断.
【详解】对于选项A：设的平均数为，的平均数为，
则，
因为没有确定的大小关系，所以无法判断的大小，
例如：，可得；
例如，可得；
例如，可得；故A错误；
对于选项B：不妨设，
可知的中位数等于的中位数均为，故B正确；
对于选项C：因为是最小值，是最大值，
则的波动性不大于的波动性，即的标准差不大于的标准差，
例如：，则平均数，
标准差，
，则平均数，
标准差，
显然，即；故C错误；
对于选项D：不妨设，
则，当且仅当时，等号成立，故D正确；
故选：BD.
28．（多选）某校随机抽取了100名学生测量体重，经统计，这些学生的体重数据（单位：kg）全部介于45至70之间，将数据整理得到如图所示的频率分布直方图，则（ ）
A．频率分布直方图中a的值为0.07
B．这100名学生中体重低于60kg的人数为60
C．据此可以估计该校学生体重的第78百分位数约为62
D．据此可以估计该校学生体重的平均数约为62.5
【答案】AC
【分析】运用频率分布直方图中所有频率之和为1及频数、百分位数、平均数计算公式计算即可.
【详解】对于A项，因为，解得：，故A项正确；
对于B项，人，故B项错误；
对于C项，因为，，，所以第78百分位数位于之间，
设第78百分位数为x，则，解得：，故C项正确；
对于D项，因为，即：估计该校学生体重的平均数约为，故D项错误.
故选：AC.
29．（多选）某校开展“正心立德，劳动树人”主题教育活动，对参赛的100名学生的劳动作品的得分情况进行统计，并绘制了如图所示的频率分布直方图，根据图中信息，下列说法正确的是（ ）

A．图中的值为0.020B．这组数据的第80百分位数约为86.67
C．这组数据平均数的估计值为82D．这组数据中位数的估计值为75
【答案】AB
【分析】对于A选项，由频率直方图的各组频率之和等于，得到关于的方程，解方程即可；对于B选项，由百分位数的定义计算即可；对于C选项，频率分布直方图中，数据平均数的估计值等于各组区间中点值乘各组对应的频率之和；对于D选项，先计算中位数所在区间，再利用中位数对应频率为即可求解.
【详解】由频率之和为1得：，
解得：，A正确；
前三个矩形面积和为0.6，前四个矩形面积和为0.9，
所以这组数据的第80百分位数约为，故B正确；
这组数据平均数的估计值为，C不正确；
由频率分布直方图可知，的频率为，
的频率为，则中位数在内，
所以这组数据中位数的估计值为，所以D不正确；
故选：AB
30．（多选）已知甲、乙两个水果店在“十一黄金周”七天的水果销售量统计如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．甲组数据的极差大于乙组数据的极差
B．若甲，乙两组数据的平均数分别为，则
C．若甲，乙两组数据的方差分别为，则
D．甲组数据的中位数大于乙组数据的中位数
【答案】BD
【分析】根据折线图中的数据，结合极差的概念、平均数的求法、方差的求法及其意义、中位数的概念，即可判断各项的正误.
【详解】由折线图得：
对于A，甲组数据的极差小于乙组数据的极差，故A错误；
对于B，甲组数据除第二天数据略低于乙组数据，其它天数据都高于乙组数据，可知，故B正确；
对于C，甲组数据比乙组数据稳定，，故C错误；
对于D，甲组数据的中位数大于乙组数据的中位数，故D正确．
故选：BD．
六、判断互斥事件与对立事件
31．从装有2个红球和2个黑球的袋子内任取2个球，下列选项中是互斥而不对立的两个事件的是（ ）
A．“至少有1个红球”与“都是黑球”
B．“恰好有1个红球”与“恰好有1个黑球”
C．“至少有1个黑球”与“至少有1个红球”
D．“都是红球”与“都是黑球”
【答案】D
【分析】根据互斥事件与对立事件的概念分析可得.
