人教A版必修第二册 高一数学下学期期末考试模拟卷02（2份，原卷版+解析版）

这是一份人教A版必修第二册 高一数学下学期期末考试模拟卷02（2份，原卷版+解析版），文件包含人教A版必修第二册高一数学下学期期末考试模拟卷02原卷版docx、人教A版必修第二册高一数学下学期期末考试模拟卷02解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共18页， 欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.
1．已知，则在复平面内复数对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【解析】由题意，
，对应点坐标为，在第一象限，故选：A．
2．我国古代数学名著《九章算术》有一抽样问题：“今有北乡若干人，西乡三百人，南乡两百人，凡三乡，发役六十人，而北乡需遗十，问北乡人数几何？“其意思为：“今有某地北面若干人，西面有300人，南面有200人，这三面要征调60人，而北面共征调10人（用分层抽样的方法），则北面共有（ ）人．”
A．200 B．100 C．400 D．300
【答案】B
【解析】设北面共有人，则由题意可得，解得，
所以北面共有100人，故选：B
3．设是直线，是平面，则能推出的条件是（ ）
A．存在一条直线，， B．存在一条直线，，
C．存在一个平面，， D．存在一个平面，，
【答案】C
【解析】对于A，若，可以满足，，此时不成立，A错误；
对于B，若，满足，也满足，此时不成立，B错误；
对于C，由面面平行的性质知：若，，则，C正确；
对于D，若，满足，且垂直于与的交线，也满足，
此时不成立，D错误.故选：C
4．甲乙两名同学6次考试的成绩统计如图，甲乙成绩的平均数分别为，，标准差分别为，，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【解析】由甲乙两名同学6次考试的成绩统计图知：甲组数据靠上，乙组数据靠下，甲组数据相对集中，乙组数据相对分散分散布，由甲乙两组数据的平均数分别为，标准差分别为，得，．故选：C．
5．某同学为了测量天文台CD的高度，选择附近学校宿舍楼三楼一阳台，高AB为，在它们之间的地面上的点M（B,M,D三点共线）处测得楼顶A,天文台顶C的仰角分别是15°和60°，在阳台A处测得天文台顶C的仰角为30°，假设AB，CD和点M在同一平面内，则该同学可测得学校天文台CD的高度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】在Rt△ABM中，有，在△ACM中，有，，，由正弦定理得，
故，在Rt△CDM中，有，
又，
则．故选：C．
6．算盘是我国古代一项伟大的发明，是一类重要的计算工具.下图是一把算盘的初始状态，自右向左，分别表示个位，十位､百位､千位，上面一粒珠子（简称上珠）代表5，下面一粒珠子（简称下珠）代表1，五粒下珠的大小等于同组一粒上珠的大小.例如，个位拨动一粒上珠，十位拨动一粒下珠至梁上，表示数字15.现将算盘的个位､十位，百位，千位分别随机拨动一粒珠子至梁上，设事件“表示的四位数能被3整除”，“表示的四位数能被5整除”，则有：①②；③④.上述结论正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【解析】只拨动一粒珠子至梁上，因此数字只表示1或5，四位数的个数是16.能被3整除的四位数，数字1和5各出现2个，因此满足条件的四位数的个数是6，所以，①正确；能被5整除的四位数，个位数为5，满足的个数为8，，②不正确；
能被15整除的四位数的个位数是5，十位、百位、千位为一个5两个1，因此满足这个条件的四位数的个数是3，概率为，④正确；，③正确.故正确的有3个，故选：D.
7．已知，则（ ）
A．三点共线 B．三点共线
C．三点共线 D．三点共线
【答案】C
【解析】对于A，因为，且，所以与不共线，所以A，B，C三点不共线，所以A错误，
对于B，因为，且，所以与不共线，所以三点不共线，所以B错误，
对于C，因为，所以三点共线，所以C正确，
对于D，因为，且，所以与不共线，所以三点不共线，所以D错误，故选：C.
8．点分别是棱长为2的正方体中棱的中点，动点在正方形(包括边界)内运动.若面，则的长度范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】取的中点，的中点F，连结，，，取EF中点O，连结，,
∵点M，N分别是棱长为2的正方体中棱BC，的中点，，,，四边形为平行四边形，，而在平面中，易证，∵平面，平面，平面，
平面，平面，平面，又，平面，∴平面平面，∵动点P在正方形（包括边界）内运动，且平面AMN，
∴点P的轨迹是线段EF，，，∴，
∴当P与O重合时，的长度取最小值，
为等腰三角形，∴在点或者点处时，此时最大，最大值为.
即的长度范围为，故选：B．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.
9．下列说法正确的是（ ）
A．用分层抽样法从1000名学生（男、女分别占60%、40%）中抽取100人，则每位男生被抽中的概率为；
B．将一组数据中的每个数据都乘以3后，平均数也变为原来的3倍；
C．将一组数据中的每个数据都乘以3后，方差也变为原来的3倍；
D．一组数据，，……，的平均数是5，方差为1，现将其中一个值为5的数据剔除后，余下99个数据的方差是．
【答案】ABD
【解析】选项A：因为1000名学生中男、女分别占60%和40%，根据分层抽样的计算规则，抽取的100人中男生占人，所以每位男生被抽中的概率.A正确；
选项B：平均数，将这组数据中每个数据都乘以3后
.B正确；
选项C：方差，每个数据都乘以3后平均数变为原来的3倍，方差.C错误；
选项D：，因为的平均数是5，所以，新平均数，又因为的方差是1，所以，提出一个值为5的数据后，余下99个数的方差.D正确.故选：ABD.
