（人教A版）必修二高一数学下学期期末模拟卷（二）(2份，原卷版+解析版)

这是一份（人教A版）必修二高一数学下学期期末模拟卷（二）(2份，原卷版+解析版)，文件包含人教A版必修二高一数学下学期期末模拟卷二原卷版docx、人教A版必修二高一数学下学期期末模拟卷二解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共20页， 欢迎下载使用。
1．近年来，随着双碳目标、空调新国标的制定，节能变频空调的需求不断增多，下图为2017-2022中国节能变频空调产量，根据该图，下列说法错误的是（ ）
A．2017-2022中国节能变频空调年产量逐年增加
B．2017-2022中国节能变频空调年产量的中位数6833.2万台
C．2022年中国节能变频空调产量比上一年增长超过14%
D．2017-2022中国节能变频空调年平均产量超过7500台
【答案】B
【分析】根据图表，中位数的计算，增长率以及平均数的计算，即可逐一判断.
【详解】根据图表显然看出，
2017-2022中国节能变频空调年产量逐年增加，A正确；
因2017-2022共六年，
则2017-2022中国节能变频空调年产量的中位数为，B错；
因，解得，
则2022年中国节能变频空调产量比上一年增长超过14%，C正确；
2017-2022中国节能变频空调年平均产量为：.D正确.故选：B
2．已知i是虚数单位，复数在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
【答案】B
【分析】利用复数的乘方运算和除法运算求解作答.
【详解】，所以复数在复平面内所对应的点位于第二象限.故选：B
3．已知向量满足，且，则（ ）
A．B．C．D．2
【答案】B
【分析】根据向量的坐标运算，以及向量共线的坐标表示，列出方程，即可求解.
【详解】由题意，向量，可得，因为，可得，解得.故选：B.
4．给出下列命题，其中说法正确的是（ ）
A．若A，B为两个随机事件，则
B．若事件A，B，C两两互斥，则
C．若A，B为互斥事件，则
D．若，则
【答案】C
【分析】根据事件的关系和运算结合随机事件的概率性质，分别判断各个选项即可.
【详解】对于A选项：当A，B为两个互斥事件时，才有，所以A选项错误；
对于B选项：当事件A，B，C两两互斥，且时，才有，所以B选项错误；对于C选项：当A，B为互斥事件时，，所以C选项正确；
对于D选项：由概率的性质可知，若，则，所以D选项错误；故选：C.
5．在长方体中，直线与平面的交点为为线段的中点，则下列结论错误的是（ ）
A．三点共线B．四点异不共面
C．四点共面D．四点共面
【答案】C
【分析】由长方体性质易知四点共面且是异面直线, 再根据 与 、面 、 面 的位置关系知 在面 与面 的交线上, 同理判断 , 即可判断各选项的正误.
【详解】
因为 , 则四点共面. 因为 , 则 平面 ,
又 平面 , 则点 在平面 与平面的交线上,
同理, 也在平面 与平面 的交线上, 所以三点共线;
从而 四点共面,都在平面 内，而点B不在平面 内，
所以四点不共面，故选项B正确；
三点均在平面内，而点A不在平面内，所以直线AO与平面相交且点O是交点，所以点M不在平面内，即 四点不共面，故选项C错误；
，且，所以为平行四边形，所以共面，所以四点共面，故选项D正确.故选: C.
6．若，且，则的形状为（ ）
A．直角三角形B．钝角三角形
C．等腰直角三角形D．等边三角形
【答案】D
【分析】由，利用余弦定理得到，再由，利用正弦定理结合商数关系得到判断.
【详解】因为，所以，因为，所以，又因为，所以，即，所以，故是等边三角形，故选：D.
7．某市为了解全市12000名高一学生的的体能素质情况，在全市高一学生中随机抽取了1000名学生进行体能测试，并将这1000名的体能测试成绩整理成如下频率分布直方图．根据此频率分布直方图，下列结论中正确的是（ ）
A．图中的值为0.020；
B．同一组中的数据用该组区间的中点值做代表，则这1000名学生的平均成绩约为80.5；
C．估计样本数据的75%分位数为88；
D．由样本数据可估计全市高一学生体测成绩优异（80分及以上）的人数约为5000人．
【答案】B
【分析】A.根据频率和为1，计算的值；B.根据平均数公式，判断B；C.根据百分位数公式，判断C；计算体测成绩在内的频率，再结合总人数，即可判断D.
【详解】A.由频率分布直方图可知，，得：，故A错误；
B.，故B正确；
C.设百分位数，易得，则，
解得：，故C错误；
D.则体测成绩在的频率为，估计全市高一学生体测成绩优异（80分及以上）的人数约为人，故D错误.
故选：B.
8．在正三棱柱中，，D为的中点，E为的中点，则异面直线AD与BE所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】延长CB至F，使得，可得四边形BEDF是平行四边形，，则为异面直线AD与BE所成的角或补角，设，取的中点，求出、、，利用余弦定理求得，可得答案．
【详解】D为的中点，E为的中点，所以，，如图，延长CB至F，使得，连接DE，DF，AF，，因为，所以，， 所以四边形BEDF是平行四边形，，则为异面直线AD与BE所成的角或补角．设，取的中点，连接、，则，，，，，
，由余弦定理得，由余弦定理得．所以直线AD与BE所成角的余弦值为故选：C.