【详解】从装有2个红球和2个黑球的袋子内任取2个球，可能的结果为：1红1黑､2红､2黑，
对于A：“至少有1个红球”包括1红1黑､2红，与“都是黑球”是对立事件，不符合；
对于B：“恰好有1个红球”和恰好有1个黑球”是同一个事件，不符合题意；
对于C：“至少有1个黑球”包括1红1黑､2黑，“至少有1个红球”包括1红1黑､2红，这两个事件不是互斥事件，不符合题意；
对于D：“都是红球”与“都是黑球”是互斥事件而不是对立事件，符合题意；
故选：D.
32．抛掷一枚质地均匀的骰子一次，事件1表示“骰子向上的点数为奇数”，事件2表示“骰子向上的点数为偶数”，事件3表示“骰子向上的点数大于3”，事件4表示“骰子向上的点数小于3”则（ ）
A．事件1与事件3互斥B．事件1与事件2互为对立事件
C．事件2与事件3互斥D．事件3与事件4互为对立事件
【答案】B
【分析】根据互斥事件、对立事件定义判断求解.
【详解】由题可知，事件1可表示为：,事件2可表示为：,
事件3可表示为：,事件4可表示为：,
因为，所以事件1与事件3不互斥，A错误；
因为为不可能事件，为必然事件，
所以事件1与事件2互为对立事件，B正确；
因为，所以事件2与事件3不互斥，C错误；
因为为不可能事件，不为必然事件，
所以事件3与事件4不互为对立事件，D错误；
故选：B.
33．一个射手进行射击，记事件=“脱靶”，=“中靶”，=“中靶环数大于4”，则在上述事件中，互斥而不对立的事件是（ ）
A．与B．与C．与D．以上都不对
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用互斥事件、对立事件的意义逐项分析判断作答.
【详解】射手进行射击时，事件=“脱靶”，=“中靶”，=“中靶环数大于4”，
事件与不可能同时发生，并且必有一个发生，即事件与是互斥且对立，A不是；
事件与不可能同时发生，但可以同时不发生，即事件与是互斥不对立，B是；
事件与可以同时发生，即事件与不互斥不对立，C不是，显然D不正确.
故选：B
34．已知件产品中有件正品，其余为次品.现从件产品中任取件，观察正品件数与次品件数，下列选项中的两个事件互为对立事件的是（ ）
A．恰好有件次品和恰好有件次品B．至少有件次品和全是次品
C．至少有件正品和至少有件次品D．至少有件次品和全是正品
【答案】D
【分析】对每个选项中事件的关系分析，选出正确选项.
【详解】对于A项，恰好有1件次品和恰好有两件次品互为互斥事件，但不是对立事件；
对于B项，至少有1件次品和全是次品可以同时发生，不是对立事件；
对于C项，至少有1件正品和至少有1件次品可以同时发生，不是对立事件；
对于D项，至少有1件次品即存在次品，与全是正品互为对立事件.
故选：D.
七、古典概型
35．从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】分析：分别求出事件“2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务”的总可能及事件“选中的2人都是女同学”的总可能，代入概率公式可求得概率.
详解：设2名男同学为，3名女同学为，
从以上5名同学中任选2人总共有共10种可能，
选中的2人都是女同学的情况共有共三种可能
则选中的2人都是女同学的概率为，
故选D.
点睛：应用古典概型求某事件的步骤：第一步，判断本试验的结果是否为等可能事件，设出事件；第二步，分别求出基本事件的总数与所求事件中所包含的基本事件个数；第三步，利用公式求出事件的概率.
36．有一副去掉了大小王的扑克牌，充分洗牌后，从中随机抽取一张，则抽到的牌为“黑桃”或“”的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】计算出抽到的牌为“黑桃”或“”所包含的牌的数量，利用古典概型的概率公式可求得结果.