10．在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，下列说法正确的是（ ）
A．是的充要条件
B．若，则P是的垂心
C．若面积为S，，则
D．
【答案】ABC
【解析】A.，再根据正弦定理，，
所以是的充要条件，故A正确；
B. ，所以，
同理，，所以P是的垂心，故B正确；
C.由条件可知，，即，
所以，所以，，所以，故C正确；
D. ，故D错误.故选：ABC
11．如图，在长方体中，，，M、N分别为棱，的中点，则（ ）
A．A，M，N，B四点共面
B．平面ADM⊥平面CDD
C．直线BN与B所成的角为60°
D．BN∥平面ADM
【答案】BC
【解析】如图所示，对于A选项，，，
所以直线AM，BN是异面直线，故A，M，N，B四点不共面，A错误；
对于B选项，在长方体中，可得AD⊥平面CDD，
所以平面ADM⊥平面CDD，B正确；
对于C选项，取CD的中点O，连接BO，ON，则，可知，所以三角形BON为等边三角形，故，即直线BN与B所成的角为60°，C正确；
对于D选项，因为BN∥平面AA，显然BN与平面ADM不平行，C错误．故选：BC.
三、填空题：
12．向量在向量方向上的投影向量的模为___．
【答案】/2.2
【解析】因为，，则，，则向量在向量方向上的投影向量的模为.故答案为：.
13． 2022北京冬奥会期间，吉祥物冰墩墩成为顶流”，吸引了许多人购买，使一“墩难求甲、乙、丙3人为了能购买到冰墩墩，商定3人分别去不同的官方特许零售店购买，若甲、乙2人中至少有1人购买到冰墩墩的概率为，丙购买到冰墩墩的概率为，则甲，乙，丙3人中至少有1人购买到冰墩墩的概率为_________．
【答案】/
【解析】因为甲乙2人中至少有1人购买到冰墩墩的概率为，所以甲乙2人均购买不到冰墩墩的概率.同理，丙购买不到冰墩墩的概率.所以，甲乙丙3人都购买不到冰墩墩的概率，于是甲乙丙3人中至少有1人购买到冰墩墩的概率.
故答案为：.
14．在三棱锥中，平面，三棱锥的体积为，已知三棱锥的顶点都在球的球面上，则球的表面积为__________.
【答案】
【解析】根据题意，作图如下，设，则，
所以，所以，
如图，点为等边三角形外接圆的圆心，则，
设外接球的球心为，则有,
所以在直角中，，
所以外接球的表面积为,故答案为: .
四．解答题：
15．已知向量，求：
（1）若，且，求的坐标；
（2）若﹐求；
（3）若，求k的值．
【答案】（1）或；（2）；（3）
【解析】（1）设，由，且，
得，解得或或
（2），
，解得
（3）由已知，
又，，解得
16．已知某著名高校今年综合评价招生分两步进行：第一步是材料初审，若材料初审不合格，则不能进入第二步面试；若材料初审合格，则进入第二步面试．只有面试合格者，才能获得该高校综合评价的录取资格，且材料初审与面试之间相互独立，现有甲、乙、丙三名考生报名参加该高校的综合评价，假设甲、乙，丙三名考生材料初审合格的概率分别是，，，面试合格的概率分别是，，．
（1）求甲考生获得该高校综合评价录取资格的概率；
（2）求甲、乙两位考生中有且只有一位考生获得该高校综合评价录取资格的概率；
（3）求三人中至少有一人获得该高校综合评价录取资格的概率．
【答案】（1）；（2）；（3）．
【解析】（1）设事件表示“甲获得该高校综合评价录取资格”，则；
（2）设事件表示“乙获得该高校综合评价录取资格”，则，
则甲、乙两位考生有且只有一位考生获得该高校综合评价录取资格的概率为：
；
（3）设事件表示“丙获得该高校综合评价录取资格”，则，
三人中至少有一人获得该高校综合评价录取资格的对立事件
是三人都没有获得该高校综合评价录取资格，
三人中至少有一人获得该高校综合评价录取资格的概率为：
．
17．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，侧面平面．
（1）求证：；
（2）设平面与平面的交线为l，的中点分别为，证明：平面．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析
【解析】（1）证明：，
∵设，∴，，,
∴，∴，
∴，∴，
∵平面平面，平面平面，平面，
∴平面，∵平面，∴．
（2）延长交于点M，连接,
∵，∴D为的中点，
∵的中点为E，∴，不在平面内,
∵平面，∴平面，
又平面，平面，
∴平面平面，即直线l为直线，
∴平面．
18．在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且.
（1）求角A；
（2）若是钝角三角形，且，求外接圆半径的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）由余弦定理得，所以，
由正弦定理得，
又，，所以，即，
因为，所以，即；
（2）由（1）知，所以，
又，所以①，
因为是钝角三角形，由，可知角B为钝角，
所以，即，得②，
由①②可得，解得，所以，
由，得，即.
设外接圆半径为R，由正弦定理知，
所以外接圆半径的取值范围是.
19．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧棱底面，，是的中点，作交PB于点.
（1）求三棱锥的体积；
（2）求证：平面；
（3）求平面与平面的夹角的大小.
【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）
【解析】（1）取中点，连接，
在中，分别为中点，∴为的中位线，
∴，且，又∵，∴
∵底面，∴底面，∴；
（2）∵底面，且面∴，
∵底面是正方形，∴，
又,面,∴面,
又面∴∵，且，
∴是等腰直角三角形，又是斜边的中线，∴，
又,面,∴面，
∵面∴,∵,
又,面∴平面；
（3）由（2）可知，故是平面与平面的夹角，
∵∴，在中，，，，
又面，∵面∴,
在中，，∴，
故平面CPB与平面PBD的夹角的大小.