选择题
9．下列说法不正确的是（ ）
A．复数的虚部是B．形如的数一定是虚数
C．若，，则是纯虚数D．若两个复数能够比较大小，则它们都是实数
【答案】AB
【分析】根据复数的相关概念逐一判断即可.
【详解】复数的虚部是3，故A中说法不正确；
形如的数不一定是虚数，例如，当，时，不是虚数，故B中说法不正确；
只有当，，即时，是纯虚数，故C中说法正确；
因为虚数不能比较大小，所以若两个复数能够比较大小，则它们都是实数，故D中说法正确.
故选：AB.
10．光明学校组建了演讲､舞蹈､航模､合唱､机器人五个社团，全校所有学生每人都参加且只参加其中一个社团，校团委在全校学生中随机选取一部分学生（这部分学生人数少于全校学生人数）进行调查，并将调查结果绘制成了如下两个不完整的统计图：则（ ）

A．选取的这部分学生的总人数为500人
B．合唱社团的人数占样本总量的
C．选取的学生中参加机器人社团的学生数为78人
D．选取的学生中参加合唱社团的人数比参加机器人社团人数多125
【答案】ABD
【分析】根据两个统计图表中的数据，先求出选取的总人数，然后再对选项进行逐一计算判断即可.
【详解】由两个统计图表可得参加演讲的人数为50，占选取的学生的总数的10
所以选取的总人数为人，故选项A正确.
合唱社团的人数为200人，则合唱社团的人数占样本总量的，故选B正确.
则选取的学生中参加机器人社团的人数占样本总量的
所以选取的学生中参加机器人社团的学生数为人，故选项C不正确.
选取的学生中参加合唱社团的人数为200，参加机器人社团人数为75人，
所以选取的学生中参加合唱社团的人数比参加机器人社团人数多125，选项D正确.
故选：ABD.
11．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，O为平面内一点，下列说法正确的有（ ）
A．若为斜三角形，则
B．若，则为的内心
C．已知中，，，，为的外心，若，则的值为
D．在中，，，若与线段交于点，且满足，，则的最大值为
【答案】AB
【分析】A选项：利用三角形内角和，两角和的正切公式可得；
B选项：根据向量证明在三角形内角的角平分线上即可；
C选项：根据向量的线性运算和等量关系，求出，即可判断；
D选项：根据，即向量的数量积运算，得到，的关系，再利用基本不等式即可判断.
【详解】A选项：因，所以，
得，整理得，故A正确.
B选项： ，，又，
即
整理得，因，分别为，方向上的单位向量，故在的角平分线上，同理可证也在和的角平分线上,故为的内心，故B正确
C选项：
如图：为的外心，，，，，则，
因，共线，，共线，所以，，即， ，
因，所以，所以，，
由，得，得故，故C错误
D选项：因，，所以，，，
由得，即，
因与线段交于点，故，，
故，即，当且仅当时等号成立，故D错误.
故选：AB.
三．填空题
12．某中学为了了解学生是否规范佩戴胸卡，随机抽取了部分学生，结果发现150名学生中有60名学生规范佩戴胸卡．学校调查了该校所有学生，发现有500名学生规范佩戴胸卡．则估计该中学共有______名学生．
【答案】1250
【分析】设该中学共有n名学生，根据分层抽样中有关抽样比的计算方法即可求解.
【详解】设该中学共有n名学生，依题意得：，解得．所以估计该中学共有1250名学生．
故答案为：1250.
13．在中，、分别为、的中点，交于点.若，，，则________.
【答案】
【分析】分析可知为的重心，利用、表示向量、，利用平面向量数量积的运算性质可求得的值.
【详解】如下图所示：
因为在中，、分别为、的中点，交于点，
则为的重心，所以，
，，
因为，，，由平面向量数量积的定义可得，
所以，.
故答案为：.
14．在古代数学中，把正四棱台叫做方亭，数学家刘徽用切割的方法巧妙地推导出了方亭的体积公式，为方亭的下底面边长，为上底面边长，为高.某地计划在一片平原地带挖一条笔直的沟渠，渠的横截面为等腰梯形，上底为米，下底为米，深米，长为米，并把挖出的土堆成一个方亭，设计方亭的下底面边长为米，高为米，则其侧面与下底面所成的二面角的正切值为________.
【答案】
【分析】计算出挖出的土的体积，利用台体体积公式求出的值，然后作出图形，找出其侧面与下底面所成的二面角的平面角，即可计算出侧面与下底面所成的二面角的正切值.
【详解】由题意知挖出的土的体积，
则由，整理得，解得或（舍去）.
在正四棱台中，，，
设点在底面内的射影为点，点在底面内的射影为点，
设直线分别交、于点、，连接、，