【详解】由题意可知，该副扑克牌共张，其中“黑桃”共张，“”共张，
则抽到的牌为“黑桃”或“”共张，故所求概率为.
故选：C.
37．齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马．某天，齐王与田忌赛马，双方约定：比赛三局，每局各出一匹，每匹马赛一次，赢得两局者为胜，则田忌获胜概率为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设齐王的三匹马分别为，田忌的三匹马分别为，列举所有比赛的情况，利用古典概型的概率公式计算即可得出结果.
【详解】设齐王的三匹马分别为，田忌的三匹马分别为，所有比赛的情况:：
、、，齐王获胜三局；
、、，齐王获胜两局；
、、，齐王获胜两局；
、、，齐王获胜两局；
、、，田忌获胜两局；
、、，齐王获胜两局，共6种情况，则田忌胜1种情况，故概率为
故选：B
【点睛】本题考查了古典概型的概率计算问题，考查了理解辨析和数学运算能力，属于中档题目.
八、概率的基本性质
38．下列说法正确的是（ ）
A．互斥事件一定是对立事件
B．某事件的概率为1.1
C．若彩票中奖概率为，那么买1000张这种彩票一定能中奖
D．必然事件的概率为1
【答案】D
【分析】根据互斥事件和对立事件的区别与联系可知A选项错误；由随机事件概率的性质可知某事件的概率不可能大于1，即B错误；根据互斥事件概率的计算公式可知，买1000张这种彩票也不一定能中奖，即C错误；由必然事件的概念可得D正确.
【详解】对于A，互斥事件和对立事件都不可能同时发生，但对立事件两者必发生其一，而互斥事件还可能发生第三种情况，所以互斥事件不一定是对立事件，即A错误；
对于B，根据随机事件概率的性质可知，某事件的概率取值范围为，即B错误；
对于C，根据随机事件的概率可知，买1000张这种彩票也会有的可能性不中奖，所以C错误；
对于D，根据必然事件和不可能事件的定义可知，必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即D正确；
故选：D
39．（多选）下列说法不正确的是（ ）
A．若A，B为两个事件，则“A与B互斥”是“A与B相互对立”的必要不充分条件
B．若A，B为两个事件，则
C．若事件A，B，C两两互斥，则
D．若事件A，B满足，则A与B相互对立
【答案】BCD
【分析】A. “A与B互斥”是“A与B相互对立”的必要不充分条件，所以该选项正确；
B. ,所以该选项错误；
C. 举反例说明不一定成立，所以该选项错误；
D. 举反例说明A与B不对立，所以该选项错误.
【详解】解：A. 若A，B为两个事件，“A与B互斥”则“A与B不一定相互对立”； “A与B相互对立”则“A与B互斥”，则“A与B互斥”是“A与B相互对立”的必要不充分条件，所以该选项正确；
B. 若A，B为两个事件，则,所以该选项错误；
C. 若事件A，B，C两两互斥，则不一定成立，如：掷骰子一次，记向上的点数为1，向上的点数为2，向上的点数为3，事件A，B，C两两互斥，则.所以该选项错误；
D. 抛掷一枚均匀的骰子，所得的点数为偶数的概率是，掷一枚硬币，正面向上的概率是，满足，但是A与B不对立，所以该选项错误.
故选：BCD
40．已知事件A与事件B互斥，如果，，那么_____________．
【答案】0.2
【分析】根据互斥事件与对立事件的概率公式计算．
【详解】由题意．
故答案为：0.2.
41．甲､乙两人下中国象棋，两人下成和棋的概率是，乙获胜的概率是，则甲获胜的概率是__________.
【答案】
【分析】利用互斥事件的概率加法公式直接求解即可.
【详解】甲､乙两人下中国象棋，两人下成和棋的概率是，乙获胜的概率是，
所以甲获胜的概率是，
故答案为：.
42．现有7名世界杯志愿者，其中，，通晓日语，，通晓韩语，，通晓葡萄牙语，从中选出通晓日语、韩语、葡萄牙语志愿者各一名组成一个小组，则，不全被选中的概率为______．
【答案】
【分析】求得基本事件的总数，利用列举法求得事件所包含的基本事件的个数，求得，结合对立事件，即可求得.
【详解】由题意，选出通晓日语、俄语、韩语的翻译人员各一人，包含下列样本点
，
，
，
共有种不同的选法，
若表示事件“B1，C1不全被选中”这一事件，则表示“B1，C1全被选中”这一事件，
由于由，共有3个样本点组成，
所以，所以.
故答案为：.
九、事件的相互独立性
43．甲、乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中获胜的概率均为，且各局比赛结果相互独立，则甲获得冠军的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】讨论甲获胜时比赛的场次，结合独立事件的概率乘法公式运算求解.
【详解】若比赛两场甲获胜，则概率为；
若比赛三场甲获胜，则概率为；
甲获得冠军的概率.
故选：D.
44．（多选）某市组织2022年度高中校园足球比赛，共有10支球队报名参赛.比赛开始前将这10支球队分成两个小组，每小组5支球队，其中获得2021年度冠、亚军的两支球队分别在第一小组和第二小组，剩余8支球队抽签分组.已知这8支球队中包含甲、乙两队，记“甲队分在第一小组”为事件，“乙队分在第一小组”为事件，“甲、乙两队分在同一小组”为事件，则（ ）
A．B．
C．D．事件与事件相互独立
【答案】ABD
【分析】A选项可以直接得到答案；B选项利用组合知识分别求出分组的所有情况和事件包含的情况，从而求出相应的概率；C选项，分别求出，，验证是否等于；D选项利用若，则事件A与B相互独立来验证事件与事件是否相互独立.
【详解】对于A，因为甲队分在第一小组和第二小组的概率相等，且两种情况等可能，所以，故A正确；
对于B，8支球队抽签分组共有种不同方法，甲、乙两队分在同小组共有种不同方法，所以甲、乙两队分在同一小组的概率，故B正确；
对于C，因为，所以，故C错误；
对于D，因为，，所以，所以事件与事件相互独立，故D正确.
故选：ABD.
45．设甲、乙、丙三台机器是否需要被维护相互之间没有影响，已知在某一小时内，甲、乙都需要被维护的概率为，甲、丙都需要被维护的概率为，乙、丙都需要被维护的概率为，则甲、乙、丙三台机器在这一小时内需要被维护的概率分别为______，______，______.
【答案】
【分析】利用相互独立事件的概率乘法公式得到方程组，解得即可.
【详解】记“机器甲需要被维护”为事件，“机器乙需要被维护”为事件，
“机器丙需要被维护”为事件，由题意可知，，是相互独立事件.
由题意得，解得.
所以甲、乙、丙三台机器在这一小时内需要被维护的概率分别为，，.
故答案为：；；
46．某个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，设事件M：该家庭中有男孩、又有女孩，事件N：该家庭中最多有一个女孩，则下列说法正确的是________．
①若该家庭中有两个小孩，则M与N互斥； ②若该家庭中有两个小孩，则M与N不相互独立；
③若该家庭中有三个小孩，则M与N不互斥； ④若该家庭中有三个小孩，则M与N相互独立．
【答案】②③④
【分析】若该家庭中有两个小孩，写出对应的样本空间即可判断①②；若该家庭中有三个小孩，写出对应的样本空间判断③④作答.