因为平面，平面，所以，，
又因为平面平面，所以，，
故四边形为矩形，所以，，
因为，，则，所以，，
因为平面，平面，则，
因为，、平面，所以，平面，
因为平面，所以，，
所以，侧面与底面所成二面角的平面角为，
易知四边形、是全等的等腰梯形，且，，
所以，，
因为，且，则四边形为矩形，故，则，
故四边形为等腰梯形，因为，，，故，所以，，又因为，，故，
在中，.故答案为：.
四．解答题
15.在四棱锥中，，，，，为等边三角形，．
(1)证明：平面平面PBC；
(2)求点C到平面PAB的距离．
【答案】(1)证明见解析(2)1
【分析】（1）作出辅助线，由余弦定理得到，由勾股定理逆定理得到，找到为二面角的平面角，且，得到平面平面ABCD，进而由四边形ABCE为矩形得到线面垂直，进而证明平面平面PBC；
（2）作出辅助线，由等体积法求出点到平面的距离.
【详解】（1）证明：取CD的中点E，连接PE，AE，如图，
易知，，，
在中，由余弦定理得，，
则，故，
由，，，同理可得且，
故为二面角的平面角，
又，则，故，故平面平面ABCD，
又CE与AB平行且相等，且，则四边形ABCE为矩形，
故．又平面ABCD，平面平面，
故平面PCD，又平面PBC，则平面平面PBC．
（2）连接AC，设C到平面PAB的距离为h，
由（1）得平面平面PCD，，由面面垂直的性质定理，同理可得平面ABCD，
，即，
∵，，，，平面AEP，则平面AEP，
又，故平面AEP，平面AEP，故，
故，故，解得．
16．某公司为了提高职工的健身意识，鼓励大家进行健步运动，要求200名职工每天晚上9：30上传手机计步截图，对于步数超过10000的职工予以奖励，图（1）为甲、乙两名职工在某一星期内的运动步数统计图，图（2）为根据这星期内某一天全体职工的运动步数作出的频率分布直方图．
(1)根据频率分布直方图，求出该天运动步数不少于15000的人数；
(2)如果当天甲的排名为130，乙的排名为40，试判断作出的是星期几的频率分布直方图．
【答案】(1)80(2)星期二
【分析】（1）根据概率和为1，先求，然后可求出该天运动步数不少于15000的人数.
（2）先有排名求百分位数对应的步数，参照运动步数统计图，可知为星期几的频率分布直方图.
【详解】（1）由图可知，
，解得，
∴该天运动步数不少于15 000的人数为.
（2），.
假设甲的步数为千步，乙的步数为千步，
由频率分布直方图可得，
，解得，
，解得.
由运动步数统计图可知作出的是星期二的频率分布直方图．
17．在中，角，，所对的边分别为，，，且满足．
(1)求角；
(2)若为的中点，且，的角平分线交于点，且，求边长．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）利用向量的夹角公式、正弦定理及两角和的正弦公式化简可得出的值，结合角的取值范围可得出角的值；
（2）根据为的中点，有，从而得到，再根据，从而得到，再结合余弦定理即可求得的值．
【详解】（1）由，
则，所以，
则由正弦定理得，即，
所以，即，
又，则，所以，得，又，所以．
（2）由为的中点，则，即，
所以，即，即，
由是的角平分线，所以，
又，则，
所以，得，所以，解得，
由余弦定理得，故．

18．杭州2022年第19届亚运会（The 19th Asian Games Hangzhu 2022）将于2023年9月23日至10月8日举办．本届亚运会共设40个竞赛大项，包括31个奥运项目和9个非奥运项目．同时，在保持40个大项目不变的前提下，增设了电子竞技项目．与传统的淘汰赛不同，近年来一个新型的赛制“双败赛制”赢得了许多赛事的青睐．
传统的淘汰赛失败一场就丧失了冠军争夺的权利，而在双败赛制下，每人或者每个队伍只有失败了两场才会淘汰出局，因此更有容错率．假设最终进入到半决赛有四支队伍，淘汰赛制下会将他们四支队伍两两分组进行比赛，胜者进入到总决赛，总决赛的胜者即为最终的冠军．双败赛制下，两两分组，胜者进入到胜者组，败者进入到败者组，胜者组两个队伍对决的胜者将进入到总决赛，败者进入到败者组．之前进入到败者组的两个队伍对决的败者将直接淘汰，胜者将跟胜者组的败者对决，其中的胜者进入总决赛，最后总决赛的胜者即为冠军．双败赛制下会发现一个有意思的事情，在胜者组中的胜者只要输一场比赛即总决赛就无法拿到冠军，但是其它的队伍却有一次失败的机会，近年来从败者组杀上来拿到冠军的不在少数，因此很多人戏谑这个赛制对强者不公平，是否真的如此呢？
这里我们简单研究一下两个赛制．假设四支队伍分别为，其中对阵其他三个队伍获胜概率均为，另外三支队伍彼此之间对阵时获胜概率均为．最初分组时同组，同组．
(1)若，在淘汰赛赛制下，获得冠军的概率分别为多少？
(2)分别计算两种赛制下获得冠军的概率（用表示），并据此简单分析一下双败赛制下对队伍的影响，是否如很多人质疑的“对强者不公平”？
【答案】(1)；；
(2)淘汰赛制获得冠军概率为，双败赛制获得冠军概率为；双败赛制下，会使得强者拿到冠军概率变大，弱者拿到冠军的概率变低，更加有利于筛选出“强者”，人们“对强者不公平”的质疑是不对的．
【分析】（1）若拿冠军则只需要连赢两场，对于想拿到冠军，首先得战胜，然后战胜中的胜者，然后根据独立事件的乘法公式计算即可；
（2）根据独立事件的乘法公式分别算出在不同赛制下拿冠军的概率，然后作差进行比较.
【详解】（1）记拿到冠军分别为事件淘汰赛赛制下，只需要连赢两场即可拿到冠军，因此，对于想拿到冠军，首先得战胜，然后战胜中的胜者，
因此．
（2）记两种寒制下获得冠军的概率分别为，则.而双败赛制下，获得冠军有三种可能性：
（1）直接连赢三局；（2）从胜者组掉入败者组然后杀回总决赛；（3）直接掉入败者组拿到冠军.
因此，，.
则不论哪种赛制下，获得冠军的概率均小于，.
若，双败赛制下，队伍获得冠军的概率更大，其他队伍获得冠军的概率会变小，
若，双败赛制下，以伍获得冠军的概率更小，其他队伍获得冠军的概率会变大，
综上可知：双败赛制下，会使得强者拿到冠军概率变大，弱者拿到冠军的概率变低，更加有利于筛选出“强者”，人们“对强者不公平”的质疑是不对的．
19．如图，在直三棱柱中，.

(1)求证：；
(2)求与平面所成的角的大小.
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】（1）根据直三棱柱的性质和各棱长可知，连接，利用线面垂直的判定定理可得平面，易知四边形为菱形，可得平面，由线面垂直的性质即可得；
（2）取的中点，连接，可证明是与平面所成角的平面角，在中，易知，，即与平面所成的角的大小为.
【详解】（1）连接与相交于点，如下图所示

在直棱柱中，平面平面，，
又，平面，所以，平面，
又平面，
，四边形为菱形，即
又，且平面，
平面，又平面，.
（2）取的中点，连接.如下图所示；

，
又平面平面，
又，且平面，平面，
是在面内的射影，是与平面所成角的平面角.
在中，易知，，
即与平面所成的角的大小为.