【详解】若该家庭中有两个小孩，样本空间为(男,男),(男,女),(女,男),(女,女)，
(男,女),(女,男)(男,男),(男,女),(女,男)，(男,女),(女,男)，
则M与N不互斥，①错误；
，，，则，所以M与N不相互独立，②正确；
若该家庭中有三个小孩，
样本空间为(男,男,男),(男,男,女),(男,女,男),(女,男,男),(男,女,女),(女,男,女),(女,女,男),(女,女,女)，
(男,男,女),(男,女,男),(女,男,男),(男,女,女),(女,男,女),(女,女,男)，
(男,男,男),(男,男,女),(男,女,男),(女,男,男)，
(男,男,女),(男,女,男),(女,男,男)，则M与N不互斥，③正确；
，，，于是，所以M与N相互独立，④正确．
所以说法正确的是②③④.
故答案为：②③④
十、频率与概率
47．某人将一枚硬币连抛20次，正面朝上的情况出现了12次.若用A表示事件“正面向上”，则A的（ ）
A．频率为B．概率为C．频率为D．概率接近
【答案】A
【分析】根据频率和概率的知识确定正确选项.
【详解】依题意可知，事件的频率为，概率为.
所以A选项正确，BCD选项错误.
故选：A
48．我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1423石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得268粒内夹谷32粒.则这批米内夹谷约为（ ）
A．157石B．164石C．170石D．280石
【答案】C
【分析】用样本中夹谷的比例乘以总体容量可得结果.
【详解】样本中夹谷的比例为，用样本估计总体，可得这批谷内夹谷约为（石）.
故选：C.
49．甲、乙两所学校举行了某次联考，甲校成绩的优秀率为30 %，乙校成绩的优秀率为35%，现将两所学校的成绩放到一起，已知甲校参加考试的人数占总数的40%，乙校参加考试的人数占总数的60%，现从中任取一个学生成绩，则取到优秀成绩的概率为（ ）
A．0.165B．0.16C．0.32D．0.33
【答案】D
【分析】利用概率的定义求解.
【详解】解：由题意得：将两所学校的成绩放到一起，从中任取一个学生成绩，
取到优秀成绩的概率为，
故选：D
50．（多选）支气管炎患者会咳嗽失眠，给患者日常生活带来严重的影响.某医院老年患者治愈率为20%，中年患者治愈率为30%，青年患者治愈率为40%.该医院共有600名老年患者，500名中年患者，400名青年患者，则（ ）
A．若从该医院所有患者中抽取容量为30的样本，老年患者应抽取12人
B．该医院青年患者所占的频率为
C．该医院的平均治愈率为28.7%
D．该医院的平均治愈率为31.3%
【答案】ABC
【分析】由分层抽样即可判断A选项；直接计算频率即可判断B选项；直接计算平均治愈率即可判断C、D选项.
【详解】对于A，由分层抽样可得，老年患者应抽取人，正确；
对于B，青年患者所占的频率为，正确；
对于C，平均治愈率为，正确；
对于D，由C知错误.
故选：ABC.
51．（多选）一部机器有甲乙丙三个易损零件，在一个生产周期内，每个零件至多会出故障一次，工程师统计了近100个生产周期内一部机器各类型故障发生的次数得到如下柱状图，由频率估计概率，在一个生产周期内，以下说法正确的是（ ）
A．至少有一个零件发生故障的概率为0.8
B．有两个零件发生故障的概率比只有一个零件发生故障的概率更大
C．乙零件发生故障的概率比甲零件发生故障的概率更大
D．已知甲零件发生了故障，此时丙零件发生故障的概率比乙零件发生故障的概率更大
【答案】AD
【分析】由统计图表得出各概率比较可判断各选项．
【详解】由图可得，在一个生产周期内，机器正常的概率为，则至少有一个零件发生故障的概率为0.8，A正确；
有两个零件发生故障的概率为，只有一个零件发生故障的概率为，则有两个零件发生故障的概率比只有一个零件发生故障的概率更小，B错误；
乙零件发生故障的概率为，甲零件发生故障的概率为，则乙零件发生故障的概率比甲零件发生故障的概率更小，C错误；
由图可知，丙和甲都故障的概率比乙和甲都故障的概率大，D正确.故选：AD．